FATOS MATEMÁTICOS: 2011/04

quinta-feira, 28 de abril de 2011

A Cissóide de Diócles

O matemático grego Diócles em 180-240 a.C. inventou uma curva chamada cissóide para auxiliar na duplicação do cubo. Vejamos como podemos deduzir a equação desta curva usando os recursos da Geometria Analítica Moderna.

Considere a circunferência de diâmetro $[;2a;]$ sobre o eixo $[;y;]$ e tangente ao eixo $[;x\ ;]$ . Sejam $[;OA;]$ o diâmetro que está no eixo $[;y;]$ , $[;AD;]$ um segmento tangente à circunferência em $[;A;]$ e $[;B;]$ o ponto onde $[;OD;]$ intercepta a circunferência. Além disso, seja $[;P(r,\theta);]$ um ponto sobre $[;OD;]$ , sendo $[;r = OP;]$ e $[;\theta;]$ o ângulo formado por $[;OD;]$ e o eixo $[;x\ ;]$ . O lugar geométrico descrito por $[;P;]$ tal que $[;OP = BD;]$ é chamado de cissóide de Diócles. Vejamos como podemos obter sua equação em coordenadas polares.

Do $[;\triangle OAB;]$ retângulo em $[;B;]$ , temos

$[;\sin \theta = \frac{OB}{OA} \quad \Rightarrow \quad OB = 2a\sin \theta;]$

e do $[;\triangle OAD;]$ retângulo em $[;A;]$ , temos

$[;\sin \theta = \frac{OA}{OD} \quad \Rightarrow \quad OD = \frac{2a}{\sin \theta};]$

Assim, $[;r = OP = BD = OD - OB = \frac{2a}{\sin \theta} - 2a\sin \theta \quad \Rightarrow;]$

$[;r(\theta) = 2a\biggl(\frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta \biggr) = \frac{2a(1 - \sin^2 \theta)}{\sin \theta} = \frac{2a\cos^2 \theta}{\sin \theta} \qquad (1);]$

Para achar a equação cartesiana da cissóide, usamos as expressões $[;x = r\cos \theta;]$ e $[;y = r\sin \theta;]$ , de modo que

$[;\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x}{y} \qquad (2);]$

Substituindo $[;(2);]$ em $[;(1);]$ , temos

$[;r = 2a\cos \theta \cdot \frac{x}{y} \quad \Rightarrow \quad r^2 = 2ar\cos \theta \frac{x}{y} = \frac{2ax^2}{y} \quad \Rightarrow;]$

$[;y(x^2 + y^2) = 2ax^2 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 2ax^2 - x^2y \quad \Rightarrow \quad y^3 = (2a - y)x^2;]$

Se considerarmos a circunferência de raio $[;a;]$ centrada no ponto $[;(a,0);]$ a equação da cartesiana da cissóide é dada por $[;y^2 = x^3/(2a - x);]$ e o seu gráfico é dado por

Huygens e Pierre de Fermat em $[;1658;]$ mostrou que a área entre a curva e sua assíntota vertical é igual a $[;3\pi a^2;]$ .

Gostará de ler:
- A Primeira Retificação de uma Curva;
- Fatos Históricos da Ciclóide;
- Algumas Propriedades Geométricas da Ciclóide;
- A Curva Tautócrona;
- A Propriedade Refletora da Parábola;
- Os Três Problemas Famosos da Geometria Grega.

quarta-feira, 27 de abril de 2011

Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada

Sabemos que a derivada de uma função é uma ferramenta poderosa para resolver os problemas de otimização que surgem em várias áreas da matemática, física e engenharia.

Buscando apresentar a matemática do pré-cálculo interessante, apresento neste post alguns problemas de máximos e mínimos cuja solução pode ser obtida sem o uso da derivada. Além disso, apresentaremos uma justificativa formal do fato que as funções quadráticas apresentam um valor máximo ou mínimo conforme o sinal do coeficiente do termo de maior grau.

Definição 1: Dizemos que a função $[;y = f(x);]$ assume um valor de máximo absoluto no ponto $[;x = x_0;]$ se $[;f(x) \leq f(x_0), \qquad \forall x \in D(f);]$ . O ponto $[;A(x_0,f(x_0));]$ sobre o gráfico de $[;f;]$ é dito ponto de máximo absoluto de $[;f;]$ .

Definição 2: Dizemos que a função $[;y = f(x);]$ assume um valor de mínimo absoluto no ponto $[;x = x_0;]$ se $[;f(x) \geq f(x_0), \qquad \forall x \in D(f);]$ . O ponto $[;A(x_0,f(x_0));]$ sobre o gráfico de $[;f;]$ é dito ponto de mínimo absoluto de $[;f;]$ .

Nem todas as funções possuem pontos de máximos e mínimos absolutos. Um exemplo simples é a função do $[;1^{\underline{\circ}};]$ grau $[;y = ax + b;]$ . Um teorema muito elegante sobre a existência de máximos e mínimos absolutos afirma que se uma função contínua em um intervalo fechado limitado então existem tais pontos.

Proposição 1: Se $[;a \prec 0;]$ ( $[;a \succ 0;]$ ), a função quadrática $[;f(x) = ax^2 + bx + c;]$ assume um valor máximo (mínimo) no ponto $[;x = -b/2a;]$ .

Demonstração: Suponhamos que $[;a \prec 0;]$ e provemos que $[;f(x) \leq f(-b/2a), \qquad \forall x \in \mathbb{R};]$ . O outro caso é análogo. Note que

$[;f(x) = a\biggl(x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a}\biggr);]$

$[;=a\biggl[ \biggl(x^2 + \frac{2bx}{2a} + \frac{b^2}{4a^2}\biggr) - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\biggr];]$

$[;=a\biggl[ \biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 - \frac{(b^2 - 4ac)}{4a^2}\biggr];]$

$[;=a\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 - \frac{\Delta}{4a};]$

onde $[;\Delta = b^2 - 4ac;]$ é o discriminante da função quadrática. Sendo $[;a \prec 0;]$ , o termo $[;a(x + b/2a)^2 \leq 0;]$ , de modo que

$[;f(x) \leq 0 - \frac{\Delta}{4a} =-\frac{\Delta}{4a};]$

Como $[;f(-b/2a) = -\Delta/4a;]$ , então para $[;a \prec 0;]$ , o ponto $[;(-b/2a,-\Delta/4a);]$ também chamado de vértice, sobre o gráfico da parábola $[;f(x) = ax^2 + bx + c;]$ é um ponto de máximo absoluto.

Exemplo 1: Para uma excursão foi fretado um avião de $[;200;]$ lugares. Cada pessoa deve pagar a companhia de aviação $[;R\$ \ 1000,00;]$ mais uma taxa de $[;R\$ 50,00;]$ por cada lugar não ocupado no avião. Qual a quantia máxima que a companhia poderá receber.

Resolução: Sejam $[;x\ ;]$ o número de pessoas embarcadas no avião e $[;Q(x);]$ a quantia em reais recebida pela empresa aérea. Assim,

$[;Q(x) = 1000x + 50(200 - x)x = -50x^2 + 11.000x;]$

Sendo $[;a = -50 \prec 0;]$ , pela Prop. 1, o máximo absoluto ocorre para $[;x = -b/2a = -11.000/2(-50) = 110;]$ pessoas. A quantia máxima é dada por $[;Q_{max} = -50.110^2 + 11.000\cdot 110 = 605.000\ reais;]$ .

Exemplo 2: Um galinheiro de $[;32\ m^2;]$ deve ser construído de modo que um de seus lados é um muro já existente. Determine o comprimento mínimo de tela gasto nest obra.

Resolução: Sejam $[;x\ ;]$ e $[;y;]$ as dimensões do galinheiro conforme a figura acima. Temos que $[;L = x + 2y;]$ e

$[;S = xy = 32 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{32}{x};]$

Assim, $[;L(x) = x + 64/x;]$ para $[;x \succ 0;]$ . Para determinar o mínimo dessa função sem o uso de derivada, podemos usar a desigualdade aritmética-geométrica, mas vejamos um modo diferente para achar este ponto de mínimo. Sendo

$[;L = \frac{x^2 + 64}{x} \quad \Rightarrow \quad x^2 - Lx - 64 = 0;]$

de modo que $[;x(L);]$ definida implicitamente por essa expressão assume um mínimo absoluto se $[;x = -(-L)/2 = L/2 \quad \Rightarrow \quad L = 2x;]$ . Assim, obtemos a equação

$[;x^2 - 2x\cdot x - 64 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad x = 8\ m;]$

e sendo $[;xy = 32;]$ , segue que $[;y = 4\ m;]$ .

Exemplo 3: O proprietário de um pomar de maçãs estima que plantando $[;a;]$ pés por hectare, cada pé de maçã adulto produzirá $[;b;]$ maçãs por ano. Para cada árvore plantada por hectare além de $[;a;]$ haverá um decréscimo de produção de $[;c;]$ maçãs por ano. Quantas árvores devem ser plantadas de modo se obter o número máximo de maçãs por ano?

Resolução: Sejam $[;x\ ;]$ o número de pés de maçãs extras que devem ser plantados por hectare e $[;N(x);]$ o número de maçãs produzidas por ano. Assim,

$[;N(x) = a\ \frac{pes}{ha}\cdot b\ \frac{macas}{pe.ano} + x\ pes\cdot (b - cx)\frac{macas}{pe.ano};]$

$[;N(x) = ab + bx - cx^2;]$

Como $[;c \succ 0;]$ , pela Prop. 1, a produção será máxima se $[;x = -b/2(-c) = b/2c;]$ . Por exemplo, se $[;a = 60;]$ , $[;b = 600;]$ e $[;c = 12;]$ , então $[;x = 600/24 = 25;]$ pés de maçãs extras por hectare, ou seja, devem ser plantados $[;85;]$ pés de maçãs por hectare para que a produção anual seja máxima.

Exercícios Propostos:

1) Entre todos os retângulos de perímetro igual a $[;20\ cm;]$ , determine aquele que possui área máxima.

2) Qual o número positivo que adicionado ao dobro do seu inverso resultará no menor valor possível?

3) A soma dos perímetros de um quadrado e de um círculo é $[;1\ m;]$ . Qual deve ser o perímetro de cada um deles, sabendo que a soma das áreas é mínima?

4) Qual é a área máxima de um retângulo que tem $[;24\ cm;]$ de perímetro?

5) Qual a área máxima de um retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado $[;6\ m;]$ , estando a base do retângulo sobre um lado do triângulo.

Gostará de ler também:
- A Caixa Sem Tampa de Volume Máximo;
- A Caixa Com Tampa de Volume Máximo;
- Mínimos Locais Através da Desigualdade Aritmética-Geométrica;
- O Ângulo Ótimo de Ramificação de uma Ártéria;
- O Ângulo Ótimo de Visualização;

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A Cissóide de Diócles

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Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada