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A Cissóide de Diócles

O matemático grego Diócles em 180-240 a.C. inventou uma curva chamada cissóide para auxiliar na duplicação do cubo. Vejamos como podemos deduzir a equação desta curva usando os recursos da Geometria Analítica Moderna.

Considere a circunferência de diâmetro [;2a;] sobre o eixo [;y;] e tangente ao eixo [;x\ ;]. Sejam [;OA;]
o diâmetro que está no eixo [;y;], [;AD;] um segmento tangente à circunferência em [;A;] e [;B;] o ponto onde [;OD;] intercepta a circunferência. Além disso, seja [;P(r,\theta);] um ponto sobre [;OD;], sendo [;r = OP;] e [;\theta;] o ângulo formado por [;OD;] e o eixo [;x\ ;]. O lugar geométrico descrito por [;P;] tal que [;OP = BD;] é chamado de cissóide de Diócles. Vejamos como podemos obter sua equação em coordenadas polares.

Do [;\triangle OAB;] retângulo em [;B;], temos

[;\sin \theta = \frac{OB}{OA} \quad \Rightarrow \quad OB = 2a\sin \theta;]

e do [;\triangle OAD;] retângulo em [;A;], temos

[;\sin \theta = \frac{OA}{OD} \quad \Rightarrow \quad OD = \frac{2a}{\sin \theta};]

Assim, [;r = OP = BD = OD - OB = \frac{2a}{\sin \theta} - 2a\sin \theta \quad \Rightarrow;]

[;r(\theta) = 2a\biggl(\frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta \biggr) = \frac{2a(1 - \sin^2 \theta)}{\sin \theta} = \frac{2a\cos^2 \theta}{\sin \theta} \qquad (1);]

Para achar a equação cartesiana da cissóide, usamos as expressões [;x = r\cos \theta;] e [;y = r\sin \theta;], de modo que

[;\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x}{y} \qquad (2);]

Substituindo [;(2);] em [;(1);], temos

[;r = 2a\cos \theta \cdot \frac{x}{y} \quad \Rightarrow \quad r^2 = 2ar\cos \theta \frac{x}{y} = \frac{2ax^2}{y} \quad \Rightarrow;]

[;y(x^2 + y^2) = 2ax^2 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 2ax^2 - x^2y \quad \Rightarrow \quad y^3 = (2a - y)x^2;]

Se considerarmos a circunferência de raio [;a;] centrada no ponto [;(a,0);] a equação da cartesiana da cissóide é dada por [;y^2 = x^3/(2a - x);] e o seu gráfico é dado por


Huygens e Pierre de Fermat em [;1658;] mostrou que a área entre a curva e sua assíntota vertical é igual a [;3\pi a^2;].

Gostará de ler:
- A Primeira Retificação de uma Curva;
- Fatos Históricos da Ciclóide;
- Algumas Propriedades Geométricas da Ciclóide;
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- A Propriedade Refletora da Parábola;
- Os Três Problemas Famosos da Geometria Grega.

quarta-feira

Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada

Sabemos que a derivada de uma função é uma ferramenta poderosa para resolver os problemas de otimização que surgem em várias áreas da matemática, física e engenharia.

Buscando apresentar a matemática do pré-cálculo interessante, apresento neste post alguns problemas de máximos e mínimos cuja solução pode ser obtida sem o uso da derivada. Além disso, apresentaremos uma justificativa formal do fato que as funções quadráticas apresentam um valor máximo ou mínimo conforme o sinal do coeficiente do termo de maior grau.

Definição 1: Dizemos que a função [;y = f(x);] assume um valor de máximo absoluto no ponto [;x = x_0;] se [;f(x) \leq f(x_0), \qquad \forall x \in D(f);]. O ponto [;A(x_0,f(x_0));] sobre o gráfico de [;f;] é dito ponto de máximo absoluto de [;f;].

Definição 2: Dizemos que a função [;y = f(x);] assume um valor de mínimo absoluto no ponto [;x = x_0;] se [;f(x) \geq f(x_0), \qquad \forall x \in D(f);]. O ponto [;A(x_0,f(x_0));] sobre o gráfico de [;f;] é dito ponto de mínimo absoluto de [;f;].

Nem todas as funções possuem pontos de máximos e mínimos absolutos. Um exemplo simples é a função do [;1^{\underline{\circ}};] grau [;y = ax + b;]. Um teorema muito elegante sobre a existência de máximos e mínimos absolutos afirma que se uma função contínua em um intervalo fechado limitado então existem tais pontos.

Proposição 1: Se [;a \prec 0;] ([;a \succ 0;]), a função quadrática [;f(x) = ax^2 + bx + c;] assume um valor máximo (mínimo) no ponto [;x = -b/2a;].

Demonstração: Suponhamos que [;a \prec 0;] e provemos que [;f(x) \leq f(-b/2a), \qquad \forall x \in \mathbb{R};]. O outro caso é análogo. Note que

[;f(x) = a\biggl(x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a}\biggr);]

[;=a\biggl[ \biggl(x^2 + \frac{2bx}{2a} + \frac{b^2}{4a^2}\biggr) - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\biggr];]

[;=a\biggl[ \biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 - \frac{(b^2 - 4ac)}{4a^2}\biggr];]

[;=a\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 - \frac{\Delta}{4a};]

onde [;\Delta = b^2 - 4ac;] é o discriminante da função quadrática. Sendo [;a \prec 0;], o termo [;a(x + b/2a)^2 \leq 0;], de modo que

[;f(x) \leq 0 - \frac{\Delta}{4a} =-\frac{\Delta}{4a};]

Como [;f(-b/2a) = -\Delta/4a;], então para [;a \prec 0;], o ponto [;(-b/2a,-\Delta/4a);] também chamado de vértice, sobre o gráfico da parábola [;f(x) = ax^2 + bx + c;] é um ponto de máximo absoluto.

Exemplo 1: Para uma excursão foi fretado um avião de [;200;] lugares. Cada pessoa deve pagar a companhia de aviação [;R\$ \ 1000,00;] mais uma taxa de [;R\$ 50,00;] por cada lugar não ocupado no avião. Qual a quantia máxima que a companhia poderá receber.

Resolução: Sejam [;x\ ;] o número de pessoas embarcadas no avião e [;Q(x);] a quantia em reais recebida pela empresa aérea. Assim,

[;Q(x) = 1000x + 50(200 - x)x = -50x^2 + 11.000x;]

Sendo [;a = -50 \prec 0;], pela Prop. 1, o máximo absoluto ocorre para [;x = -b/2a = -11.000/2(-50) = 110;] pessoas. A quantia máxima é dada por [;Q_{max} = -50.110^2 + 11.000\cdot 110 = 605.000\ reais;].

Exemplo 2: Um galinheiro de [;32\ m^2;] deve ser construído de modo que um de seus lados é um muro já existente. Determine o comprimento mínimo de tela gasto nest obra.


Resolução: Sejam [;x\ ;] e [;y;] as dimensões do galinheiro conforme a figura acima. Temos que [;L = x + 2y;] e

[;S = xy = 32 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{32}{x};]

Assim, [;L(x) = x + 64/x;] para [;x \succ 0;]. Para determinar o mínimo dessa função sem o uso de derivada, podemos usar a desigualdade aritmética-geométrica, mas vejamos um modo diferente para achar este ponto de mínimo. Sendo

[;L = \frac{x^2 + 64}{x} \quad \Rightarrow \quad x^2 - Lx - 64 = 0;]

de modo que [;x(L);] definida implicitamente por essa expressão assume um mínimo absoluto se [;x = -(-L)/2 = L/2 \quad \Rightarrow \quad L = 2x;]. Assim, obtemos a equação

[;x^2 - 2x\cdot x - 64 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad x = 8\ m;]

e sendo [;xy = 32;], segue que [;y = 4\ m;].


Exemplo 3: O proprietário de um pomar de maçãs estima que plantando [;a;] pés por hectare, cada pé de maçã adulto produzirá [;b;] maçãs por ano. Para cada árvore plantada por hectare além de [;a;] haverá um decréscimo de produção de [;c;] maçãs por ano. Quantas árvores devem ser plantadas de modo se obter o número máximo de maçãs por ano?

Resolução: Sejam [;x\ ;] o número de pés de maçãs extras que devem ser plantados por hectare e [;N(x);] o número de maçãs produzidas por ano. Assim,

[;N(x) = a\ \frac{pes}{ha}\cdot b\ \frac{macas}{pe.ano} + x\ pes\cdot (b - cx)\frac{macas}{pe.ano};]

[;N(x) = ab + bx - cx^2;]

Como [;c \succ 0;], pela Prop. 1, a produção será máxima se [;x = -b/2(-c) = b/2c;]. Por exemplo, se [;a = 60;], [;b = 600;] e [;c = 12;], então [;x = 600/24 = 25;] pés de maçãs extras por hectare, ou seja, devem ser plantados [;85;] pés de maçãs por hectare para que a produção anual seja máxima.

Exercícios Propostos:

1) Entre todos os retângulos de perímetro igual a [;20\ cm;], determine aquele que possui área máxima.

2) Qual o número positivo que adicionado ao dobro do seu inverso resultará no menor valor possível?

3) A soma dos perímetros de um quadrado e de um círculo é [;1\ m;]. Qual deve ser o perímetro de cada um deles, sabendo que a soma das áreas é mínima?

4) Qual é a área máxima de um retângulo que tem [;24\ cm;] de perímetro?

5) Qual a área máxima de um retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado [;6\ m;], estando a base do retângulo sobre um lado do triângulo.

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