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domingo

Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Submersas Planas


Pressão é a força por unidade de área, ou seja, é a força que age perpendicularmente sobre a área dividido pela área sobre a qual a força está distribuida.

A pressão [;P;] exercida sobre uma superfície horizontal, de área [;A;], por uma coluna de fluido de altura [;h;], que se apóia sobre, é

[;P=P_0 + \rho g h \qquad (1);]

onde [;\rho;] é a densidade do fluido e [;P_0;] é a pressão atmosférica na superfície do fluido. Deste resultado, concluímos que a pressão exercida por um fluido em qualquer ponto é igual em todas as direções.

Para provar este resultado, considere um elemento infinitesimal do fluido de massa [;dm;] a uma distância [;h;] medido a partir da superfície do líquido conforme a figura acima. Como elemento está em equilíbrio, então

[;-(P+dP)dA + gdm + PdA = 0 \quad \Rightarrow \quad dPdA = \rho (gdh dA) \quad \Rightarrow;]

[;dP = \rho g dh \qquad (2);]

Integrando a equação (2), temos:

[;\int_{P_0}^{P}dP = \int_{0}^{h}\rho g dh;]
donde segue o resultado.

Observação:
O termo [;\rho gh;] na expressão (1) é conhecido por pressão efetiva e o termo [;\rho g;] é conhecido por peso específico do fluido, é denotado por [;\gamma;] e expresso em [;(N/m^3);] ou [;kgf/m^3;].


Na figura abaixo, mostramos uma lâmina de forma não-especificada submersa verticalmente num recipiente com água. Para achar a força total exercida pela água contra uma face dessa lâmina imaginamos essa face dividida num grande número de faixas horizontais estreitas.

A faixa elementar mostrada nesta figura está a uma profundidade [;h;] abaixo da superfície. Sua largura [;dh;] é tão pequena comparada com [;h;] que a pressão efetiva é essencialmente constante sobre toda a faixa e tem o valor [;P = \gamma h;]. A área da faixa é [;dA = xdh;]. Assim, o elemento de força [;dF;] agindo na faixa é dado por

[;dF = PdA = \gamma yxdh;]

A força total [;F;] agindo na face inteira da lâmina é obtida integrando esses elementos de força quando a faixa elementar percorre toda a lâmina, desde o topo até a base, ou seja,

[;F = \int dF = \gamma \int_{a}^{b} xhdh \quad (3);]

A fim de realizar a integração indicada num problema específico é necessário conhecer [;x\ ;] como uma função de [;h;].

Exemplo 1: Achar a força que age numa área triangular vista na figura abaixo, as unidades sendo em metros e o líquido pesando [;800 \ kgf/m^3;].

Resolução: Por semelhança de triângulos, temos

[;\frac{x}{3} = \frac{6-h}{6-2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{4}(6-h);]

Logo, pela fórmula (3}), segue que

[;F = \frac{3}{4}\times 800\int_{2}^{6}(6h - h^2)dh = 16000 \ kgf;]

Exemplo 2: Achar a força que age sobre uma comporta vertical cuja a forma é um semicírculo de raio [;r;] e com seu diâmetro na superfície da água.

Como o eixo [;h;] apontando para baixo e [;x\;] medido a partir do centro do elemento de força, então [;x = \sqrt{r^2 - h^2};] e [;dA = 2xdh;]. Sendo o peso específico da água igual a [;1000 \ kgf/m^3;], então

[;F = \gamma \int_{0}^{r} 2xhdh = 2000 \int_{0}^{r} h\sqrt{r^2 - h^2}dh = \frac{2000r^3}{3} \ kgf;]



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sexta-feira

O Tesouro dos 5 Piratas


Cinco piratas, em um de seus muitos assaltos em alto-mar, se apoderam de um baú contendo [;1.000;] (mil) moedas de ouro e decidem, ali mesmo, repartir o produto do roubo.

Mas, em vez de repartirem em partes iguais, um deles dá uma sugestão que é imediatamente acolhida pelos demais. A sugestão era a seguinte: inicialmente, seria feito um sorteio para se determinar em que ordem cada um dos piratas apresentaria a sua proposta de divisão. Se a proposta formulada por um pirata, na sua vez de falar, fosse aceita pela maioria, então estava resolvida a questão; mas, caso ela não fosse aceita pela maioria, esse pirata seria atirado ao mar, que estava cercado de tubarões... e o pirata seguinte (na ordem do sorteio) formularia a sua proposta, que seria avaliada pelos restantes.

É importante salientar que a maioria de [;4;] piratas é [;3;] piratas e a maioria de [;2;] piratas é [;2;] piratas, e que o pirata que faz a proposta também entra na contagem para se avaliar essa maioria.

Foi feito o sorteio e determinada a ordem em que cada um dos piratas apresentaria a sua proposta de divisão aos que ainda restassem.

Admitindo-se que os cinco piratas são extremamente inteligentes, extremamente gananciosos (nenhum deles se contentaria, por exemplo, com [;180;] moedas se ele pudesse conseguir [;181;]), e além disso, extremamente sedentos de sangue (“fulano está me oferecendo [;n;] moedas, mas sei que um dos próximos também vai me oferecer [;n;] moedas, então não vou concordar porque prefiro que ele seja atirado aos tubarões”), e que não existe a possibilidade de acordos entre dois ou mais deles, pergunta-se:

Que proposta de divisão o PRIMEIRO pirata a falar deve apresentar, para que ela seja aceita pela maioria?

Solução:

Vamos identificar os piratas pelas letras A, B, C, D e E, e que essa será a ordem em que eles apresentarão suas propostas (o primeiro a falar será “A”, que apresentará sua proposta aos outros [;4;] e caso ela não seja aceita, ele será atirado ao mar; em seguida, “B” apresentará a sua proposta aos restantes, etc...). Então, para que a proposta de “A” seja aceita, é preciso que pelo menos mais dois dos outros [;4;] concordem com ela.

Como foi dito que os cinco piratas são extremamente inteligentes, extremamente gananciosos e extremamente sedentos de sangue, vamos ver o que “A” analisará:


“D” não está esperando moeda alguma, pois sabe que se sobrarem somente ele e “E”, “E” não vai aceitar nenhuma proposta que ele faça, pois, não aceitando, “D” será obrigado a se atirar aos tubarões e ele poderá ficar com todas as moedas.

C” sabe disso (continua analisando “A"); sabe que sobrando somente eles [;3;] (“C”, “D” e “E”), “C” conseguiria a maioria mesmo não oferecendo nada aos outros dois, pois “D” se veria obrigado a concordar com ele para que pudesse continuar vivo (se “D” não concorda, “C” morre, mas “D” também morrerá, como visto acima). Mas, “C” sabe que “B” sabe disso, e que “B” conseguirá a maioria oferecendo uma moeda para “D” e uma moeda para “E” e nenhuma para ele “C”. Assim, “B” poderia ficar com [;998;] moedas, ofereceria uma moeda para “D” (que concordaria, pois não tem expectativa de receber nenhuma moeda e continuaria vivo), uma moeda para “E” (que também concordaria, pois também não tem expectativa de receber nenhuma moeda e também continuaria vivo), e não ofereceria nenhuma moeda para “C” (sua concordância não é mais necessária). Logo, a expectativa de “C” é não receber nenhuma moeda

Então, "A" sabe que a expectativa de "C" é não receber nada e "D" e "E" estão com a expectativa de receber uma moeda cada um, se ficarem somente os [;4;]. "A" não pode simplesmente oferecer uma moeda para "D" e uma moeda para "E", nenhuma para os outros dois, e ficar com [;998;] moedas, pois "D" e "E" sabem que sobrando [;4;] piratas, eles têm essa moeda garantida por "B". Logo, "D" e "E" não concordarão, e "C", apesar de não receber nenhuma moeda, também não concordará, somente para ver "A" se atirar aos tubarões.

Logo, ele inicialmente oferece uma moeda para “C” (que então concordará com ele, pois sua expectativa era nada receber). O outro voto favorável terá de vir ou de “D” ou de “E” (pois “B”, conforme foi visto acima, sabe que poderá ficar com [;998;] moedas se sobrarem só [;4;] piratas). Se ele oferece uma moeda para “D” e nenhuma para “E”, ou uma moeda para “E” e nenhuma para “D”, nenhum deles concorda pois os dois sabem que já têm uma moeda assegurada por “B”, e podem ter o prazer de ver “A” se jogar aos tubarões.

“A” então, para conseguir a maioria, oferece [;2;] moedas para “D” ou para “E” (que prontamente concordará com ele, pois sua expectativa era receber apenas uma se sobrassem os [;4;]) e nenhuma para os demais, ficando, portanto com [;997;] moedas.

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Artigo enviado por Paulo Bouhid
, engenheiro eletricista por formação, mas desenvolveu profissionalmente na área de Análise de Sistemas. Atualmente, faz cálculos trabalhistas para advogados e em suas horas vagas, dedica-se à Matemática, resolvendo e catalogando diversos problemas interessantes.

O blog Fatos Matemáticos agradece imensamente esta contribuição enviada pelo Eng. Paulo Bouhid.