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terça-feira, 28 de junho de 2011

O Quingentésimo Post!!

Após quase dois anos de muito esforço e dedicação, chegamos ao quingentésimo post ou se preferirem o post de número [;500;]. Esta é uma marca histórica, pois é uma métrica muito significativa para medir o tamanho de um blog. Para se ter uma ideia do tamanho do arquivo dos Fatos Matemáticos, suponhamos que estamos construindo uma torre e cada post publicado acrescenta [;1\ m;] a sua altura. Com esta comparação o blog teria uma altura de [;500\ m;], maior que o edifício Petronas Two Towers na Malásia que possui [;452\ m;]e um gigante perto dos prédios comerciais de [;10;] andares que possuem aproximadamente [;30\ m;].

Houve grande esforço para construir este edifício de [;500\ m;], mas acredito que se a matemática também fosse um edifício, sua altura seria algo astronômico. Em todo este período, foram [;4;] promoções, [;3;] compêndios, vários e-books publicados, visando apenas uma coisa:

A divulgação da matemática em todos os seus níveis.

Estou ciente que existem áreas que foram poucas contempladas, mas é aí que está a grande oportunidade para que outros explorem estes campos. Mesmo assim, tenho muito assunto para ser publicado, mas isto ocorre aos poucos, pois afinal o Fatos Matemáticos é um blog com uma equipe formada por apenas um mero professor de matemática. Deste modo, tenho que digitar os textos, resolver as equações, criar as imagens e também fazer as divulgações. Mas faço isso com grande prazer e ficaria muito realizado se houvesse a profissão blogueiro com carteira assinada incluindo todos os direitos trabalhistas, pois assim, dedicaria em tempo integral a este projeto.

Quero parabenizar a todos os visitantes, leitores e seguidores que prestigiam o blog participam através de comentários construtivos. Também tenho grande gratidão pelos artigos enviados pelos autores externos, mostrando que o blog é um espaço de todos, com a marca de mais 25.000 páginas vistas mensalmente.

Quais são os [;10;] posts mais lidos entre os 500 publicados?

Para responder a esta pergunta, consultei a ferramente estatística do blogger e temos o top [;10;] dos Fatos Matemáticos:

1) Quarta Promoção do Blog (Participem!!!) com 2066 acessos;

2) Sobre o Produto Misto com 1150 acessos;

3)
Terceira Promoção do Blog (Participem!!!) com 1012 acessos;

4) O Desafio de Einstein Resolvido com 954 acessos;

5) Como Estudar Matemática? com 876 acessos;

6) Adrien Marie Legendre com 760 acessos;

7) O Dominó das Frações com 729 acessos;

9) O Calendário Dodecaédrico 2011 com 673 acessos;

8) A Desigualdade de Cauchy-Schwarz com 669 acessos;

10) Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 1) com 605 acessos.

Outro fato que mede a importância do blog pode ser constatada através dos motores de busca do Google, isto é, quando alguém faz uma pesquisa no Google, ele apresenta na primeira página os 10 links mais relevantes e dentre estes, existe algum post publicado pelos Fatos Matemáticos. O que adianta ter um portal ou grande site, se ele é esquecido nesta grande rede virtual?

Outro blog que tende a crescer é a UBM (União dos Blogs de Matemática), um espaço que valoriza, organiza e divulga os posts dos outros blogs de matemática. É uma ideia inovadora, mas muito bem fundamentada. Para encerrar tenho que responder a uma pergunta natural que é:

O blog alcançará a marca de [;1000;] posts?

É uma pergunta difícil de responder, pois o futuro não me pertence e coisas inesperadas podem acontecer, mas se depender apenas da minha paixão pela matemática, essa marca será facilmente atingida. Tenho aprendido muito nesta minha caminhada de blogueiro, mas o que me deixa mais feliz é saber que outras pessoas estão aprendendo também através dos Fatos Matemáticos e quem sabe um dia ele transforma em um wikipédia da matemática.

domingo, 26 de junho de 2011

Sobre os Subespaços Vetoriais

Muitas vezes, dentro de um espaço vetorial [;V;] é possível formar um outro espaço usando um subconjunto [;S;] de [;V;] com as operações de soma e multiplicação por um escalar de [;V;]. Mas, para que o subconjunto não-vazio [;S;] seja também um espaço vetorial, ele deve ser fechado com relação a essas operações. Deste modo, temos a seguinte definição:

Definição 1: Dizemos que um subconjunto não-vazio [;S;] de um espaço vetorial [;V;] é um subespaço vetorial se ele satisfazer as condições:


i) [;\vec{u} + \vec{v} \in S, \quad \forall \vec{u},\ \vec{v} \in S;];
ii) [;\alpha \vec{u} \in S, \quad \forall \vec{u} \in V, \ \forall \alpha \in \mathbb{R} ;].

Exemplo 1: O conjunto [;S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2\ | \ 2x + y = 0\};] é um subespaço vetorial de [;\mathbb{R}^2;].

Resolução: Sejam [;\vec{u} = (x_1,y_1) \in S;] e [;\vec{v} = (x_2,y_2) \in S;]. Assim, por definição de [;S;], temos [;2x_1 + y_1 = 0;] e [;2x_2 + y_2 = 0;]. Vejamos então se [;S;] satisfaz as duas condições acima. Mas,

[;\vec{u} + \vec{v} = (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+ x_2,y_1 + y_2);]
e
[;2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (2x_1 + y_1) + (2x_2 + y_2) = 0 + 0 = 0;]

de modo que [;\vec{u} + \vec{v} \in S;]. Além disso, se [;\alpha \in \mathbb{R};], então

[;\alpha \vec{u} = \alpha (x_1,y_1) = (\alpha x_1, \alpha y_1);]
e
[;2(\alpha x_1) + (\alpha y_1) = \alpha(2x_1 + y_1) = \alpha\cdot 0 = 0;]

donde segue que [;S;] também satisfaz a segunda condição.

Exemplo 2:
É fácil ver que os subconjuntos
[;\{\vec{0}\};] e [;V;] de um espaço vetorial [;V;] são subespaços de [;V;]. Todos os outros subespaços de [;V;] são chamados de subespaços próprios.

Observação 1:
As condições da definição 1, garantem que ao operarmos em
[;S;], não obteremos nenhum vetor fora de [;S;]. Isto é suficiente para afirmar que [;S;] é ele próprio um espaço vetorial.

Proposição 1:
Se [;S;] é um subespaço vetorial de [;V;], então [;\vec{0} \in S;].

Demonstração:
Sendo [;S;] não-vazio, existe [;\vec{u} \in S;]. Sendo [;S;] um subespaço vetorial, então [;-\vec{u} \in S;]. Logo, [;\vec{0} = \vec{u} - \vec{u} \in S;].

Observação 2: A recíproca desta proposição é falsa. Para ver isto, seja

[;S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2\ | \ y = x^2\};]

Claramente, [;\vec{0} = (0,0) \in S;], mas a soma de dois vetores não-nulos [;\vec{u};] e [;\vec{v};] de [;S;]não pertencem a [;S;], pois
[;x_{1}^2 + x_{2}^2 \ \neq (x_1 + x_2)^2;].

Exemplo 3: Considere o espaço vetorial [;M_2;] formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais e a matriz


[;B = \begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\\\end{bmatrix};]


Seja
[;S = \{A \in M_2\ | \ AB = BA\};]. Então [;S;] é um subespaço vetorial de [;M_2;].

Resolução: Sejam [;A_1, A_2 \in S;]. Assim,
[;A_1, A_2 \in M_2;] e [;A_1B = BA_1;] e [;A_2B = BA_2;]. Sendo,
[;(A_1 + A_2)B = A_1B + A_2B = BA_1 + BA_2 = B(A_1 + A_2);]

segue que [;A_1 + A_2 \in S;]. Analogamente, se [;\alpha \in \mathbb{R};], então

[;(\alpha A_1)B = \alpha (A_1B) = \alpha (BA_1) = B(\alpha A_1);]

de modo que [;\alpha A_1 \in S;] e consequentemente, [;S;] é um subespaço vetorial de [;M_2;].

Exemplo 4: Seja [;S;] o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a [;3;] com a propriedade de que [;p(0) = 0;]. Então [;S;] é subespaço vetorial de [;P_3;] (espaço vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a [;3;]) com soma e produto por escalar usual para polinômios).

Resolução: O conjunto [;S;] é não-vazio, já que contém o polinômio nulo. Se [;p_1(x),\ p_2(x) \in S;], então

[;(p_1 + p_2)(0) = p_1(0) + p_2(0) = 0 + 0 = 0;]

e para [;\alpha \in \mathbb{R};], temos [;(\alpha p_1)(0) = \alpha p_1(0) = \alpha\cdot 0 = 0;].

Logo, [;S;] é um subespaço vetorial de [;P_3;].

Exercício: Seja [;S;] o conjunto de todas as funções [;f;] em [;C^2[a,b];] tais que [;f^{\prime \prime}(x) + f(x) = 0;] para todo
[;x \in [a,b];]. Então [;S;] é um subespaço vetorial de [;C^2[a,b];].

Gostará de ler também:

- Sobre os Espaços Vetoriais;
- Sistemas Lineares no Balanceamento de Equações Químicas;
- O Método de Eliminação de Gauss para Sistemas Lineares.