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A Fórmula de Desenvolvimento de Heaviside

Veremos neste post uma fórmula muito útil para achar a transformada inversa de Laplace da forma [;P(s)/Q(s);], sendo [;Q(s);] um polinômio de grau [;n;] e [;P(s);] um polinômio de grau menor que [;n;].

Proposição 1: Se [;\alpha_k;], para [;k=1,2,\ldots;], são as raízes [;Q(s);], então

[;\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{P(s)}{Q(s)}\biggr\} = \sum_{k=1}^{n}\frac{P(\alpha_k)}{Q^{\prime}(\alpha_k)}e^{\alpha_k t};]

Demonstração: De fato, como [;Q(s);] é um polinômio com [;n;] zeros distintos, podemos escrever, de acordo com o método das frações parciais,
[;\frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{A_1}{s - \alpha_1} + \frac{A_2}{s - \alpha_2} + \ldots + \frac{A_n}{s - \alpha_n} = \sum_{j=1}^{n}\frac{A_j}{s - \alpha_j} \qquad (1);]

Multiplicando ambos os lados de [;(1);] por [;s - \alpha_k;] e fazendo [;s \to \alpha_k;], temos:

[;\lim_{s \to \alpha_k}(s - \alpha_k)\frac{P(s)}{Q(s)} = \lim_{s \to \alpha_k}\sum_{j=1}^{n}A_j\frac{s - \alpha_k}{s - \alpha_j} = A_k \qquad (2);]
pois,
[;\frac{s - \alpha_k}{s - \alpha_j} =\begin{cases}0, \quad \text{se} \quad j \neq k\\1, \quad \text{se} \quad j = k\end{cases};]

O limite no lado esquerdo de [;(2);] é da forma [;0/0;] de modo que podemos usar a regra de L'Hôpital para calculá-lo, ou seja,

[;A_k = \lim_{s \to \alpha_k} \frac{P(s) + (s - \alpha_k)P^{\prime}(s)}{Q^{\prime}(s)} = \frac{P(\alpha_k)}{Q^{\prime}(\alpha_k)} \qquad (3);]

Substituindo [;(3);] em [;(1);], segue que


[;\frac{P(s)}{Q(s)} = \sum_{j=1}^{n}\frac{P(\alpha_j)}{Q^{\prime}(\alpha_j)}\cdot \frac{1}{s - \alpha_j} \quad \Rightarrow;]

[;\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{P(s)}{Q(s)}\biggr\} = \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\sum_{j=1}^{n}\frac{P(\alpha_j)}{Q^{\prime}(\alpha_j)}\cdot \frac{1}{s - \alpha_j}\biggr\};]

[;= \sum_{j=1}^{n}\frac{P(\alpha_j)}{Q^{\prime}(\alpha_j)}\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s - \alpha_j}\biggr\} = \sum_{j=1}^{n}\frac{P(\alpha_j)}{Q^{\prime}(\alpha_j)}e^{\alpha_j t};]

Exemplo 1: Calcule
[;\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{s^2 + 4}{s^3 - s} \biggr\};]

Resolução: Sendo [;Q(s) = (s + 1)s(s - 1);], então [;\alpha_1 = -1;], [;\alpha_2 = 0;] e [;\alpha_3 = 1;]. Assim,

[;\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{s^2 + 4}{s^3 - s} \biggr\} = \sum_{j=1}^{3}\frac{P(\alpha_j)}{Q^{\prime}(\alpha_j)}e^{\alpha_j t};]

[;=\frac{P(-1)}{Q^{\prime}(-1)}e^{-t} + \frac{P(0)}{Q^{\prime}(0)}e^{0t} + \frac{P(1)}{Q^{\prime}(1)}e^{t};]

[;= -4 + \frac{5}{2}e^{-t} + \frac{5}{2}e^{t} = 5\cosh t - 4;]

Exemplo 2: Calcule a transformada inversa de Laplace de [;F(s) = 1/(s^2 - 3s + 2);].

Resolução: Os zeros de [;Q(s) = s^2 -3s + 2;] são [;\alpha_1 = 1;] e [;\alpha_2 = 2;]. Note que [;Q^{\prime}(s) = 2s - 3;]. Assim,

[;\mathcal{L}^{-1} = \biggl\{\frac{1}{s^2 - 3s + 2}\biggr\} = \frac{P(1)}{Q^{\prime}(1)} + \frac{P(2)}{Q^{\prime}(2)} = \frac{1}{2.1-3}e^{t} + \frac{1}{2.2 - 3}e^{2t} = e^{2t} - e^t;]

Exemplo 3: Calcule

[;\mathcal{L}^{-1}\{\frac{2s^2 - 4}{(s + 1)(s - 2)(s - 4)}\};]

Resolução: Neste caso, [;\alpha_1 = -1;], [;\alpha_2 = 2;], [;\alpha_3 = 4;] e

[;Q^{\prime}(s) = (s - 2)(s - 4) + (s+1)(s - 4) + (s + 1)(s - 2);]

de modo que [;Q^{\prime}(-1) = (-1 - 2)(-1 - 4) = 15;], [;Q^{\prime}(2) = (2 + 1)(2 - 4) = - 6;] e [;Q^{\prime}(4) = (4+1)(4 - 2) = 10;]. Logo,

[;\mathcal{L}^{-1}\{\frac{2s^2 - 4}{(s + 1)(s - 2)(s - 4)}\} = \frac{-2}{15}e^{-t} + \frac{4}{-6}e^{2t} + \frac{28}{10}e^{4t};]

[;= -\frac{2}{15}e^{-t} - \frac{2}{3}e^{2t} + \frac{14}{5}e^{4t};]

Gostará de ler também:
- A Função Delta de Dirac;
- A Convolução nas Transformadas de Laplace;
- Soma de Séries Através da Transformada de Laplace.

sábado

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat, nasceu em [;17;] de agosto de [;1601;] em Beaumont-de-Lomagne, perto de Montauban a sudoeste da França. Filho de Dominique Fermat, um rico comerciante de peles que o colocou no mosteiro franciscano de Grandselve recebendo, ali, uma educação privilegiada. Entrou para o serviço público onde foi, em [;1631;], nomeado conselheiro na Câmara de Requerimentos.

Pierre de Fermat foi talvez o maior matemático do século
[;XVII;], mas sua influência foi limitada por falta de interesse em publicar suas descobertas que são conhecidas principalmente pelas cartas a amigos e anotações marginais em sua cópia da Arithmética de Diofanto. Por profissão, era advogado e membro da suprema corte provincial de Toulose, no sudoeste da França. Entretanto, seu passatempo e sua paixão particular era a matemática e sua criatividade casual foi uma das maravilhas da época para os poucos que a conheceram.

Suas cartas sugerem que era um homem envergonhado e reservado, cortês e afável, mas um pouco distante. Sua vida externa era tão calma e ordenada como se poderia esperar de um juiz de província com senso de responsabilidade e de seu trabalho. Felizmente, esse seu trabalho não era tão exigente e deixou bastante tempo ocioso para a extraordinária vida interior que florecia, a luz de lamparina, no silêncio de seu estúdio a noite. Ele era um amante do estudo, dos clássicos e de suas próprias ideias matemáticas que se desenvolveram em parte por sua familiaridade íntima com os trabalhos de Arquimedes, Apolônio, Diofanto e Pappus de Alexandria. Embora fosse um gênio de primeira grandeza, parece que pensava de si mesmo como no máximo um sujeito inteligente com algumas boas ideias, mas não da mesma categoria dos mestres da antiguidade grega.

O padre Mersenne ficou sabendo de algumas pesquisas de Fermat e escreveu a ele em [;1636;], convidando-o a compartilhar suas descobertas com os matemáticos parisienses. A partir deste momento, Fermat e o padre Mersenne comunicaram-se através de cartas durantes muitos anos. As cartas de Fermat eram repletas de idéias e descobertas, e, as vezes, acompanhadas por pequenos ensaios expositivos em que resumidamente descrevia alguns de seus métodos. Esses ensaios eram escritos em latim e eram passados, com excitação, de pessoa a pessoa, no grupo de mersene. Fermat resolvia de forma genial vários problemas propostos a ele pelos matemáticos parisienses e de volta propunha problemas que eles não podiam resolver. Ele apreciava se desafiar e achava natural que sues correspondentes também apreciassem. Por exemplo, uma vez o padre Mersenne lhe perguntou se o número [;100.895.598.169;] era primo ou não. Tais questões frequentemente levavam anos para serem respondidas, mas Fermat replicou sem hesitação sem hesitação que o número era o produto de [;112.303;] e [;898.423;] e que cada um desses fatores era primo - e até hoje ninguém sabe como ele descobriu.

Fermat inventou a Geometria Analítica em [;1629;] e descreveu suas ideias em um trabalho não publicado intitulado Introdução aos lugares geométricos planos e sólidos, que circulou apenas na forma de manuscrito. Neste trabalho Fermat introduziu a ideia de eixos perpendiculares e descobriu as equações gerais da reta, circunferência e equações mais simples para parábolas, elipses e hipérboles, e depois demonstrou que toda equação de [;1^{\underline{0}};] e [;2^{\underline{0}};] grau pode ser reduzida a um desses tipos. Nada disto está no ensaio de Descartes, além de que este teve acesso à Introdução vários meses antes de publicar sua obra intitulada Geometria, de [;1637;] como apêndice de seu famoso Discurso do Método. Entretanto, nada do que poderíamos reconhecer como Geometria Analítica pode ser encontrado no ensaio de Descartes, exceto talvez a ideia de usar Álgebra como linguagem para abordar problemas geométricos.

A invenção do Cálculo é usualmente creditada a Newton a Leibniz, cujas ideias e métodos não tinham publicados até cerca de [;20;] após a morte de Fermat. Entretanto, se o cálculo diferencial for considerado como a matemática de determinar máximos e mínimos de funções e desenhar tangentes a curvas, então foi Fermat o criador dessa área já no ano de [;1629;], mais de uma década antes que Newton ou Leibniz tivesse nascido. Convém lembrar que Fermat escreveu vários relatos de seus métodos, mas, como sempre, não fez esforço em publicá-los. O primeiro desses era um ensaio muito pequeno que circulava em Paris em [;1639;] e que, de acordo com a própria afirmação de Fermat, fora escrito [;7;] anos antes. Com sua honestidade usual em tais assuntos, Newton afirmou - numa carta descoberta apenas em [;1934;] - que suas primeiras ideias próprias acerca do Cálculo vieram diretamente "da maneira pela qual Fermat traçava tangentes."

Eram conhecidas tão poucas curvas antes de Fermat que ninguém sentiu qualquer necessidade de aperfeiçoar a ideia velha e inútil de que uma tangente é uma reta que toca uma curva em um único ponto. Entretanto, com o auxílio de sua nova Geometria Analítica, Fermat era capaz não só de descobrir as equações de curvas clássicas familiares mas também de construir uma variedade de novas curvas simplesmente escrevendo várias equações e considerando os gráficos correspondentes. Esse grande aumento na variedade de curvas que passou a estar disponível para estudo aguçou seu interesse no que veio a ser chamado "o problema das tangentes."

O que Newton reconheceu na observação citada acima é que Fermat foi o primeiro a chegar ao conceito moderno de reta tangente a uma dada curva num dado ponto [;P;]. Em essência, ele tomou um segundo ponto [;Q;] próximo de [;P;], sobre a curva, desenhou a reta secante [;PQ;] e considerou a tangente em [;P;] como sendo a posição-limite da secante quando [;Q;] desliza ao longo da curva em direção a [;P;]. Ainda mais importante, essa ideia qualitativa serviu-lhe como trampolim para os métodos quantitativos para calcular a exata declividade da tangente, conforme a figura abaixo.

Fermat logo percebeu que seu método de calcular tangentes, poderia ser usado para resolver os problemas de máximos e mínimos. A aplicação mais memorável dada por Fermat foi a análise da refração da luz. Os fenômenos qualitativos eram, naturalmente, conhecidos há muito tempo: quando um raio de luz passa de um meio menos denso para um meio mais denso - por exemplo, do ar para a água.

Quando o famoso filósofo foi informado do método de Fermat por Mersenne, ele atacou sua generalidade, desafiou Fermat a determinar a tangente à curva [;x^3 + y^3 = 3axy;] e loucamente vaticinou que ele fracassaria. O próprio Descartes fora incapaz de resolver esse problema e ficou intensamente irritado quando Fermat o resolveu com facilidade.

Esses sucessos nos primeiros estágios do Cálculo Diferencial foram acompanhados por realizações de mesma grandeza no Cálculo Integral, provou de forma engenhosa, que

[;\int_{0}^{b}x^n dx = \frac{b^{n+1}}{n+1};]

A luz de todos esses feitos, pode-se, com razão, perguntar por que Newton e Leibniz são comumente considerados os inventores do Cálculo e não Fermat. A resposta é que as atividades de Fermat vieram demasiado cedo, antes que os aspectos essenciais do assunto tivessem totalmente emergido. Ele teve ideias fecundas e resolveu muitos problemas particulares do Cálculo; mas ele não isolou o cálculo explícito de derivadas como um processo formal, não teve a noção de integrais indefinidas, ele aparentemente jamais observou o Teorema Fundamental do Cálculo que liga as duas partes do assunto.

A mente de Fermat era tão fértil que lançou focos de luz em vários ramos da Matemática. Um capítulo menor mas significativo de sua vida intelectual começou quando Blaise Pascal escreveu a ele em [;1654;] tocando em algumas questões sobre certos jogos de azar jogados com dados. Na correspondência que se seguiu nos meses seguintes, eles desenvolveram juntos os conceitos básicos da teoria das probabilidades. Este foi o início efetivo do assunto cuja influência é agora sentida em quase todo canto da vida moderna, indo de campos práticos, tais como seguro e controle de qualidade industrial, até as disciplinas esotéricas da Genética, Mecânica Quântica e a Teoria Cinética dos Gases. Entretanto, nenhum dos dois levou suas ideias muito longe. Pascal foi logo agarrado pelos paroxismos de piedade que cegaram o resto de sua curta existência, e Fermat largou o assunto, pois tinha outros interesses matemáticos mais urgente.

Com as realizações em Cálculo, Óptica, Geometria Analítica e Teoria das Probabilidades já o coloca entre os grandes matemáticos do século [;XVII;], mas para ele essas eram todas de menor importância comparadas com a paixão consumidora de sua vida, a Teoria dos Números. Foi aí que seu gênio brilhou com mais intensidade, sendo considerado o fundador único da era moderna desta área da Matemática, sem quaisquer rivais e com poucos seguidores até a época de Euler e Lagrange no século seguinte.

As atrações pela Teoria dos Números são sentidas por muitos, mas não são fáceis de explicar, sendo principalmente de natureza estética. Por um lado, os números inteiros positivos [;1,2,3,\ldots;] são talvez as concepções mais simples e transparentes da mente humana; e, por outro lado, muitas de suas propriedades mais facilmente compreensíveis têm raízes que se afundam profundamente quase além do alcance da engenhosidade humana.

Foram muitas as suas contribuições na Teoria dos Números, resumidamente podemos citar o pequeno teorema de Fermat, suas pesquisas sobre números poligonais e o último teorema de Fermat em que ele afirma que a equação [;x^n + y^n = z^n;] com [;n \geq 3;] não admite soluções não triviais no campo dos inteiros. Ele provou o caso [;n=3;] e deu um esboço do caso [;n=4;]. Este caso foi resolvido por Euler em [;1747;]. O problema geral foi resolvido após intensas pesquisas pelo matemático Andrew Wiles em [;1996;].

Pascal referindo a Fermat disse: "Procure em algum lugar alguém que possa segui-lo em suas pesquisas sobre os números. De minha parte, confesso que estão bem além de mim e sinto-me competente apenas para admirá-las."

Pierre de Fermat morreu em Castres na França em [;12;] de janeiro de [;1665;].

Referências Bibliográficas:
- Simmons, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. Ed. Makron Books, 1987.
- http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat


Gostará de ler também:
- Blaise Pascal;
- O Princípio de Fermat e a Refração da Luz;
- Comentários Sobre o Último Teorema de Fermat;