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René Descartes

A Filosofia moderna nasceu no ano de [;1637;], num pequeno livro de Descartes chamado Discurso sobre o método. Neste trabalho, ele rejeita o estéril escolasticismo vigente em sua época e propõe-se a tarefa de reconstruir o conhecimento desde as bases, em uma fundamentação na razão e na ciência, em vez de na autoridade e na fé. Ele forneceu os novos pontos de vista necessários para o vigoroso desenvolvimento da Revolução Científica, cuja influência tem sido o fato dominante na história moderna.

Intelectualmente , o século em que Descartes viveu foi um dos períodos mais grandiosos da história da civilização. Começou com Galileu e kepler, terminou com Newton e Leibniz e nutriu uma série de homens notáveis tão dotados e diferenciados em seus talentos e consecuções que só tem similar na época áurea da antiga Grécia.

René Descartes nasceu em La Haye em [;31;] de março de [;1596;] e morreu em [;11;] de fevereiro de [;1650;]. Foi um filófoso, físico e matemático francês, também conhecido por seu nome latino Renatus Cartesius, notabilizou-se sobretudo por seu trabalho revolucionário na filosofia, mas obteve grande reconhecimento por sugerir a fusão da álgebra com a geometria - fato que gerou a geometria analítica e o sistema de coordenadas que hoje leva o seu nome e que possibilitou o desenvolvimento do Cálculo.

Oriundo de uma família da baixa nobreza perto de Tours, na França Central, teve o infortúnio de ser criado sem a mãe, que morreu logo após o seu nascimento e deixou-lhe algumas propriedades que mais tarde permitiram-lhe desfrutar de uma vida de lazer de viagens e estudos. Quando o menino tinha [;8;] anos, seu pai o enviou à escola jesuíta vizinha, em La Fléche, uma excelente instituição para a educação de jovens nobres, que Henrique IV tinha recentemente estabelecido em um de seus palácios favoritos. Ali, Descartes teve um aprendizado completo em Literatura, Línguas Clássicas, Retórica, Filosofia, Teologia, Ciência e Matemática. Ele era tratado com bondosa consideração pelos padres jesuítas; em virtude de sua constituição frágil e disposição à meditação, era-lhe permitido ficar na cama pelas manhãs até a hora que quisesse, muito depois dos outros terem ido para as aulas. Ele manteve esse hábito até o fim da vida e gostava de dizer que muitas de suas melhores reflexões e vieram-lhe naquelas horas tranquilas da manhã avançada. Há mesmo uma história de que ele concebeu a ideia básica da Geometria Analítica enquanto estava na cama observando uma mosca que andava no teto de seu quarto; ele teria considerado que a trajetória da mosca poderia ser descrita se alguém soubesse uma relação que ligasse as distâncias dela às duas paredes adjacentes.


O jovem Descartes era um cético nato e, enquanto amadurecia, começou a suspeitar que o chamado aprendizado humanista que absorvia em La Fléche era praticamente estéril em significado humano, com pouco poder para enriquecer ou melhorar a vida humana. Como um jovem cortês e circunspecto, ele conservou a maior parte de suas dúvidas para si. Não obstante, ele via com mais e mais clareza que os princípios de filosofia e teologia ensinados pelos jesuítas eram frequentemente pouco mais que supertições sem fundamento disfarçadas por uns poucos farrapos de lógica escolástica. Ele estava apaixodamente interessado na ciência, mas a ciência que lhe era oferecida era a inútil física de Aristóteles ajustadas às doutrinas vazias de São Tomás de Aquino.

Apenas a Matemática escapara a seu desprezo "em virtude da certeza de suas provas e da clareza de seus argumentos", mas mesmo nesse campo ele se sentia "atônito ao notar que fundamentações tão firmes e sólidas não tivessem nada mais elevado construído sobre elas". Deve ser lembrado que a Matemática da época consistia em Geometria Clássica e uns poucos fragementos primitivos de Álgebra Elementar, com a quase totalidade de suas aplicações à ciência ainda fora do horizonte.

Como muitos jovens inteligentes de todos os séculos, Descartes deixou a escola cheio de desgosto com a aridez de seus estudos. Esse seu estado de espírito é melhor expresso por suas próprias palavras:

"Isto porque, tão logo quanto minha idade permitiu sair do controle dos meus professores, abandonei completamente o estudo de letras. E resolvido a não procurar nenhum outro conhecimento além daquele que pudesse achar em mim, ou no grande livro do mundo, empreguei o resto de minha juventude em viagens, vendo cortes e exércitos, convivendo com homens de diversos temperamentos e condições... e sobretudo tentando aprender do que via, de forma que pudesse tirar algum benefício da minha experiência".

Naturalmente, ele foi primeiro a Paris, onde jogou, andou em companhia femininas e em geral passou por dândi. Essa vida mundana rapidamente tornou-se insípida e ele surpreendeu seus amigos da boêmia alistando-se no exército holandês como nobre voluntário não-assalariado. O exército estava inativo naquela época e em seu ócio forçado ele foi mais uma vez atraído para o estudo da Matemática. Um ano mais tarde, [;1619;], ele se transferiu para o exército do duque da Bavária, e enquanto passava o inverno em uma pequena cidade do Danúbio, foi alvo de uma "iluminação", que para ele era comparável às grandes revelações místicas dos santos.

Naquela aldeia fria, ele era um estranho para todos. Descartes fechou-se durante o inverno num quarto bem aquecido e mergulhou em estudos solitários e em meditações. Refletiu sobre o conhecimento que tinha adquirido nas várias ciências e observou desesperadamente sua confusão e sua incerteza. O que era necessário era um começo totalmente novo, um novo começo que varesse todos os sistemas de pensamentos e crenças que haviam sido poluídos pelos séculos com meias-verdades, pensamentos voluptuosos e falso raciocínio. Só na Matemática ele tinha achado a certeza que desejava, e a tarefa que gradualmente se delineava em sua mente era a de estender essa certeza para todos os outros ramos do conhecimento. Muito mais do que meramente mostrar-lhe o caminho num problema isolado, ou mesmo de clarificar-lhe os princípios de uma ciência particular, sua "iluminação" revelou-lhe a unidade essencial de todas as ciências - na verdade, do conhecimento. E seu método de dispor as várias disciplinas como ramos de uma única "ciência maravilhosa" seria o da Matemática".

"Aquelas longas cadeias de raciocínios simples que os geômetras usam para chegar as suas conclusões mais difíceis fizeram-me crer que todas as coisas que são objeto do conhecimento humano são semelhantemente interdependentes, e desde que apenas nos abstenhamos de assumir como verdadeiro algo que não é, e sempre seguirmos a ordem necessária na dedução de uma coisa a partir de outra, não há nada tão remoto que não possamos atingir, nem tão oculto que não possamos descobrir".

Naquele dia memorável ele tomou duas decisões que modelaram o curso de sua vida. Primeiro, decidiu que deveria sistematicamente duvidar de tudo que sabia ou pensava que sabia sobre as ciências e que deveria procurar pelos fundamentos corretos e auto-evidentes sobre os quais e edifício do conhecimento poderia ser reconstruído com confiança. Em segundo lugar, como sempre uma grande obra de arte é produto de um único mestre artista, ele decidiu que tinha de levar a cabo todo o projeto por si mesmo.

Chegamos finalmente à difícil questão da matemática de Descartes - difícil porque um dos pontos mais comuns dos mexericos de segunda mão entre historiadores da ciência é que ele inventou a Geometria Analítica, e contudo não fez nada disso. Qualquer pessoa qualificada que examine o tratado de Descartes sobre a geometria logo se convencerá de que essa obra nada contém sobre eixos perpendiculares, ou as coordenadas "cartesianas" de um ponto, ou equações de linhas ou círculos, ou qualquer material que seja que tenha alguma relação reconhecível com a Geometria Analítica, nos moldes em que esse assunto tem sido estendido nos últimos [;300;]anos. Encontramos convenções notacionais familiares aparecendo pela primeira vez: o uso de expoentes e o costume de denotar constantes e variáveis pelas letras [;a;], [;b;], [;c;] e [;x\;], [;y;] e [;z;], respectivamente; encontramos Geometria e Álgebra usada como linguagem para discutir Geometria; mas não encontramos Geometria Analítica, ou em relação a isto qualquer conteúdo que seja que justifique a reputação matemática de Descartes. Sua Geometria foi pouco lida então menos lida hoje, e bem merecidamente , pois toda a obra é uma traição grotesca ao que ele anteriormente chamara "transparência e clareza insuperáveis que são próprias e uma matemática corretamente ordenada". Parece, das muitas obscuridades deliberadas e das observações condescentes - tão estranhas a seu jeito habitual de escrever -, que ele a escreveu mais para se exibir do que para explicar, e de alguma forma ele conseguiu induzir muitos de seus contemporâneos à crença contra a evidência de que ele houvera conseguido algo notável.

Pelo ano de [;1649;], os livros e as ideias de Descartes tinham-se espalhados por todos os cantos da Europa e a rainha Cristina da Suécia convidou-o a ir para Estocolmo para ser seu professor particular de Filosofia. Estocolmo era uma cidade fria e desagradável e no início Descartes relutou a oferta, mas no fim ele cedeu e , pondo de lado seus medos, seus hábitos e sua independência, deixou a Holanda num vaso de guerra especial que a rainha havia enviado para buscá-lo. A rainha Cristina era uma jovem de [;19;] anos, fluente em cinco línguas e entusiasta pelo estudo de Literatura e Filosofia, marcou suas aulas às [;5;] horas da manhã e Descartes tinha que dirigir-se ao palácio em meio a um dos mais rigorosos invernos de Estocolmo, que não se via há anos. Exausto, enfraquecido e cheio de desespero por sua condição humilhante, Descartes pegou uma gripe e morreu de pneumonia apenas [;4;] meses após sua chegada à Suécia.

Há alguma coisa do trabalho de Descartes que ainda tem significado para o mundo moderno? Muito pouco, se contarmos apenas doutrinas ou descobertas específicas em Filosofia, Ciência ou Matemática. Entretanto, ele mantém um lugar seguro na sucessão canônica dos altos sacerdotes do pensamento em virtude da têmpera racional de sua mente e sua visão da unidade do conhecimento. Ele fez soar o gongo, e a civilização ocidental tem vibrado desde então com o espírito cartesiano de ceticismo e de indagação que ele tornou de aceitação comum entre as pessoas educadas.

Referências Bibliográficas:
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. Ed. Mc Graw-Hill, São Paulo, 1987.
- http://pt.wikipédia.org

Gostará de ler também:
- Blaise Pascal;
- Pierre de Fermat;
- O Método Para Bem Conduzir a Razão de Descartes;
- Regra de Descartes e a Equação Quadrática;
- Descartes e a Equação Quadrática.

sábado

Superfícies Paramétricas Através do Wolfram Alpha (Parte 1)

O Wolfram Alpha é uma versão mais leve do software Mathematica, com a vantagem de estar disponível na internet, podendo acessá-lo de qualquer computador conectado a rede. Com este programa, podemos calcular derivadas ou integrais de funções de uma ou várias variáveis, somas, diferenças, produtos de matrizes, matrizes inversas, produto escalar, vetorial, misto, plotar gráfi cos de várias funções, transformadas inversas ou diretas de Laplace, problemas de valores iniciais, etc.

Os professores Kleber Khilian e Edigley Alexandre elaboram posts com dicas e sugestões relacionados com esta maravilhosa ferramenta matemática cujos links disponibilizo no final desse artigo.

Empolgado com este programa virtual irei apresentar alguns posts expondo minhas ideias com dicas e comandos para vários assuntos matemáticos e neste primeiro post, iremos explorar o comando ParametricPlot3D que permite obter várias superfícies incluindo os planos e as superfícies quádricas.

Definição 1: Uma superfície paramétrica é uma função [;f : D \ \rightarrow \mathbb{R}^3;], suave que associa as variáveis [;u;] e [;v;] as variáveis espaciais [;x(u,v);], [;y(u,v);] e [;z(u,v);]. Além disso, [;f;] é uma função injetora de classe [;C^{1};]e o vetor normal [;\vec{N};] nunca se anula no interior de [;D;].

Exemplo 1: Parametrize o parabolóide [;z = x^2 + y^2;] e obtenha o seu gráfico no Wolfram Alpha.

Resolução: Temos que escolher as variáveis [;u;] e [;v;] nas funções [;x(u,v);], [;y(u,v);] e [;z(u,v);], de modo a expressão acima seja satisfeita. Tomando [;z(u,v) = u^2;], segue que

[;x^2 + y^2 = u^2;]

Em seguida, imaginamos um triângulo retângulo de hipotenusa [;u;], catetos [;x\;] e [;y;] e um ângulo interno igual a [;v;]. Deste modo,

[;x(u,v) = u\cos v \qquad \text{e} \qquad y(u,v) = u\sin v;]

O comando no Wolfram Alpha é dado por

ParametricPlot3D[{ucos(v), usin(v), u^2},{u,0, 2.5},{v,0,2pi}]

e a superfície é dada abaixo:


Observação 1: Colocando o comando [;u^2;] em uma das primeiras coordenadas, obtemos o parabolóide em na direção [;x\;] ou [;y;]. Por exemplo,

ParametricPlot3D[{usin(v), u^2, ucos(v)},{u,0, 2.5},{v,0,2pi}]

gera o parabolóide

Observação 2: O parabolóide elíptico

[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = cz;]

é parametrizado pelas equações

[;\begin{cases}x(u,v) = au\cos v\\y(u,v) = bu\sin v\\z(u,v) = \frac{u^2}{c}\end{cases};]

Exemplo 2: O toro cuja secção transversal é uma circunferência de raio [;1;] e raio externo igual a [;3;] na figura acima é gerado pelo comando:

ParametricPlot3D[{(3 + cos(u))cos(v), (3 + cos(u))sin(v), sin(u)}, {u,0,2pi},{v,0,2pi}]

Os cilindros são superfícies que estendem-se na direção de um eixo coordenado. Para parametrizar o cilindro de raio [;a;] centrado na origem [;x^2 + y^2 = a^2;], tomamos [;x(u,v) = a\cos u;], [;y(u,v) = a\sin u;] e [;z(u,v) = v;].

Exemplo 3: Use o Wolfram Alpha e obtenha o cilindro [;x^2 + y^2 = 9;].

Resolução: Sendo [;a = 3;], temos:

ParametricPlot3D[{3\cos u, 3\sin u, v},{u,0,2pi},{v,-2,2}]


Os elipsóides também podem ser obtidos através do Wolfram Alpha usando o seguinte comando:

ParametricPlot3D[{3cos u, 2sin u cos v, 2sin u sin v},{u,0,2pi},{v,0,2pi}]

cuja superfície é dada abaixo:

Observação 3: Permutando [;3\cos u;] com [;2\sin u\cos v;], obtemos o mesmo elipsóide na direção do eixo [;z;].

Gostará de ler também: