FATOS MATEMÁTICOS: Algumas Propriedades dos Determinantes

quinta-feira, 12 de janeiro de 2012

Algumas Propriedades dos Determinantes

Já apresentamos o determinante de uma matriz quadrada de ordem $[;n;]$ através das permutações o qual é definido por

$[;\det(A) = \sum_{\rho = (j_1 \ j_2\ldots j_n)}sgn(\rho)a_{1j_1}a_{2j_2}\ldots a_{nj_n} \qquad (1);]$

Em relação a esta definição podemos fazer três observações:

$[;i);]$ Se a permutação $[;(j_1 \ j_2 \ldots j_n);]$ tem um número par de inversões, o coeficiente $[;sgn(\rho);]$ do termo correspondente no somatório terá sinal positivo; caso contrário, terá sinal negativo.

$[;ii);]$ Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha, e um e apenas um elemento de cada coluna da matriz.

$[;iii);]$ Através de uma reordenação conveniente dos termos, mostra-se que também é possível definir um determinante por

$[;\det(A) = \sum_{\rho =(j_1 \ j_2\ldots j_n)}sgn(\rho)a_{j_1}1a_{j_2}2\ldots a{j_n}n;]$

variando os primeiros e deixando fixos os segundos índices. Verifique isto no caso $[;3\times 3;]$ .

Neste post, veremos algumas propriedades importantes que serão deduzidas a partir da expressão $[;(1);]$ .

Teorema 1: Seja $[;A;]$ uma matriz quadrada e $[;B;]$ uma matriz obtida de $[;A;]$ permutando duas linhas adjacentes em $[;A;]$ . Então:

$[;\det(B) = - \det(A);]$

Demonstração: Assume que a matriz $[;B;]$ é obtida da matriz $[;A;]$ permutando a $[;i;]$ -ésima linha com a $[;(i+1);]$ -ésima linha. Note que os mesmos termos aparecem em ambos os desenvolvimentos, mas ao trocar duas linhas da matriz $[;A;]$ , alteramos a paridade do número de inversões dos índices, e portanto, trocamos o sinal dos termos.

Teorema 2: Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz $[;A;]$ são nulos, então $[;\det(A) = 0;]$ .

Demonstração: Pela definição de determinante, em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha e um apenas um elemento de cada coluna da matriz. Assim, se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos, então $[;\det(A) = 0;]$ .

Teorema 3: A matriz $[;A;]$ e sua transposta $[;A^t;]$ possuem determinantes iguais.

Demonstração: Se $[;A = (a_{ij})_{n\times n};]$ , então $[;A^{t} = (b_{ij})_{n\times n};]$ , onde $[;b_{ij} = a_{ij};]$ , segue da definição de determinante, temos:

$[;\det{A^t} = \sum_{\rho = (j_1\ldots j_n)}sgn(\rho)b_{1j_1}b_{2j_2}\ldots b_{nj_n};]$

$[;=\sum_{\rho = (j_1\ldots j_n)}sgn(\rho)a_{j_1 1}a_{j_2 2}\ldots a_{j_n n} = \det(A);]$

pois através de uma reordenação conveniente dos termos, mostra-se que também é possível definir o determinante de $[;A;]$ por:

$[;\det(A) = \sum_{\rho = (j_1\ldots j_n)}sgn(\rho)a_{1j_1}a_{2j_2}\ldots a_{nj_n};]$

Vejamos para o caso $[;n =3;]$ :

$[;\det(A^t) = \sum_{\rho = (j_1 \ j_2 j_3)}sgn(\rho)a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3};]$

$[;= sgn[(1 \ 2 \ 3)]a_{11}a_{22}a_{33} + sgn[(1 \ 3 \ 2)]a_{11}a_{23}a_{32} + sgn[(2 \ 1 \ 3)]a_{12}a_{21}a_{33};]$

$[;+ sgn[(2 \ 3 \ 1)]a_{12}a_{23}a_{31} + sgn[(3 \ 1 \ 2)]a_{13}a_{23}a_{32} + sgn[(3 \ 2 \ 1)]a_{13}a_{22}a_{31};]$

Por outro lado, note que

$[;\det{A} = \sum_{\rho = (j_1 \ j_2 \ j_3)}sgn(\rho)a_{j_1 1}a_{j_2 2}a_{j_3 3};]$

$[; = sgn[(1 \ 2 \ 3)]a_{11}a_{22}a_{33} + sgn[(1 \ 3 \ 2)]a_{11}a_{32}a_{23} + sgn[(2 \ 1 \ 3)]a_{21}a_{12}a_{33};]$

$[; + sgn[(2 \ 3 \ 1)]a_{21}a_{32}a_{13} + sgn[(3 \ 1 \ 2)]a_{31}a_{12}a_{23} + sgn[(3 \ 2 \ 1)]a_{31}a_{22}a_{13};]$

Comparando as duas expressões acima, vemos que elas são iguais.

Teorema 4: Seja $[;B;]$ a matriz obtida da matriz $[;A;]$ multiplicando a $[;i-;]$ ésima linha por uma constante $[;k;]$ . Então:

$[;\det(B) = k\det(A);]$

Demonstração: Ao calcular $[;\det(B);]$ , cada termo do somatório aparece apenas um elemento da $[;i-;]$ ésima linha que foi multiplicada por $[;k;]$ . Colocando $[;k;]$ em evidência, o que permanece é $[;\det(A);]$ .

Corolário 1: O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou duas colunas iguais é zero.

Demonstração: Se trocarmos as posições das linhas que são iguais, a matriz continua a mesma. Em consequência, o determinante é o mesmo. Por outro lado, pelo Teor. 1, o sinal de $[;\det(A);]$ deve ser trocado. Combinando os dois resultados, vemos que a única possibilidade é $[;\det(A) = 0;]$ .

Referência Bibliográfica:

- Boldrini, José Luiz ... et al. Álgebra Linear - 3a edição. Ed. Harbra Ltda, São Paulo, 1986.

Gostará de ler também:
- Determinantes Através das Permutações;
- O Método de Dodgson Para Calcular Determinantes 3x3;
- Uma Breve História das Matrizes e Determinantes.