FATOS MATEMÁTICOS: A Equação da Circunferência Através de um Determinante 4x4

quinta-feira, 5 de janeiro de 2012

A Equação da Circunferência Através de um Determinante 4x4

Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que a equação da circunferência de raio $[;r;]$ e centro $[;C(x_0,y_0);]$ é dada por

$[;(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = 1 \qquad (1);]$

Expandindo esta expressão, temos:

$[;x^2 + y^2 - 2x_0x - 2y_0y + x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^2 = 0 \qquad (2);]$

Dado o polinômio geral de segundo nas variáveis $[;x\;]$ e $[;y;]$ :

$[;Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \qquad (3);]$

Comparando esta expressão com a expressão $[;(2);]$ , vemos que ela representa uma circunferência se e somente se

$[;A = C = 1, \quad B = 0, \quad D = -2x_0,\quad E=-2y_0 \quad \text{e} \quad F = x_{0}^{2}+y_{0}^{2} - r^2 \qquad (4);]$

Da expressão $[;(4);]$ , temos:

$[;F = \biggl(-\frac{D}{2}\biggr)^2 + \biggl(-\frac{E}{2}\biggr)^2 - r^2 \quad \Rightarrow \quad r^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \quad \Rightarrow;]$

$[;r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F};]$

com $[;D^2 + E^2 - 4F \succ 0;]$ .

Da Geometria Plana, sabemos por três pontos não-colineares $[;P_1(x_1,y_1);]$ , $[;P_2(x_2,y_2);]$ e $[;P_3(x_3,y_3);]$ passa uma única circunferência. Assim, se $[;a^2 + b^2 \succ 4c;]$ a expressão

$[;\lambda: \quad x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \qquad (5);]$

representa uma circunferência e $[;P_1;]$ , $[;P_2;]$ e $[;P_3 \in \lambda;]$ se e somente se

$[;\begin{cases}x_{1}^2 + y_{1}^2 + ax_1 + by_1 + c = 0\\x_{2}^2 + y_{2}^2 + ax_2 + by_2 + c = 0\\x_{3}^2 + y_{3}^2 + ax_3 + by_3 + c = 0\\\end{cases}\qquad (6);]$

Este sistema linear possui três equações e três variáveis $[;a;]$ , $[;b;]$ e $[;c;]$ que podem ser obtidas através da regra de Cramer, isto é,

$[;a = \frac{D_a}{D}, \quad b = \frac{D_b}{D}, \quad \text{e} \quad c = \frac{D_c}{D} \qquad (7);]$

sendo

$[;D = \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1\\x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1\\\end{vmatrix}, \qquad D_a = \begin{vmatrix}-x_{1}^2 - y_{1}^{2} & y_1 & 1\\-x_{2}^2 - y_{2}^{2} & y_2 & 1\\-x_{3}^2 - y_{3}^{2} & y_3 & 1\\\end{vmatrix};]$

$[;D_b = \begin{vmatrix}x_1 & -x_{1}^2 - y_{1}^{2} & 1\\x_2 & -x_{2}^2 - y_{2}^{2} & 1\\x_3 & -x_{3}^2 - y_{3}^{2} & 1\\\end{vmatrix}, \qquad ;]$ $[;D_c = \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & -x_{1}^2 - y_{1}^{2}\\x_2 & y_2 & -x_{2}^2 - y_{2}^{2}\\x_3 & y_3 & -x_{3}^2 - y_{3}^{2}\\\end{vmatrix};]$

Substituindo a expressão $[;(7);]$ na expressão $[;(5);]$ , temos:

$[;x^2 + y^2 + \frac{D_a}{D}x + \frac{D_b}{D}y + \frac{D_c}{D} = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;(x^2 + y^2)D + D_ax + D_by + D_c = 0 \qquad (8);]$

Pela fórmula dos cofatores ou desenvolvimento de Laplace, podemos reescrever a expressão $[;(8);]$ , através de um determinante de ordem $[;4;]$ , ou seja,

$[;\begin{vmatrix}x^2 + y^2 & x & y & 1\\x_{1}^{2} + y_{1}^{2} & x_1 & y_1 & 1\\x_{2}^{2} + y_{2}^{2} & x_2 & y_2 & 1\\x_{3}^{2} + y_{3}^{2} & x_3 & y_3 & 1\\\end{vmatrix} = 0 \qquad (9);]$

Exemplo 1: Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos $[;P_1(1,0);]$ , $[;P_2(1,-4);]$ e $[;P_3(3,-2);]$ .

Resolução: Substituindo as coordenadas de $[;P_1;]$ , $[;P_2;]$ e $[;P_3;]$ na expressão $[;(9);]$ , temos:

$[;\begin{vmatrix}x^2 + y^2 & x & y & 1\\1^2 + 0^2 & 1 & 0 & 1\\1^2 + (-4)^2 & 1 & -4 & 1\\3^2 + (-2)^2 & 3 & -2 & 1\\\end{vmatrix} = 0 \qquad \Rightarrow;]$ $[;\qquad \begin{vmatrix}x^2 + y^2 & x & y & 1\\1 & 1 & 0 & 1\\17 & 1 & -4 & 1\\13 & 3 & -2 & 1\\\end{vmatrix} = 0;]$

Usando a fórmula de desenvolvimento de Laplace na primeira linha, segue que

$[;(x^2 + y^2)\begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\1 & -4 & 1\\3 & -2 & 1\\\end{vmatrix} -x\begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\17 & -4 & 1\\13 & -2 & 1\\\end{vmatrix};]$ $[;+y\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\17 & 1 & 1\\13 & 3 & 1\\\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1 & 1 & 0\\17 & 1 & -4\\13 & 3 & -2\\\end{vmatrix} = 0;]$

Usaremos o método de Dodgson para calcular cada um destes determinantes, transformando-os em determinantes de ordem 2. Assim,

$[;-\frac{1}{4}(x^2 + y^2)\begin{vmatrix}-4 & 4\\10 & -2\\\end{vmatrix}+\frac{x}{4}\begin{vmatrix}-4 & 4\\18 & -2\\\end{vmatrix}+y\begin{vmatrix}-16 & 0\\38 & -2\\\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}-16 & -4\\38 & 10\\\end{vmatrix} = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;8(x^2 + y^2) - 16x + 32y + 8 = 0 \quad \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 4y = -1 \quad \Rightarrow;]$

$[;(x-1)^2 + (y + 2)^2 = 4;]$

é a equação da circunferência.

Exemplo 2: Mostre que a equação da circunferência de centro sobre o eixo $[;x\;]$ e tangente ao eixo $[;y;]$ é dado pelo determinante:

$[;\begin{vmatrix}x^2+ y^2 & x & y\\2a^2 & a & a\\0 & 0 & -2a\\\end{vmatrix} = 0;]$

Resolução: Esta circunferência pode ser determinada através dos pontos $[;(0,0);]$ , $[;(a,a);]$ e $[;(2a,0);]$ conforme a figura abaixo:

Substituindo as coordenadas destes pontos na expressão $[;(9);]$ , temos:

$[;\begin{vmatrix}x^2 + y^2 & x & y & 1\\2a^2 & a & a & 1\\4a^2 & 2a & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\\\end{vmatrix} = 0 \quad \Rightarrow;]$ $[;\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y\\ 2a^2 & a & a\\ 4a^2 & 2a & 0\\ \end{vmatrix} = 0;]$