FATOS MATEMÁTICOS: Solução Numérica de EDO's Através do Método de Picard

terça-feira, 31 de janeiro de 2012

Solução Numérica de EDO's Através do Método de Picard

No post Considerações Gerais Sobre EDO's, apresentamos um teorema sobre a existência e unicidade de soluções de um PVI devido conhecido por teorema de Cauchy-Lipschitz-Picard. A prova foi omitida devido aos detalhes técnicos que não são relevantes no momento.

Mas a demonstração baseada no teorema do ponto fixo, estabelece um processo
iterativo de aproximação da solução do PVI

$[;\begin{cases}y^{\prime} &= f(x,y)\\y(x_0) &= y_0\end{cases}\qquad (1);]$

conhecido por método de Picard (1856 - 1941) é equivalente a determinar $[;y;]$ continuamente diferenciável, que verifica

$[;\begin{cases}y_0(x) &= y(a) = \alpha\\y_{j+1} &= \alpha + \int_{a}^{x}f(t,y_j(t))dt, \qquad j = 0,1,\ldots\end{cases}\qquad (2);]$

converge para a única solução de $[;(1);]$ .

Exemplo 1: Use o método de Picard e resolva o PVI:

$[;\begin{cases}y^{\prime} = 2y\\y(0) = 1\\\end{cases};]$

Resolução: Note que este PVI é equivalente a

$[;y = 1 + \int_{0}^{x}2ydt;]$

de modo que,

$[;y_1(x) = 1 + \int_{0}^{x}2y_0(t)dt = 1 + \int_{0}^{x}2dt = 1 + 2x;]$

$[;y_2(x) = 1 + \int_{0}^{x}2(1 + 2t)dt = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!};]$

e assim por diante. Por indução finita sobre $[;n;]$ , a enésima iterada é dada por

$[;y_n(x) = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!}+\ldots + \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{k=1}^{n}\frac{(2x)^k}{k!};]$

o qual é a enésima soma parcial da série de Mc-Laurin de $[;e^{2x};]$ . Logo,

$[;y_n(x) \to e^{2x} \quad \text{quando} \quad n \to \infty;]$

Exemplo 2: Resolva o PVI abaixo através do método de Picard.

$[;\begin{cases}y^{\prime} &= x^2 + y^2\\y(0) &= 0\end{cases};]$

Resolução: Sendo $[;y_0(x) = 0;]$ , segue que

$[;y_1(x) = \int_{0}^{x}f(t,y_0(t))dt = \int_{0}^{x}t^2dt =\frac{x^3}{3};]$

$[;y_2(x) = \int_{0}^{x}f(t,y_1(t))dt = \int_{0}^{x}\biggl[t^2 +\biggl(\frac{t^3}{3}\biggr)^2\biggr ] dt = \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{63};]$

$[;y_3(x) = \int_{0}^{x}f(t,y_1(t))dt = \int_{0}^{x}\biggl[t^2 +\biggl(\frac{t^3}{3} + \frac{t^7}{63}\biggr)^2\biggr ] =\frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{63} + \frac{2x^{11}}{2079} +\frac{x^{15}}{59535};]$

donde segue que a solução aproximada é dada por