Superfícies Paramétricas Através do Wolfram Alpha (Parte 2)

No post Superfícies Paramétricas Através do Wolfram Alpha (Parte 1), apresentamos os comandos para gerar toros, parabolóides, elipsóides e cilindros. Neste post, ampliaremos a lista de superfícies incluindo a esfera, os cones, os hiperbolóides de uma folha, o helicóide e outros tipos de cilindros.

Para gerar a esfera, basta que os coeficientes em cada coordenada do elipsóide sejam iguais. Por exemplo, digitando o comando abaixo no Wolfram Alpha,

ParametricPlot3D[{2cos u, 2sin u cos v, 2sin u sin v},{u,0,2pi},{v,0,2pi}]

obtemos a superfície esférica de raio centrada na origem.

Hiperbolóide de uma Folha: São superfícies quádricas dadas pelas equações

e

Vejamos como podemos parametrizar o hiperbolóide de uma folha na direção do eixo , os outros casos são análogos. Usaremos o fato que . Sejam

Desta segunda expressão segue que . Em seguida, fazemos

donde segue que e . Por exemplo, o comando

ParametricPlot3D[{2cosh u cos v, 2cosh u sin v, 2 sinh v},{u,-1.5,1.5},{v,0,2pi}]

gera o hiperbolóide

Há outras formas de parametrizar um hiperbolóide de uma folha sem o uso de funções hiperbólicas. Por exemplo, o hiperbolóide de uma folha da primeira figura deste post foi gerado pelo comando:

ParametricPlot3D[{cos u + vsin u, sin u - v cos u, -v},{u,0,2pi},{v,-2,2}]

Os hiperbolóides de duas folhas são formados de duas superfícies disjuntas, mas o Wolfram Alpha gera apenas uma delas. Até o momento não consegui achar uma solução satisfatória para esta deficiência.

Gostará de ler também:
- Superfícies Paramétricas Através do Wolfram Alpha (Parte 1);
- Superfícies Quádricas: O Elipsóide e a Superfície Esférica;
- Superfícies Quádricas: O Hiperbolóide de uma Folha;
- Tópicos Sobre as Funções Hiperbólicas (Parte 1);