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A Área do Segmento Parabólico Através do Método da Alavanca

Neste post, estamos interessados em descobrir como Arquimedes aplicou o método da alavanca para calcular a área de um segmento parabólico. Nesta versão, usaremos as técnicas da Geometria Analítica para obter algumas propriedades preliminares importantes.

Sem perda de generalidade, colocaremos o eixo [;x\;] sobre a base do segmento parabólico e o eixo [;y;] em sua extremidade à esquerda. Assim, considere o segmento parabólico [;AVB;] com [;A(0,0);], [;B(a,0);] e [;V(a/2,p/4);] o seu vértice com [;a \succ 0;] e [;p \succ 0;] conforme a figura acima.

É fácil ver que a equação cartesiana do arco parabólico que passa pelos pontos [;A;], [;V;] e [;B;] é dada por:

[;y_{\mathcal{P}}(x) = \frac{px}{a} - \frac{px^2}{a^2} \qquad (1);]

Também é fácil deduzir que a equação da reta tangente [;y_r(x);] ao segmento parabólico no ponto [;B(a,0);] é dada por

[;y_r(x) = p - \frac{px}{a} \qquad (2);]

De fato, o coeficiente angular [;m;] da reta [;r;] é dado por:

[;m = f^{\prime}(a) = \biggl(\frac{p}{a} - \frac{2px}{a^2}\biggr)_{x = a} = \frac{p}{a} - \frac{2p}{a} = - \frac{p}{a};]
Assim,

[;r: \quad y - y_B = m(x - x_B) \quad \Rightarrow \quad y - 0 = -\frac{p}{a}(x - a) \quad \Rightarrow \quad y_r(x) = p - \frac{px}{a};]


Proposição 1: Seja [;0 \leq x \leq a;] e considere os pontos [;D(x,0);], [;E(x,y_{\mathcal{P}}(x));] e [;F(x,y_r(x));] conforme a figura abaixo.


(click na imagem para ampliá-la)
Então,

[;\frac{DE}{DF} = \frac{AD}{AB} \quad \Rightarrow \quad DE\cdot AB = DF\cdot AD \qquad (3);]


Demonstração: De fato, pelas expressões [;(1);] e [;(2);], temos:

[;\frac{DE}{DF} = \frac{y_{\mathcal{P}(x)}}{y_r(x)} = \frac{\frac{px}{a} - \frac{px^2}{a^2}}{p - \frac{px}{a}} = \frac{x}{a} = \frac{AD}{AB};]

donde segue o resultado.

Para usar o método da alavanca para calcular a área do segmento parabólico [;AVB;], seja [;K;] o ponto médio de [;AC;]. Em seguida, prolongamos [;BK;] até o ponto [;H;], de modo que [;HK = BK;] conforme a figura acima. Em seguida, Arquimedes considerou uma alavanca ou balança de dois braços com fulcro no ponto [;K;].

Colocando-se o segmento [;DE;] no ponto [;H;], ele irá equilibra-se com o segmento [;DF;]. Pela lei da alavanca, basta mostrar que [;DE\cdot HC = DF\cdot AD;]. Da expressão [;(3);], segue que

[;DE\cdot HC = DE\cdot AB = DF\cdot AD;]

Assim, a área do segmento parabólico [;S;], se colocada com o centro de gravidade em [;H;], equilibrará o triângulo [;ABC;] a um terço da distância de [;K;] a [;B;], isto é,

[;S\cdot HK = S_{\triangle ABC}\cdot \frac{KB}{3} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \qquad (4);]

pois [;KB = HK;].

Abaixo, temos o triângulo [;ABC;] com o segmento parabólico [;AVB;].

Além disso, a área do segmento parabólico é igual a [;4/3;] da área do triângulo [;AVB;] inscrito neste segmento. De fato, sendo [;S_{\triangle ABC} = ap/2;], segue da expressão [;(4);], que

[;S = \frac{1}{3}\cdot \frac{ap}{2} = \frac{4}{3}\cdot \frac{ap/4}{2} = \frac{4}{3}S_{\triangle AVB};]

Para quem leu detalhamente este post, terá o mesmo sentimento que eu, de que a mente de Arquimedes era extraordinariamente brilhante, ainda mais, se levarmos em conta que ele não dispunha da nossa Geometria Analítica e nem tão pouco de nossa moderna Álgebra. É com toda razão que o filósofo e escritor francês do século [;XVIII;] Voltaire disse:

"Havia mais imaginação na cabeça de Arquimedes que na de Homero."

Gostará de ler também:
- Arquimedes e o Parabolóide de Revolução;
- Arquimedes e o Volume da Esfera;
- O Volume do Elipsóide de Revolução Pelo Método da Alavanca.

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