FATOS MATEMÁTICOS: A Área do Segmento Parabólico Através do Método da Alavanca

sexta-feira, 3 de fevereiro de 2012

A Área do Segmento Parabólico Através do Método da Alavanca

Neste post, estamos interessados em descobrir como Arquimedes aplicou o método da alavanca para calcular a área de um segmento parabólico. Nesta versão, usaremos as técnicas da Geometria Analítica para obter algumas propriedades preliminares importantes.

Sem perda de generalidade, colocaremos o eixo $[;x\;]$ sobre a base do segmento parabólico e o eixo $[;y;]$ em sua extremidade à esquerda. Assim, considere o segmento parabólico $[;AVB;]$ com $[;A(0,0);]$ , $[;B(a,0);]$ e $[;V(a/2,p/4);]$ o seu vértice com $[;a \succ 0;]$ e $[;p \succ 0;]$ conforme a figura acima.

É fácil ver que a equação cartesiana do arco parabólico que passa pelos pontos $[;A;]$ , $[;V;]$ e $[;B;]$ é dada por:

$[;y_{\mathcal{P}}(x) = \frac{px}{a} - \frac{px^2}{a^2} \qquad (1);]$

Também é fácil deduzir que a equação da reta tangente $[;y_r(x);]$ ao segmento parabólico no ponto $[;B(a,0);]$ é dada por

$[;y_r(x) = p - \frac{px}{a} \qquad (2);]$

De fato, o coeficiente angular $[;m;]$ da reta $[;r;]$ é dado por:

$[;m = f^{\prime}(a) = \biggl(\frac{p}{a} - \frac{2px}{a^2}\biggr)_{x = a} = \frac{p}{a} - \frac{2p}{a} = - \frac{p}{a};]$

Assim,

$[;r: \quad y - y_B = m(x - x_B) \quad \Rightarrow \quad y - 0 = -\frac{p}{a}(x - a) \quad \Rightarrow \quad y_r(x) = p - \frac{px}{a};]$

Proposição 1: Seja $[;0 \leq x \leq a;]$ e considere os pontos $[;D(x,0);]$ , $[;E(x,y_{\mathcal{P}}(x));]$ e $[;F(x,y_r(x));]$ conforme a figura abaixo.

(click na imagem para ampliá-la)

Então,

$[;\frac{DE}{DF} = \frac{AD}{AB} \quad \Rightarrow \quad DE\cdot AB = DF\cdot AD \qquad (3);]$

Demonstração: De fato, pelas expressões $[;(1);]$ e $[;(2);]$ , temos:

$[;\frac{DE}{DF} = \frac{y_{\mathcal{P}(x)}}{y_r(x)} = \frac{\frac{px}{a} - \frac{px^2}{a^2}}{p - \frac{px}{a}} = \frac{x}{a} = \frac{AD}{AB};]$

donde segue o resultado.

Para usar o método da alavanca para calcular a área do segmento parabólico $[;AVB;]$ , seja $[;K;]$ o ponto médio de $[;AC;]$ . Em seguida, prolongamos $[;BK;]$ até o ponto $[;H;]$ , de modo que $[;HK = BK;]$ conforme a figura acima. Em seguida, Arquimedes considerou uma alavanca ou balança de dois braços com fulcro no ponto $[;K;]$ .

Colocando-se o segmento $[;DE;]$ no ponto $[;H;]$ , ele irá equilibra-se com o segmento $[;DF;]$ . Pela lei da alavanca, basta mostrar que $[;DE\cdot HC = DF\cdot AD;]$ . Da expressão $[;(3);]$ , segue que

$[;DE\cdot HC = DE\cdot AB = DF\cdot AD;]$

Assim, a área do segmento parabólico $[;S;]$ , se colocada com o centro de gravidade em $[;H;]$ , equilibrará o triângulo $[;ABC;]$ a um terço da distância de $[;K;]$ a $[;B;]$ , isto é,

$[;S\cdot HK = S_{\triangle ABC}\cdot \frac{KB}{3} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \qquad (4);]$

pois $[;KB = HK;]$ .

Abaixo, temos o triângulo $[;ABC;]$ com o segmento parabólico $[;AVB;]$ .

Além disso, a área do segmento parabólico é igual a $[;4/3;]$ da área do triângulo $[;AVB;]$ inscrito neste segmento. De fato, sendo $[;S_{\triangle ABC} = ap/2;]$ , segue da expressão $[;(4);]$ , que

$[;S = \frac{1}{3}\cdot \frac{ap}{2} = \frac{4}{3}\cdot \frac{ap/4}{2} = \frac{4}{3}S_{\triangle AVB};]$

Para quem leu detalhamente este post, terá o mesmo sentimento que eu, de que a mente de Arquimedes era extraordinariamente brilhante, ainda mais, se levarmos em conta que ele não dispunha da nossa Geometria Analítica e nem tão pouco de nossa moderna Álgebra. É com toda razão que o filósofo e escritor francês do século $[;XVIII;]$ Voltaire disse:

"Havia mais imaginação na cabeça de Arquimedes que na de Homero."

Gostará de ler também:
- Arquimedes e o Parabolóide de Revolução;
- Arquimedes e o Volume da Esfera;
- O Volume do Elipsóide de Revolução Pelo Método da Alavanca.