FATOS MATEMÁTICOS: Áreas de Segmentos e Laços Parabólicos sem Integração

sexta-feira, 17 de fevereiro de 2012

Áreas de Segmentos e Laços Parabólicos sem Integração

A integral definida é uma ferramenta poderosa para calcular áreas de regiões curvilíneas limitadas por duas ou mais funções. No caso em que a região é limitada por retas, podemos determinar a área através de um determinante de ordem $[;3;]$ . Existem outros casos em que não precisamos de integrais definidas.

Arquimedes $[;(287-212 a.C.);]$ , calculou a área de um segmento parabólico de dois modos distintos: Primeiramente, ele obteve o resultado usando o seu método da alavanca e depois obteve sucesso usando o método da exaustão. Infelizmente, ele não conseguiu achar a área de segmentos elípticos e hiperbólicos, pois tais expressões envolvem funções transcendentes. Esta dificuldade foi contornada com a invenção do Cálculo no século $[;XVII;]$ .

Todo estudante de Cálculo aprende o método geral de calcular áreas através de integrais definidas. No caso de segmentos e laços parabólicos, é possível deduzir uma fórmula algébrica simples para calcular suas áreas. Tais expressões que deduziremos abaixo são muito simples de serem usadas e podem ser deduzidas através do método de exaustão de Arquimedes e é de surpreender que na maioria dos livros de Matemática que consultei não encontrei tais fórmulas.

Definição 1: Um segmento parabólico é a região limitada por uma reta secante e por uma parábola.

Sem perda de generalidade, estudaremos as regiões parabólicas cujos eixos das parábolas são paralelos ao eixo $[;x\;]$ ou eixo $[;y;]$ . Assim, $[;\mathcal{P};]$ é uma função de $[;x\;]$ ou de $[;y;]$ , isto é,

$[;\mathcal{P}: \ y = f(x) = a_1x^2 + b_1x + c_1;]$

$[;\mathcal{P}: \ x = g(y) = a_2y^2 + b_2y + c_2;]$

Veremos iniciamente, a fórmula para calcular a área de um segmento parábolico limitada pela parábola $[;y = ax^2 + bx + c;]$ e pela reta $[;r;]$ que passa pelos pontos de interseção $[;A(x_A,y_A);]$ e $[;B(x_B,y_B);]$ . Note que

$[;\begin{cases}y_A = ax_{A}^{2} + bx_A + c\\y_B = ax_{B}^{2} + bx_B + c\\\end{cases} \qquad (1);]$

Proposição 1: A área do segmento parabólico limitada pela reta $[;r;]$ e pela parábola $[;y =ax^2 + bx + c;]$ é

$[;S = \frac{1}{6}\mid a\mid (x_B - x_A)^3 \qquad (2);]$

onde $[;x_A;]$ e $[;x_B;]$ são as abscissas dos pontos de interseção da reta $[;r;]$ com a parábola, sendo $[;x_B \succ x_A;]$ .

Demonstração: Note que $[;S;]$ é a diferença da área $[;S_1;]$ delimitada pela parábola $[;y = ax^2 + bx + c;]$ e o eixo $[;x\;]$ para $[;x \in [x_A,x_B];]$ e a área $[;S_2;]$ do trapézio.

Suponhamos conforme a figura acima que a parábola seja côncava para baixo, de modo que $[;a \prec 0;]$ . O cálculo de $[;S_1;]$ será feito por integral, mas podemos também usar o método da exaustão ou limite de somatórios.

$[;S_1 = \int_{x_A}^{x_B}(ax^2 + bx + c)dx = \biggl[a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx\biggr]_{x_A}^{x_B};]$

$[;=\frac{1}{6}\biggl[2ax^3 + 3bx^2 + 6cx\biggr]_{x_A}^{x_B};]$

$[;= \frac{1}{6}\biggl[2a(x_{B}^{3} - x_{A}^{3}) + 3b(x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) + 6c(x_{B} - x_{A})\biggr];]$

$[;= \frac{(x_B - x_A)}{6}\biggl[2a(x_{B}^{2} + x_Bx_A + x_{A}^{2}) + 3b(x_B + x_A) + 6c\biggr] \qquad (3);]$

Por outro lado, a área do trapézio na figura acima de bases $[;y_A;]$ e $[;y_B;]$ e altura $[;x_B - x_A;]$ é dada por

$[;S_2 = \frac{(x_B - x_A)(y_A + y_B)}{2} = \frac{(x_B - x_A)}{6}\cdot [3y_A + 3y_B];]$

$[;= \frac{(x_B - x_A)}{6}\biggl[3a(x_{A}^{2} + x_{B}^{2}) + 3b(x_A + x_B) + 6c\biggr] \qquad (4);]$

Fazendo $[;(3) - (4);]$ , segue que

$[;S = S_1 - S_2 = \frac{(x_B - x_A)}{6}\biggl[2a(x_{B}^{2} + x_Bx_A + x_{A}^{2}) - 3a(x_{A}^2 + x_{B}^{2})\biggr];]$

$[;= \frac{x_B - x_A}{6}(-a)(x_{B}^{2} - 2x_Bx_A + x_{A}^{2}) = \frac{1}{6}(-a)(x_B - x_A)^3;]$

Para o caso em que $[;a \succ 0;]$ , de forma análoga, temos

$[;S = \frac{1}{6}a(x_B - x_A)^3;]$

Destas duas últimas expressões fica demonstrada a proposição.

Observação 1: De forma análoga, a área do segmento parabólico limitada pela reta $[;r;]$ e pela parábola $[;x = ay^2 + by + c;]$ é

$[;S = \frac{1}{6}\mid a\mid (y_B - y_A)^3 \qquad (5);]$

onde $[;y_A;]$ e $[;y_B;]$ são as ordenadas dos pontos de interseção da reta $[;r;]$ com a parábola, sendo $[;y_B \succ y_A;]$ .

Exemplo 1: Calcule a área do segmento parabólico ilustrado na primeira figura acima.

Resolução: Neste caso, a parábola é dada por $[;x = \frac{1}{2}y^2 - 3;]$ de modo que $[;a = 1/2;]$ . A equação da reta é $[;x = y +1;]$ . Para achar as ordenadas $[;y_A;]$ e $[;y_B;]$ , devemos resolver o sistema formado por estas duas equações:

$[;\begin{cases}x = \frac{1}{2}y^2 - 3\\x = y + 1\\\end{cases};]$

Assim,

$[;\frac{1}{2}y^2 - 3 = y + 1 \quad \Rightarrow \quad y^2 - 2y - 8 = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;y^2 - 2y + 1 = 9 \quad \Rightarrow \quad (y - 1)^2 = 9;]$

donde segue que $[;y_A = -2;]$ e $[;y_B = 4;]$ conforme a figura acima. Logo, da expressão $[;(5);]$ , a área do segmento parabólico é

$[;S = \frac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{2}\end{vmatrix}[4 - (-2)]^3 = 18\ u.a.;]$

Definição 2: Laço parabólico é a região limitada por duas parábolas.

Para calcular a área de um laço parabólico, basta observar que ele é formado por dois segmentos parabólicos. Assim, um laço pode ser limitado pelas parábolas $[;f_1(x) = a_1x^2 + b_1x + c_1;]$ e $[;f_2(x) = a_2x^2 + b_2x + c_2;]$ .

ou pelas parábolas $[;g_1(y) = a_1y^2 +b_1y + c_1;]$ e $[;g_2(y) = a_2y^2 + b_2y + c_2;]$

e também duas parábolas que possuem eixos perpendiculares. Em todos os casos, a área do laço parabólico é a soma das áreas dos segmentos parabólicos, isto é,

$[;S = \frac{1}{6}(|a_1| + |a_2|)(m_B - m_A)^3 \qquad (6);]$

onde $[;m_A = x_A;]$ ou $[;y_A;]$ e $[;m_B = x_B;]$ ou $[;y_B;]$ .

Exemplo 2: Calcule a área do laço parabólico ilustrado na primeira figura acima.

Resolução: As parábolas são dadas por $[;x = (y - 2)^2;]$ e $[;x = 10 - y^2;]$ , de modo que as ordenadas dos pontos de interseção são $[;y_A = -1;]$ e $[;y_B = 3;]$ . Sendo $[;a_1 = 1;]$ e $[;a_2 = -1;]$ , segue que

$[;S = \frac{1}{6}(|1| + |-1|)[3 - (-1)]^3 = \frac{64}{3}\ u.a.;]$

Exemplo 3: Calcule a área do laço parabólico limitado pelas funções $[;y = x^2;]$ e $[;y = \sqrt{x};]$ .

Resolução: Observe a função $[;y = \sqrt{x};]$ é parte da parábola $[;x = y^2;]$ , de modo que $[;a_2 = 1;]$ . De $[;y = x^2;]$ , tiramos $[;a_1 = 1;]$ . Sendo os pontos de interseção iguais a $[;(0,0);]$ e $[;(1,1);]$ , então