FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais

segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012

Cálculo de Limites Exponenciais

Para estudar a derivada das funções exponenciais e logarítmicas, faz-se necessário aplicar dois limites fundamentais que apresentaremos neste post.

Proposição 1: Se $[;x \in \mathbb{R};]$ , então

$[;\lim_{x \to \infty}\biggl(1 + \frac{1}{x}\biggr)^x = e \qquad (1);]$

onde $[;e;]$ é a constante de Euler ou Napier.

Demonstração: Vale ressaltar que o símbolo $[;\infty;]$ significa $[;+\infty;]$ ou $[;-\infty;]$ . Mostraremos o caso em que $[;x \to +\infty;]$ , o outro caso é análogo. Dado $[;x \succ 0;]$ , existe $[;n \in \mathbb{N};]$ tal que $[;n \leq x \prec n + 1;]$ . Assim,

$[;\frac{1}{n} \geq \frac{1}{x} \succ \frac{1}{n+1} \quad \Rightarrow \quad 1 + \frac{1}{n+1} \prec 1 + \frac{1}{x} \leq 1 + \frac{1}{n};]$

de modo que

$[;\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^n \prec \biggl(1 + \frac{1}{x}\biggr)^x \prec \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^{n+1} \qquad (2);]$

Note que

$[;\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^n = \frac{\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^{n+1}}{\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)} = \frac{n+1}{n+2}\cdot\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^{n+1} \qquad (3);]$

e que

$[;\biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^{n+1} = \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n\cdot \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr) = \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n\cdot \frac{n+1}{n}\qquad (4);]$

Substituindo $[;(3);]$ e $[;(4);]$ em $[;(2);]$ , temos:

$[;\frac{n+1}{n+2}\cdot\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^{n+1} \prec \biggl(1 + \frac{1}{x}\biggr)^x \prec \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n\cdot \frac{n+1}{n} \qquad (5);]$

Mas vimos no post O Número e que

$[;\lim_{n \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n = e;]$

e como

$[;\lim_{n \to +\infty}\frac{n+1}{n+2} = \lim_{n \to +\infty}\frac{n+1}{n} = 1;]$

fazendo $[;x \to +\infty;]$ na expressão $[;(5);]$ , temos

$[;e \leq \lim_{x \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{x}\biggr)^x \leq e;]$

donde segue o resultado.

Corolário 1:

$[;\lim_{y \to 0} (1 + y)^{1/y} = e \qquad (6);]$

Demonstração: Basta fazer $[;x = 1/y;]$ na Prop. 1.

Vejamos como podemos usar estes resultados no cálculo de limites exponenciais.

Exemplo 1: Calcule os limites abaixo:

$[;a);]$

$[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(1 + \frac{3}{x}\biggr)^x;]$

$[;b);]$

$[;\lim_{x \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{2x}\biggr)^{x+1};]$

$[;c);]$
$[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x + 1}{x + 2}\biggr)^{2x};]$

$[;d);]$
$[;\lim_{x \to 0}(1 + 4x)^{1/x};]$

Resolução:

$[;a);]$ Para este limite, fazemos a mudança de variáveis, colocando $[;3/x = 1/u;]$ , ou seja, $[;x = 3u;]$ . Se $[;x \to +\infty;]$ , também temos que $[;u \to +\infty;]$ . Logo, pela Prop. 1, obtemos:

$[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(1 + \frac{3}{x}\biggr)^x = \lim_{u \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{3u} = \biggl[\lim_{u \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{u}\biggr]^3 = e^3;]$

$[;b);]$ Analogamente, fazendo $[;1/(2x) = 1/u;]$ , segue que $[;u = 2x;]$ . Se $[;x \to -\infty;]$ , também temos que $[;u \to -\infty;]$ . Assim,


$[;\lim_{x \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{2x}\biggr)^{x+1} = \lim_{x \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{2x}\biggr)^x \cdot \lim_{x \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{2x}\biggr) ;]$ $[;=\lim_{u \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{u/2}\cdot 1 =\biggl[\lim_{u \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{u}\biggr]^{1/2} = e^{1/2};]$

$[;c);]$ Neste caso, observe que

$[;\frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x + 2 - 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2};]$

Assim, fazemos a substituição colocando $[;-1/(x + 2) = 1/u;]$ , de modo que $[;x = -u - 2;]$ . Como $[;x \to +\infty;]$ , segue que $[;u \to -\infty;]$ . Assim,

$[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x + 1}{x + 2}\biggr)^{2x} = \lim_{x \to +\infty}\biggl(1 - \frac{1}{x + 2}\biggr)^{2x} = \lim_{u \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{2(-u -2)};]$

$[;= \lim_{u \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{-2u}\cdot \lim_{u \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{-4} = e^{-2}\cdot 1 = \frac{1}{e^2};]$

$[;d);]$ Fazendo $[;y = 4x;]$ , segue que $[;1/x = 4/y;]$ . Se $[;x \to 0 \quad \Rightarrow \quad y \to 0;]$ . Logo, pelo Cor. 1, temos:

$[;\lim_{x \to 0}(1 + 4x)^{1/x} = \lim_{y \to 0}(1 + y)^{4/y} = [\lim_{y \to 0}(1 + y)^{1/y}]^4 = e^4;]$

Outro limite exponencial fundamental importante é dado na próxima proposição.

Proposição 2: Se $[;0 \prec a \neq 1;]$ , então

$[;\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \ln a;]$

Demonstração: Fazemos a mudança de variáveis colocando $[;a^x - 1 = y;]$ , de modo que

$[;a^x = 1 + y \quad \Rightarrow \quad x\ln a = \ln(1 + y);]$

Note que se $[;x \to 0 \quad \Rightarrow \quad y \to 0;]$ . Assim,

$[;\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \lim_{y \to 0}\frac{y}{\frac{\ln(1 + y)}{\ln a}} = \ln a\cdot \lim_{y \to 0}\frac{1}{\frac{\ln(1 + y)}{y}};]$

$[;= \ln a\cdot \frac{1}{\lim_{y \to 0}\ln(1 + y)^{1/y}} = \ln a\cdot \frac{1}{\ln[\lim_{y \to 0}(1 + y)^{1/y}]} = \frac{\ln a}{\ln e} = \ln a;]$

Exemplo 2: Calcule os limites abaixo:

$[;a);]$
$[;\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - e^{2x}}{x};]$

$[;b);]$
$[;\lim_{x \to 0}\frac{3^x - 1}{x};]$

$[;c);]$
$[;\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2} - 1}{x};]$

Resolução:
$[;a);]$ Neste caso, basta adicionar e subtrair $[;1;]$ , para usarmos a Prop. 2, isto é,

$[;\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - e^{2x}}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} -1 - ( e^{2x} - 1)}{x};]$

$[;= \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - 1}{x} - \lim_{x \to 0}\frac{e^{2x} - 1}{x} = \ln e^3 - \ln e^2 = 3 - 2 = 1;]$

$[;b);]$ Este limite segue direto da Prop. 2, ou seja,

$[;\lim_{x \to 0}\frac{3^x - 1}{x} = \ln 3;]$

$[;c);]$ Neste caso, usamos um truque algébrico, para que o limite dado fique no formato do limite fundamental, isto é,

$[;\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2} - 1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2} - 1}{x^2}\cdot x = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2} - 1}{x^2}\cdot \lim_{x \to 0}x = \ln e \cdot 0 = 0;]$

Exercícios Propostos:
$[;1);]$ Calcule os limites abaixo:
$[;a);]$

$[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x}{x+1}\biggr)^x \qquad R: \ 1/e;]$

$[;b);]$
$[;\lim_{x \to -\infty}\biggl(\frac{3x + 1}{3x - 5}\biggr)^x \qquad R: \ e^2;]$

$[;2);]$ Mostre que a derivada da função $[;f(x) = e^x;]$ é igual a $[;f^{\prime}(x) = e^x;]$ .
3) Prove que a derivada da função $[;f(x) = \ln x;]$ é igual a $[;f^{\prime}(x) = 1/x;]$ .

Gostará de ler também:
- Limites Pela Definição;
- Cálculo de Limites Algébricos e Irracionais Algébricos;
- Cálculo de Limites Trigonométricos;
- O Número e.

9 comentários:

Aloisio Teixeira13 de fevereiro de 2012 19:27
Bonito! Interessante generalização do limite de variável natural para real...
ResponderExcluir
Prof. Paulo Sérgio13 de fevereiro de 2012 20:39
Acho que os conceitos matemáticos devem ser apresentados seguindo o padrão de qualidade grego, ou seja, dentro de uma lógica impecável. Pode ser que em uma aula de Cálculo, ele omita algumas demonstrações, mas suas notas de aula devem ser impecáveis, mostrando aos alunos que a Matemática está muito bem organizada. Obrigado pelo comentário e volte sempre!
ResponderExcluir
Aloisio Teixeira13 de fevereiro de 2012 22:04
O equivalente exponencial do quociente de Newton é
[;\sqrt[\Delta x]{\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}};].É correto eu afirmar que [;\lim_{\Delta x \to 0}\sqrt[\Delta x]{\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}}=e^{\frac{f^'(x)}{f(x)}}?;]? O desenvolvimento foi assim: [;\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}=\frac{f(x)+f(x+\Delta x)-f(x)}{f(x)}=1+\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{f(x)};] .Multiplicando o numerador e denominador da segunda parcela por [;\Delta x;] prossegue-se [;\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}=1+\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.\frac{\Delta x}{f(x)}=1+\frac{f_{\Delta x}^{(1)}(x)}{f(x)}.\Delta x;]. Portanto,

[;\lim_{\Delta x \to 0}\left[\frac{f(x+ \Delta x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{\Delta x};][;=\lim_{\Delta x \to 0}\left[1+\frac{f_{\Delta x}^{(1)}(x)}{f(x)}.\Delta x \right]^{\frac{1}{\Delta x}}=e^{\frac{f^'(x)}{f(x)};]. O que acha?
ResponderExcluir
Prof. Paulo Sérgio14 de fevereiro de 2012 10:03
Isto está correto, mas não sei para que serve ou em que podemos usá-la. Analisando estas contas, achei outro modo de prová-la. Seja

[;J = \left[\frac{f(x+ \Delta x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{\Delta x};]

Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos

[;\ln J = \frac{1}{\Delta x}\ln \left[\frac{f(x+ \Delta x)}{f(x)}\right] = \frac{1}{\Delta x}[\ln(f(x + \Delta x)) - \ln f(x)];]

Aplicando limite em ambos os lados e fazendo [;\Delta x \to 0;] e usando o fato que [;f(x) = \ln x;] é uma função contínua, então podemos permutar o limite com o logaritmo, para obter

[;\ln \biggl(\lim_{\Delta x \to 0} J \biggr) = \frac{\ln(f(x + \Delta x)) - \ln f(x)}{\Delta x} = [\ln f(x)]^{\prime} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)};]

donde segue o resultado.
ResponderExcluir
Aloisio Teixeira14 de fevereiro de 2012 10:28
Interessante a demonstração por logaritmo. Eu estave pensando em utilizar o limite de [;J;] para algum tipo de produtório infinito. É por isto que gosto da matemática pura.
ResponderExcluir
Bruno de Andrade Barroca15 de setembro de 2012 20:05
Qual seria a resolução do exercícios propostos cujo resultado é 1/e.
ResponderExcluir
Prof. Paulo Sérgio15 de setembro de 2012 22:31
A dica para a resolução do exercício 1 a) é

[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x}{x+1}\biggr)^x = \lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x+1 - 1}{x+1}\biggr)^x = \lim_{x \to +\infty}\biggl(1- \frac{1}{x+1}\biggr)^x;]

Agora faça [;-1/(x + 1) = 1/y;] que o resultado segue.

Obrigado pelo comentário e volte sempre!
ResponderExcluir
Ernesto Ernane5 de maio de 2013 11:06
este site me foi muito útil para a a resolução da minha primeira prova da faculdade.
ResponderExcluir
Respostas

Adicionar comentário

Carregar mais...

Páginas

Membros

segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012

Cálculo de Limites Exponenciais

9 comentários: