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Cálculo de Limites Exponenciais

Para estudar a derivada das funções exponenciais e logarítmicas, faz-se necessário aplicar dois limites fundamentais que apresentaremos neste post.

Proposição 1: Se [;x \in \mathbb{R};], então

[;\lim_{x \to \infty}\biggl(1 + \frac{1}{x}\biggr)^x = e \qquad (1);]

onde [;e;] é a constante de Euler ou Napier.

Demonstração: Vale ressaltar que o símbolo [;\infty;] significa [;+\infty;] ou [;-\infty;]. Mostraremos o caso em que [;x \to +\infty;], o outro caso é análogo. Dado [;x \succ 0;], existe [;n \in \mathbb{N};] tal que [;n \leq x \prec n + 1;]. Assim,

[;\frac{1}{n} \geq \frac{1}{x} \succ \frac{1}{n+1} \quad \Rightarrow \quad 1 + \frac{1}{n+1} \prec 1 + \frac{1}{x} \leq 1 + \frac{1}{n};]
de modo que

[;\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^n \prec \biggl(1 + \frac{1}{x}\biggr)^x \prec \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^{n+1} \qquad (2);]
Note que

[;\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^n = \frac{\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^{n+1}}{\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)} = \frac{n+1}{n+2}\cdot\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^{n+1} \qquad (3);]
e que

[;\biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^{n+1} = \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n\cdot \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr) = \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n\cdot \frac{n+1}{n}\qquad (4);]

Substituindo [;(3);] e [;(4);] em [;(2);], temos:

[;\frac{n+1}{n+2}\cdot\biggl(1 + \frac{1}{n+1}\biggr)^{n+1} \prec \biggl(1 + \frac{1}{x}\biggr)^x \prec \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n\cdot \frac{n+1}{n} \qquad (5);]

Mas vimos no post O Número e que

[;\lim_{n \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n = e;]
e como

[;\lim_{n \to +\infty}\frac{n+1}{n+2} = \lim_{n \to +\infty}\frac{n+1}{n} = 1;]

fazendo [;x \to +\infty;] na expressão [;(5);], temos

[;e \leq \lim_{x \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{x}\biggr)^x \leq e;]
donde segue o resultado.

Corolário 1:
[;\lim_{y \to 0} (1 + y)^{1/y} = e \qquad (6);]

Demonstração: Basta fazer [;x = 1/y;] na Prop. 1.

Vejamos como podemos usar estes resultados no cálculo de limites exponenciais.

Exemplo 1: Calcule os limites abaixo:

[;a);]
[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(1 + \frac{3}{x}\biggr)^x;]

[;b);]
[;\lim_{x \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{2x}\biggr)^{x+1};]

[;c);]
[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x + 1}{x + 2}\biggr)^{2x};]

[;d);]
[;\lim_{x \to 0}(1 + 4x)^{1/x};]

Resolução:
[;a);] Para este limite, fazemos a mudança de variáveis, colocando [;3/x = 1/u;], ou seja, [;x = 3u;]. Se [;x \to +\infty;], também temos que [;u \to +\infty;]. Logo, pela Prop. 1, obtemos:

[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(1 + \frac{3}{x}\biggr)^x = \lim_{u \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{3u} = \biggl[\lim_{u \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{u}\biggr]^3 = e^3;]

[;b);] Analogamente, fazendo [;1/(2x) = 1/u;], segue que [;u = 2x;]. Se [;x \to -\infty;], também temos que [;u \to -\infty;]. Assim,


[;\lim_{x \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{2x}\biggr)^{x+1} = \lim_{x \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{2x}\biggr)^x \cdot \lim_{x \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{2x}\biggr) ;]

[;=\lim_{u \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{u/2}\cdot 1 =\biggl[\lim_{u \to +\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{u}\biggr]^{1/2} = e^{1/2};]

[;c);] Neste caso, observe que

[;\frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x + 2 - 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2};]

Assim, fazemos a substituição colocando [;-1/(x + 2) = 1/u;], de modo que [;x = -u - 2;]
. Como [;x \to +\infty;], segue que [;u \to -\infty;]. Assim,

[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x + 1}{x + 2}\biggr)^{2x} = \lim_{x \to +\infty}\biggl(1 - \frac{1}{x + 2}\biggr)^{2x} = \lim_{u \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{2(-u -2)};]

[;= \lim_{u \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{-2u}\cdot \lim_{u \to -\infty}\biggl(1 + \frac{1}{u}\biggr)^{-4} = e^{-2}\cdot 1 = \frac{1}{e^2};]

[;d);] Fazendo [;y = 4x;], segue que [;1/x = 4/y;]. Se [;x \to 0 \quad \Rightarrow \quad y \to 0;]. Logo, pelo Cor. 1, temos:

[;\lim_{x \to 0}(1 + 4x)^{1/x} = \lim_{y \to 0}(1 + y)^{4/y} = [\lim_{y \to 0}(1 + y)^{1/y}]^4 = e^4;]

Outro limite exponencial fundamental importante é dado na próxima proposição.

Proposição 2: Se [;0 \prec a \neq 1;], então

[;\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \ln a;]

Demonstração: Fazemos a mudança de variáveis colocando [;a^x - 1 = y;], de modo que

[;a^x = 1 + y \quad \Rightarrow \quad x\ln a = \ln(1 + y);]

Note que se [;x \to 0 \quad \Rightarrow \quad y \to 0;]. Assim,

[;\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \lim_{y \to 0}\frac{y}{\frac{\ln(1 + y)}{\ln a}} = \ln a\cdot \lim_{y \to 0}\frac{1}{\frac{\ln(1 + y)}{y}};]

[;= \ln a\cdot \frac{1}{\lim_{y \to 0}\ln(1 + y)^{1/y}} = \ln a\cdot \frac{1}{\ln[\lim_{y \to 0}(1 + y)^{1/y}]} = \frac{\ln a}{\ln e} = \ln a;]

Exemplo 2: Calcule os limites abaixo:

[;a);]
[;\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - e^{2x}}{x};]

[;b);]
[;\lim_{x \to 0}\frac{3^x - 1}{x};]

[;c);]
[;\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2} - 1}{x};]

Resolução:
[;a);] Neste caso, basta adicionar e subtrair [;1;], para usarmos a Prop. 2, isto é,

[;\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - e^{2x}}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} -1 - ( e^{2x} - 1)}{x};]

[;= \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - 1}{x} - \lim_{x \to 0}\frac{e^{2x} - 1}{x} = \ln e^3 - \ln e^2 = 3 - 2 = 1;]

[;b);] Este limite segue direto da Prop. 2, ou seja,

[;\lim_{x \to 0}\frac{3^x - 1}{x} = \ln 3;]

[;c);] Neste caso, usamos um truque algébrico, para que o limite dado fique no formato do limite fundamental, isto é,


[;\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2} - 1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2} - 1}{x^2}\cdot  x = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2} - 1}{x^2}\cdot \lim_{x \to 0}x = \ln e \cdot 0 = 0;]

Exercícios Propostos:
[;1);] Calcule os limites abaixo:
[;a);]
[;\lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x}{x+1}\biggr)^x \qquad R: \ 1/e;]

[;b);]
[;\lim_{x \to -\infty}\biggl(\frac{3x + 1}{3x - 5}\biggr)^x \qquad R: \ e^2;]

[;2);] Mostre que a derivada da função [;f(x) = e^x;] é igual a [;f^{\prime}(x) = e^x;].
3) Prove que a derivada da função [;f(x) = \ln x;] é igual a [;f^{\prime}(x) = 1/x;].

Gostará de ler também:
- Limites Pela Definição;
- Cálculo de Limites Algébricos e Irracionais Algébricos;
- Cálculo de Limites Trigonométricos;
- O Número e.

14 comentários:

  1. Bonito! Interessante generalização do limite de variável natural para real...

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  2. Acho que os conceitos matemáticos devem ser apresentados seguindo o padrão de qualidade grego, ou seja, dentro de uma lógica impecável. Pode ser que em uma aula de Cálculo, ele omita algumas demonstrações, mas suas notas de aula devem ser impecáveis, mostrando aos alunos que a Matemática está muito bem organizada. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. O equivalente exponencial do quociente de Newton é
    [;\sqrt[\Delta x]{\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}};].É correto eu afirmar que [;\lim_{\Delta x \to 0}\sqrt[\Delta x]{\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}}=e^{\frac{f^'(x)}{f(x)}}?;]? O desenvolvimento foi assim: [;\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}=\frac{f(x)+f(x+\Delta x)-f(x)}{f(x)}=1+\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{f(x)};] .Multiplicando o numerador e denominador da segunda parcela por [;\Delta x;] prossegue-se [;\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}=1+\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.\frac{\Delta x}{f(x)}=1+\frac{f_{\Delta x}^{(1)}(x)}{f(x)}.\Delta x;]. Portanto,

    [;\lim_{\Delta x \to 0}\left[\frac{f(x+ \Delta x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{\Delta x};][;=\lim_{\Delta x \to 0}\left[1+\frac{f_{\Delta x}^{(1)}(x)}{f(x)}.\Delta x \right]^{\frac{1}{\Delta x}}=e^{\frac{f^'(x)}{f(x)};]. O que acha?

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  4. Isto está correto, mas não sei para que serve ou em que podemos usá-la. Analisando estas contas, achei outro modo de prová-la. Seja

    [;J = \left[\frac{f(x+ \Delta x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{\Delta x};]

    Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos

    [;\ln J = \frac{1}{\Delta x}\ln \left[\frac{f(x+ \Delta x)}{f(x)}\right] = \frac{1}{\Delta x}[\ln(f(x + \Delta x)) - \ln f(x)];]

    Aplicando limite em ambos os lados e fazendo [;\Delta x \to 0;] e usando o fato que [;f(x) = \ln x;] é uma função contínua, então podemos permutar o limite com o logaritmo, para obter

    [;\ln \biggl(\lim_{\Delta x \to 0} J \biggr) = \frac{\ln(f(x + \Delta x)) - \ln f(x)}{\Delta x} = [\ln f(x)]^{\prime} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)};]

    donde segue o resultado.

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  5. Interessante a demonstração por logaritmo. Eu estave pensando em utilizar o limite de [;J;] para algum tipo de produtório infinito. É por isto que gosto da matemática pura.

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  6. Qual seria a resolução do exercícios propostos cujo resultado é 1/e.

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  7. A dica para a resolução do exercício 1 a) é

    [;\lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x}{x+1}\biggr)^x = \lim_{x \to +\infty}\biggl(\frac{x+1 - 1}{x+1}\biggr)^x = \lim_{x \to +\infty}\biggl(1- \frac{1}{x+1}\biggr)^x;]

    Agora faça [;-1/(x + 1) = 1/y;] que o resultado segue.

    Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  8. este site me foi muito útil para a a resolução da minha primeira prova da faculdade.

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    1. Fico feliz em saber que o site está lhe ajudando em seus estudos. Se possível divulgue para os demais colegas. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  9. Agradeço imensamente por ter a oportunidade de acessar estes preciosos ensinamentos gratuitamente, me foram muito úteis e me ajudaram por demais.

    Espero que você continue seu trabalho com tal excelência por muito tempo!

    Abraço.

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  10. Como posso resolver: lim (n"tendendo pra +infinito) {1-(1-1/n)^a} / {1-(1-1/n)^b} com a e b sendo constantes com b diferente de zero.

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  11. Porque que nos itens b e c do exemplo 1 o u passa a tender a + infinito (item b) e a - infinito (item c)???

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    1. Obrigado professor, entendi o item c do exemplo 1, mas ainda não consigo entender por que no final do item b u passa a tender a + infinito..

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