FATOS MATEMÁTICOS: A Desigualdade de Bernoulli

sábado, 25 de fevereiro de 2012

A Desigualdade de Bernoulli

Esta desigualdade é devido ao matemático suiço Jacques Bernoulli $[;(1654-1705);]$ e é muito importante para estabelecer alguns teoremas de Cálculo e Análise Matemática. Neste post, veremos esta desigualdade e algumas de suas aplicações.

Proposição 1: (Jacques Bernoulli) Dados $[;x \in \mathbb{R};]$ com $[;x \succ -1;]$ e $[;n \in \mathbb{N};]$ , então

$[;(1 + x)^n \geq 1 + nx \qquad (1);]$

Demonstração: Usaremos indução finita sobre $[;n;]$ . É evidente que ela é válida para $[;n=1;]$ . Suponhamos então que a expressão $[;(1);]$ seja válida e provaremos que ela também é verdadeira para $[;n+1;]$ . De fato,

$[;(1 + x)^{n+1} = (1 + x)^n(1 + x);]$

$[;\geq (1 + nx)(1 + x) =1 + nx + x + nx^2;]$

$[;= 1 + (n+1)x + nx^2 \geq 1 + (n+1)x;]$

A próxima proposição é uma generalização desta desigualdade.

Proposição 2: Seja $[;x \succ -1;]$ . Então

$[;i);]$ $[;(1 + x)^r \leq 1 + rx;]$ para $[;0 \prec r \prec 1;]$ ;
$[;ii);]$ $[;(1 + x)^r \geq 1 + rx;]$ para $[;r \succ 1;]$ .

Demonstração: Considere a função $[;f;]$ para $[;x \succ -1;]$ dada por

$[;f(x) = r\ln(1 + x) - \ln(1 + rx);]$

cuja derivada é

$[;f^{\prime}(x) = \frac{r}{1 + x} - \frac{r}{1 + rx} = \frac{r[1 + rx - (1 + x)]}{(1 + x)(1 + rx)} =\frac{r(r - 1)x}{(1 + x)(1 + rx)} \qquad (2);]$

Caso i) $[;0 \prec r \prec 1;]$ : Neste caso, note que $[;-1 \prec r -1 \prec 0;]$ e $[;x \succ -1;]$ . Analisando a expressão $[;(2);]$ , temos:

$[;\begin{cases}f^{\prime}(x) \succ 0 \quad \text{para} \quad -1 \prec x \prec 0\\f^{\prime}(0) = 0\\f^{\prime}(x) \prec 0 \quad \text{para} \quad x \succ 0\\\end{cases};]$

Pelo teste da primeira derivada, $[;f;]$ assume um máximo global em $[;x = 0;]$ . Assim,

$[;f(x) \leq f(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad r\ln(1 + x) - \ln(1 + rx) \leq 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;\ln(1 + x)^r \leq \ln(1 + rx);]$

Sendo a função logarítmica crescente, temos o resultado desejado para este caso.

Caso ii) $[;r \succ 1;]$ : Analisando novamente a expressão $[;(2);]$ , obtemos:

$[;\begin{cases}f^{\prime}(x) \prec 0 \quad \text{para} \quad -1 \prec x \prec 0\\f^{\prime}(0) = 0\\f^{\prime}(x) > 0 \quad \text{para} \quad x \succ 0\\\end{cases};]$

Assim, pelo teste da primeira derivada, segue que $[;f;]$ assume um mínimo global em $[;x = 0;]$ , de modo que

$[;f(x) \geq f(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad (1 + x)^r \geq 1 + rx;]$

Analisando a figura abaixo em que $[;a > 1;]$ , podemos provar a desigualdade de Bernoulli. O coeficiente angular $[;m_1;]$ é dado por

$[;m_1 = \frac{a^x - 1}{x};]$

$[;m_2 = \frac{a - 1}{1 - 0} = a - 1;]$

Sendo $[;m_1 \succ m_2;]$ , temos:

$[;\frac{a^x - 1}{x} \succ a - 1 \quad \Rightarrow \quad a^x - 1 \succ (a - 1)x \quad \Rightarrow \quad [1 + (a - 1)]^x \succ 1 + (a - 1)x;]$

Este mesmo resultado pode ser obtido para $[;0 \prec a \prec 1;]$ .

Algumas Aplicações da Desigualdade de Bernoulli

Exemplo 1: Mostre que a sequência $[;e_n = (1 + 1/n)^n \geq 2;]$ para todo $[;n \in \mathbb{N}^{\ast};]$ .

Resolução: Fazendo $[;x = 1/n;]$ na expressão $[;(1);]$ , segue o resultado.

Exemplo 2: Prove que $[;\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} = 1;]$ .

Resolução: Substituindo $[;x\;]$ por $[;2/n;]$ na expressão $[;(1);]$ , temos

$[;\biggl(1 + \frac{2}{n}\biggr)^n \geq 1 + n\cdot \frac{2}{n} = 3 \quad \Rightarrow \quad 3^{1/n} = \sqrt[n]{3} \leq 1 + \frac{2}{n} \qquad (3);]$

para todo $[;n \in \mathbb{N}^{\ast};]$ . Por outro lado, fazendo $[;x = -2/(3n) \succ -1;]$ em $[;(1);]$ , segue que

$[;\biggl(1 - \frac{2}{3n}\biggr)^n \geq 1 + n\cdot \frac{(-2)}{3n} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad;]$

$[;\biggl(\frac{3n - 2}{3n}\biggr)^n \geq \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{3n-2}{3n} \geq \sqrt[n]{\frac{1}{3}} \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{3n-2}{3n} \geq \frac{1}{3^{1/n}} \quad \Rightarrow \quad \sqrt[n]{3} \geq \frac{3n}{3n-2} \qquad (4);]$

De $[;(3);]$ e $[;(4);]$ , obtemos a expressão

$[;\frac{3n}{3n-2} \leq \sqrt[n]{3} \leq 1 + \frac{2}{n};]$

Aplicando o limite em ambos os lados e fazendo $[;n \to \infty;]$ , temos

$[;\lim_{n \to \infty}\frac{3n}{3n-2} \leq \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{3} \leq \lim_{n \to \infty}\biggl(1 + \frac{2}{n}\biggr) \quad \Rightarrow;]$

$[;1 \leq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} \leq 1;]$

donde segue o resultado.

Em muitos cálculos de limites usamos o fato que se $[;0 \prec x \prec 1;]$ então $[;x^n \to 0;]$ quando $[;n \to \infty;]$ . Através da desigualdade de Bernoulli, podemos demonstrar facilmente este fato.

Proposição 3: Se $[;0 \prec x \prec 1;]$ , então $[;\lim_{n \to \infty}x^n = 0;]$ .

Demonstração: Seja $[;y = 1/x - 1;]$ . Então $[;y \succ 0;]$ e

$[;y+1 = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{1 + y};]$

Para $[;n \geq 1;]$ , temos

$[;x^n = \frac{1}{(1 + y)^n} \leq \frac{1}{1 + ny} \prec \frac{1}{ny};]$

Assim,

$[;0 \leq \lim_{n \to \infty} x^n \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ny} = 0;]$

donde segue o resultado.

Gostará de ler também:
- O Teste da Primeira Derivada;
- Jacques Bernoulli;
- O Número e;
- Cálculo de Limites Exponenciais.

4 comentários:

Paulo Oliveira19 de março de 2012 17:31
Professor, como provar que /x/ - /y/ <= //x/ -/y// <= /x-y/?
onde posso encontrar essa demonstração?
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Respostas
Prof. Paulo Sérgio25 de março de 2012 16:43
Basta provar que sqrt(3) é irracional, pois a raiz quadrada de 12 é o dobro de sqrt(3). O procedimento é semelhante ao procedimento de provar que sqrt(2) é irracional.
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