Equações Diferencias Ordinárias de Segunda Ordem (Parte 1)

As equações diferenciais de segunda ordem surgem em vários fenômenos físicos tais como sistemas massa-mola, circuitos elétricos, deflexões de vigas e soluções resultantes da técnica de separação de variáveis para EDP's lineares. Historicamente, Newton teve resolver uma equação diferencial de segunda ordem para deduzir as leis de Kepler à partir de sua lei da gravitação. Neste post, apresentamos os primeiros conceitos e ideias sobre este assunto.

Sejam funções contínuas definidas sobre um intervalo fechado e suponhamos que a função seja vezes diferenciável em . O operador é definido por

Esta expressão para em termos de e suas derivadas é linear no sentido de que

para quaisquer constantes e e quaisquer funções e suficientemente diferenciáveis. Este resultado é clássico e fica à cargo do leitor.

As equações diferenciais resultantes do operador diferencial pode ser homogênea ou não-homogênea, isto é,

e

onde é uma função definida em .

Proposição 1: Se e são soluções da equação diferencial homogênea , então para quaisquer constantes e , a função também é solução.

Demonstração: De fato, pela propriedade de linearidade, temos:

Proposição 2: Se e são duas soluções da equação diferencial não-homogênea , então é solução da equação diferencial homogênea .

Demonstração: Por hipótese, temos e , de modo que

Proposição 3: Suponhamos que e sejam soluções das equações diferenciais não-homogêneas e , então para quaisquer constantes e , a função é solução da equação diferencial não-homogênea , onde .

Demonstração: De fato,

Estas são as principais propriedades sobre as equações diferenciais lineares de ordem . Vejamos agora o operador no caso em que . Neste caso,

sendo uma função duas vezes diferenciável. A solueção da equação diferencial homogênea ou a equação diferencial não-homogênea , envolve as constantes arbitrárias e . Estas constantes podem ser determinadas especificando condições iniciais sobre a função ou sua derivada , por exemplo, se e , obtemos o problema de valor inicial não-homogêneo:

No caso em que , o problema de valor inicial é dito homogêneo. Enunciaremos abaixo um teorema relativo a existência de soluções cuja demonstração está além deste post inicial e será omitida.

Teorema 1: Suponha que as funções e são contínuas sobre o intervalo . Então o problema de valor inicial possui uma solução sobre este intervalo.

Para obter a unicidade de solução do problema de valor inicial , devemos impor mais condições restritivas sobre as funções , e que serão vistas futuramente.

Um caso interessante de equação diferencial de segunda ordem abordado inicialmente por Leonhard Euler é obtido considerando como um operador de coeficientes constantes, isto é,

de modo que a equação homogênea correspondente é dada por:

Para esta equação, Euler teve a ideia de supor que a solução tem a forma . Derivando esta expressão e substituindo em , obtemos:

Esta expressão é um produto de dois termos, sendo que um deles () nunca se anula. Portanto,

Esta equação quadrática é chamada equação característica da equação diferencial homogênea e conforme o número de raízes que ela possui, teremos diferentes tipos de soluções. Exploremos esta equação na segunda parte desta série.

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