FATOS MATEMÁTICOS: O Método de Descartes Para Traçar Tangentes

segunda-feira, 6 de fevereiro de 2012

O Método de Descartes Para Traçar Tangentes

Antes da invenção do Cálculo, muitos matemáticos europeus desenvolviam métodos particulares para traçar a tangente a curva dada e logo após a invenção de sua Geometria Analítica, René Descarte $[;(1596-1650);]$ desenvolveu um método engenhoso para traçar tangentes e funcionava muito bem para funções algébricas.

Em linhas gerais, o método desenvolvido por René Descartes para traçar tangentes é o seguinte: Seja $[;f(x,y) = 0;]$ a equação da curva dada e $[;P_1(x_1,y_1);]$ um ponto sobre a curva o qual deseja traçar a reta tangente. Em seguida, considere o ponto $[;Q(x_2,0);]$ um ponto sobre o eixo $[;x\;]$ . Então a equação da circunferência de centro $[;Q;]$ e que passa pelo ponto $[;P_1;]$ é:

$[;(x - x_2)^2 + y^2 = r^2 = (x_1 - x_2)^2 + y_{1}^{2} \qquad (1);]$

Isolando $[;y;]$ da equação $[;f(x,y) = 0;]$ e substituindo em $[;(1);]$ , obtemos uma equação em $[;x\;]$ que leva às abscissas dos pontos onde a circunferência corta a curva dada. Determina-se a seguir $[;x_2;]$ de modo que essa equação em $[;x\;]$ tenha duas raízes iguais a $[;x_1;]$ . Essa condição faz com que $[;Q;]$ seja a interseção do eixo $[;x\;]$ com a normal à curva em $[;P_1;]$ , uma vez que a circunferência é agora tangente à curva $[;f(x,y) = 0;]$ em $[;P_1;]$ . Desenhando essa circunferência, pode-se facilmente construir a tangente desejada.

Exemplo 1: Construa a tangente à parábola $[;y^2 = 4x;]$ no ponto $[;P_1(1,2);]$ .

Resolução: Seja $[;Q(x_2,0);]$ . A equação da circunferência centrada em $[;Q(x_2,0);]$ e que passa pelo ponto $[;P_1(1,2);]$ .

$[;(x - x_2)^2 + y^2 = (1 - x_2)^2 + 2^2 \qquad (2);]$

Substituindo $[;y^2 = 4x;]$ em $[;(2);]$ , obtemos a equação em $[;x\;]$ :

$[;(x - x_2)^2 + 4x = (1 - x_2)^2 + 2^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x_2x + x_{2}^{2} + 4x = 1 - 2x_2 + x_{2}^{2} + 4 \quad \Rightarrow;]$

$[;x^2 + 2(2 - x_2)x + 2x_2 - 5 = 0;]$

A condição para que essa equação quadrática tenha duas raízes iguais é que seu discriminante seja nulo. Assim,

$[;\Delta = 4(2 - x_2)^2 - 4(2x_2 - 5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{2}^{2} - 6x_2 + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x_2 - 3)^2 = 0;]$

de modo que $[;x_2 = 3;]$ . Logo, a equação da circunferência tangente a curva no ponto $[;P_1(1,2);]$ e centrada em $[;Q(3,0);]$ é $[;(x - 3)^2 + y^2 = 8;]$ .

Desenhando esta circunferência podemos construir a tangente desejada. Observe também que podemos achar o coeficiente angular da reta normal e da reta tangente à parábola $[;y^2 = 4x;]$ no ponto $[;P_1(1,2);]$ .

Exercícios Propostos:
$[;1);]$ Uma variante do método de Descartes para traçar tangentes é adotar o ponto $[;Q;]$ sobre o eixo $[;y;]$ , isto é, $[;Q(0,y_2);]$ . Use esta técnica para construir a tangente à parábola $[;y = x^2;]$ no ponto $[;P_1(1,1);]$ .

$[;2);]$ Use o método de Descartes e ache a equação da reta tangente à curva $[;y = \sqrt{x};]$ no ponto $[;(4,2);]$ .

$[;3);]$ Use o método de Descartes e ache o coeficiente angular da reta tangente à elipse $[;4x^2 + y^2 = 25;]$ no ponto $[;P_1(2,3);]$ .

Gostará de ler também:
- René Descartes;
- Descartes e a Equação Quadrática;
- O Método Para Bem Conduzir a Razão de René Descartes;
- Regra de Descartes e a Equação Quadrática.

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O Método de Descartes Para Traçar Tangentes

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