O Sistema de Coordenadas Polares

Um sistema de coordenadas no plano permite-nos associar um par ordenado de números a cada ponto do plano. Essa ideia simples e profunda que surgiu nos trabalhos dos matemáticos René Descartes e Pierre de Fermat, no século permite juntamente com o Cálculo investigar as propriedades das curvas através das ferramentas da Álgebra.

Na maioria dos casos, é abordado apenas o sistema de coordenadas retangulare ou cartesianas, no qual a ênfase é colocada sobre as distâncias de um ponto a dois eixos perpendiculares. Em algumas aplicações, tais como a curva descrita por um planeta em torno do sol, é mais vantajoso usar um outro sistema de coordenadas cuja posição de um ponto é descrito por sua direção a partir da origem, e por sua distância da origem. Um tal sistema é chamado de sistema de coordenadas polares.

Na figura acima, temos um ponto juntamente com suas coordenadas. A semi-reta é chamado eixo polar e é o raio vetor. A direção especificada por um ângulo em radianos, medida a partir de . Este ângulo é positivo se for medido no sentido anti-horário e negativo se for medido no sentido horário exatamente como se faz na Trigonometria. A distância é dada pela distância orientada , medida a partir da origem ao longo do lado terminal do ângulo . Os dois números e escritos nesta ordem e denotados por chamam-se coordenadas polares do ponto. Observe que a semi-reta é o semi-eixo positivo dos e é o semi-eixo positivo dos e indica-se a origem ou polo do sistema de coordenadas polares.

O termo "distância orientada" é devido ao fato de que em algumas situações encontramos negativo. Nesse caso, subentende-se que em vez de sair da origem no sentido indicado pelo lado terminal de nos dirigimos para a origem a ponto, percorrendo uma distância no sentido oposto a ele. Para compreender melhor este caso observe a figura abaixo.

Podemos associar o sistema de coordenadas polares com o sistema de coordenadas cartesianas colocando o eixo polar sobre o eixo , de modo que eixo polar aponte para o sentido positivo do eixo como na figura acima. Nesta figura, o ponto possui coordenadas , mas este ponto também tem coordenadas polares dadas por . Assim, todo múltiplo de somado ou subtraído da coordenada de um ponto produz um outro ângulo com o mesmo lado terminal; portanto, temos uma outra coordenada do mesmo ponto.

Simmons comenta em seu livro de Cálculo com Geometria Analítica diz: "o fato de que um ponto não é representado por um único par de coordenadas polares é um aborrecimento, embora pequeno. Contudo, é verdade que qualquer par de coordenadas polares dado determina o correspondente ponto sem nenhuma ambiguidade."

Agora, já temos dois sistemas de coordenadas no plano e próximo passo é descobrir o modo de transformar as cordenadas de um sistema nas coordenadas do outro e vice-versa. Para isso, considere a figura abaixo:

Do triângulo retângulo, temos e . Assim, para transformar coordenadas polares em coordenadas cartesianas, usamos as expressões:

Novamente deste triângulo retângulo, temos

e pelo teorema de Pitágoras,

Estas expressões nos fornece o caminho para transformar coordenadas cartesianas em polares, isto é,

Exemplo 1: Transforme:
para coordenadas polares;
para coordenadas cartesianas.

Resolução:
Neste caso, e .
Analogamente, usando as expressões acima, temos

e

Se o raio vetor está relacionado com através da expressão , então se a função é razoavelmente simples, podemos esboçar o seu gráfico escolhendo uma sequência adequada de valores de e calculando os valores correspondentes de . O gráfico polar abaixo nos auxilia nesta tarefa.

Exemplo 2: A curva cuja equação polar é é conhecida por cardióide (coração em latim). Sua representação no gráfico polar é dada na figura abaixo.

Outros gráficos podem ser gerados desta forma, tais como circunferências, limaçons, lemniscatas, espirais, rosáceas, etc. os quais serão abordadas em posts futuros.

Gostará de ler também:
- A Translação de Eixos no Plano;
- A Rotação de Eixos no Plano;
- Área em Coordenadas Polares (Blog O Baricentro da Mente);
- A Cissóide de Diócles.