FATOS MATEMÁTICOS: O Teorema Fundamental do Cálculo Segundo Newton

domingo, 19 de fevereiro de 2012

O Teorema Fundamental do Cálculo Segundo Newton

Poucos anos após da invenção do Cálculo em $[;1665-1666;]$ , circulou entre os amigos de Isaac Newton manuscrito de sua autoria intitulado De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas, sendo publicada apenas em $[;1711;]$ . Este manuscrito, além da relação entre áreas e tangentes, ele continha os fundamentos do seu método de séries infinitas, que eram manipuladas por multiplicações, divisões e extrações de raízes.

Neste post, apresentaremos a versão de Isaac Newton do teorema que é a essência do Cálculo Diferencial e Integral. A figura ao lado é uma montagem de uma página de seu livro escrito supostamente em $[;1669;]$ em que o teorema é provado.

Proposição 1: (Teorema Fundamental do Cálculo) Seja $[;AD\delta;]$ uma curva qualquer e suponhamos que a área $[;z;]$ da figura curvilínea $[;ABD;]$ é gerado pelo movimento contínuo e uniforme do segmento $[;BD = y;]$ da esquerda para direita. Se

$[;z = \frac{na}{m+n}x^{(m+n)/n};]$

então a fluxão da área $[;z;]$ (taxa de variação instântanea) em relação a $[;x\;]$ é igual a ordenada $[;y;]$ , isto é

$[;\dot{z} = y = ax^{m/n};]$

Demonstração: Baseado na figura acima, destacamos na imagem abaixo os principais elementos usados por Newton em sua prova.

Sejam

$[; \frac{na}{m+n} = c \quad \text{e} \quad m + n = p \qquad (1);]$

Para obter este resultado, Newton observou a evolução da área em um tempo muito pequeno. Assim, ele considerou $[;o;]$ como sendo o momento ou acréscimo infinitesimal da abcissa $[;x\;]$ . Então a nova abcissa será $[;A\beta = x + o;]$ e a área aumentada será $[;A\delta \beta = z + ov;]$ (ou o que é equivalente a $[;z + oy;]$ ). Newton afirma que existe um ponto $[;K;]$ tal que a área do retângulo $[;B\beta HK;]$ é igual a área do retângulo curvilíneo $[;B\beta \delta D;]$ . Note que

$[;z = \frac{n}{m+n}ax^{(m+n)/n} = cx^{p/n} \quad \Rightarrow \quad z^n = c^nx^p;]$

Assim,

$[;(z + oy)^n = c^n(x + o)^p;]$

Usando o binômio para expandir a expressão acima, Newton obteve

$[;z^n + noyz^{n-1}+\ldots = c^n(x^p + pox^{p-1}+\ldots) \quad \Rightarrow;]$

$[;z^n + noyz^{n-1}+\ldots = c^nx^p + c^npox^{p-1}+\ldots \qquad (2);]$

Dividindo a expressão $[;(2);]$ por $[;o;]$ e abandonando os termos que ainda contém $[;o;]$ , temos

$[;ny\frac{z^n}{z} = c^npx^{p-1} \quad \Rightarrow \quad ny\frac{c^nx^p}{cx^{p/n}} = c^npx^{p-1} \quad \Rightarrow;]$

$[;nyx^{p - p/n} = cpx^{p-1} \quad \Rightarrow \quad nyx^{-p/n} = cpx^{-1} \quad \Rightarrow;]$

Isolando $[;y;]$ e usando as expressões dadas em $[;(1);]$ , segue que

$[;y = \frac{cp}{n}x^{p/n - 1} = \frac{na}{m+n}\cdot \frac{m+n}{n}x^{(p - n)/n} \quad \Rightarrow \quad y = ax^{m/n};]$

Parece ser essa a primeira na história da matemática que uma área foi achada pelo inverso do que chamamos diferenciação, embora a possibilidade de usar tal processo evidentemente fosse conhecida por Barrow e Gregory, e talvez também por Torricelli e Fermat.

Reciprocamente, se a curva é $[;y = ax^{m/n};]$ , então a área será

$[;z = \frac{n}{m+n}ax^{(m+n)/n};]$

Em outras palavras, para Newton, a fluente de uma ordenada variável é a área gerada pela ordenada em seu movimento.

Exemplo 1: Ache a ordenada de uma curva sabendo que sua área ou fluente é dada por $[;z = x^3;]$ .

Resolução: Usando a mesma figura acima, tomamos $[;x = AB;]$ , $[;x + o = A\beta;]$ e $[;z = ADB;]$ . Assim,

$[;(x + o)^3 = x^3 + 3ox^2 + 3o^2x + o^3 = z + ov;]$

Consequentemente,

$[;3ox^2 + 3o^2x + o^3 = ov \quad \Rightarrow \quad 3x^2 + 3ox + o^2 = v;]$

Fazendo $[;o = 0;]$ , obtemos $[;3x^2 = v = y;]$ .

Newton determina a área sob a curva $[;y=y(x);]$ invertendo as operações de derivação. Deste modo, ele não adiciona mais superfícies infinitesimais como nos procedimentos anteriores, mas coloca a derivada como ponto central do seu desenvolvimento. Assim, para fazer a quadratura de uma área de ordenadas dadas por $[;y = y(x);]$ , basta achar a primitiva $[;Y;]$ de $[;y;]$ , isto é, achar $[;Y;]$ tal que a fluxão de $[;Y;]$ seja $[;y;]$ . Em notação moderna: achar $[;Y;]$ tal que $[;dY/dx = y;]$ .

Exemplo 2: Ache a primitiva de $[;y = 1/(x + 1);]$ seguindo os passos de Newton.

Resolução: Para achar a primitiva de $[;y = 1/(x + 1);]$ ele usava séries infinitas escrevendo

$[;Y = ax^m + bx^{m+1}+\ldots;]$

de modo que

$[;\dot{Y} = amx^{m-1} + b(m+1)x^m + \ldots;]$

Usando o seu binômio ou por divisão direta, ele obtinha

$[;y(x) = \frac{1}{x+1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \ldots;]$

Sendo $[;\dot{Y} = y(x);]$ , comparando os termos de cada série, obtemos $[;a = 1;]$ , $[;b = -1/2;]$ , etc.

Segundo Boyer, Newton tornou-se o efetivo inventor do cálculo porque foi capaz de explorar a relação inversa entre inclinação e área através de sua nova análise infinita. Por isso, é que mais tarde ele viu com maus olhos toda tentativa de separar seu cálculo de sua análise por séries infinitas.

Referências Bibliográficas:
- Boyer, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. Ed. Edgar Blucher Ltda, São Paulo, 1974.
- Lilian J. Galarda, et. ali. A Evolução do Cálculo Através da História. Ed. da Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 1999.
- Sloman H. The Claim of Leibniz to the Invention of the Differential Calculus. McMillan and Co. London, 1860.
- http://euler.mat.ufrgs.br/~portosil/newton.html

Gostará de ler também:
- O Binômio Segundo Newton;
- O Cálculo de Newton (Parte 1);
- O Cálculo de Newton (Parte 2);
- Grandes Matemáticos (Isaac Newton);
- Matemática Elementar por Isaac Newton;
- Sobre a Lei da Gravitação Universal.

Páginas

Membros

domingo, 19 de fevereiro de 2012

O Teorema Fundamental do Cálculo Segundo Newton

Nenhum comentário:

Postar um comentário