FATOS MATEMÁTICOS: O Volume da Cunha Cilíndrica

quinta-feira, 23 de fevereiro de 2012

O Volume da Cunha Cilíndrica

Um dos problemas abordados por Arquimedes é o cálculo de volume de uma cunha cilíndrica. Ele conseguiu calcular através do método da exaustão, o volume de uma cunha cuja base é o diâmetro e a altura é o raio $[;R;]$ . Em geral, este sólido é obtido seccionando um cilindro por dois planos, sendo que um deles é a sua base. A altura da cunha cilíndrica será denotada por $[;h;]$ , o raio da base do cilindro é $[;R;]$ , sua largura será denotada por $[;2a;]$ e seu comprimento por $[;b;]$ conforme a figura acima. Observe que as interseções dos planos com o cilindro não precisa passar pelo centro da base do cilindro.

Usaremos Geometria Analítica e integrais duplas para deduzir que o volume da cunha cilíndrica é dado por

$[;V = \frac{h}{3b}[a(3R^2 - a^2) + 3R^2(b - R)\alpha];]$

onde $[;\alpha;]$ é um ângulo tal que $[;\sin \alpha = a/R;]$ .

Para isto, considere plano $[;\alpha;]$ que passa pelos pontos $[;A(R-b,-a,0);]$ , $[;B(R-b,a,0);]$ e $[;C(R,0,h);]$ . Para achar a equação deste plano, considere os vetores:

$[;\vec{AB} = B - A = (0,-2a,0) \quad \text{e} \quad \vec{AC} = C - A = (b,a,h);]$

de modo que o vetor normal $[;\vec{N};]$ ao plano $[;\alpha;]$ é dado pelo produto vetorial:

$[;\vec{N} = \vec{AB}\times \vec{AC} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\0 & -2a & 0\\b & a & h\\\end{vmatrix};]$

$[;=-2a\vec{i} - 0\vec{j} + 2ab\vec{k} = (-2ah,0,2ab);]$

Assim, a equação deste plano é:

$[;-2ahx + 0y + 2abz + d = 0 \quad \Rightarrow \quad 2abz = 2ahx - d \qquad (1);]$

onde $[;d;]$ é um parâmetro a ser determinado. Como $[;A \in \alpha;]$ , então

$[;2ab\cdot 0 = 2ah(R - b) - d \quad \Rightarrow \quad d = 2ah(R - b) \qquad (2);]$

Substituindo $[;(2);]$ em $[;(1);]$ , temos:

$[;\alpha: \quad 2abz = 2ahx - 2ah(R - b) \quad \Rightarrow \quad z = \frac{h}{b}(x - R + b) \qquad (3);]$

Por integral dupla, o volume da cunha cilíndrica é dado pela integral dupla abaixo, onde $[;z(x,y);]$ é dado por $[;(3);]$ .

$[;V = \int_{\mathcal{R}}\int z(x,y)dA ;]$

Sendo $[;x^2 + y^2 = R^2;]$ , segue que $[;y = \sqrt{R^2 - x^2};]$ . Por simetria, temos:

$[;V = 2\int_{R-b}^{R}\int_{0}^{\sqrt{R^2 - x^2}}\frac{h}{b}(x - R+b)dydx = \frac{2h}{b}\int_{R-b}^{R}(x - R + b)\sqrt{R^2 - x^2}dx;]$

$[;=\frac{2h}{b}\int_{R-b}^{R}x\sqrt{R^2 - x^2}dx + \frac{2h}{b}(b - R)\int_{R-b}^{R}\sqrt{R^2 - x^2}dx = I_1 + I_2;]$

Cálculo de $[;I_1;]$ : Fazendo $[;u = R^2 - x^2;]$ , temos:

$[;\frac{du}{dx} = -2x \quad \Rightarrow \quad xdx = -\frac{du}{2};]$

Se $[;x = R - b;]$ , então $[;u = R^2 - (R - b)^2 = 2Rb - b^2;]$ . Se $[;x = R;]$ , então $[;u = 0;]$ , de modo que

$[;I_1 = \frac{2h}{b}\int_{2Rb - b^2}^{0}\frac{\sqrt{u}}{-2}du = \frac{h}{b}\int_{0}^{2Rb - b^2}u^{1/2}du = \frac{2h}{3b}(2Rb - b^2)^{3/2} \qquad (4);]$

Afirmação 1:

$[;\int \sqrt{R^2 - x^2}dx = \frac{R^2}{2}\arcsin\bigl(\frac{x}{R}\bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{R^2 - x^2} + C;]$

Demonstração: Inicialmente fazemos a mudança de variáveis $[;x = R\sin \theta;]$ , de modo que $[;dx = R\cos \theta d\theta;]$ . Assim,

$[; \int \sqrt{R^2 - x^2}dx = \int R^2\cos^2\theta d\theta = \frac{R^2}{2}\int[1 + \cos(2\theta)]d\theta;]$

$[;=\frac{R^2}{2}\biggl[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\biggr] = \frac{R^2}{2}\biggl[\theta + \sin \theta \cos \theta \biggr] \qquad (5);]$

Sendo $[;\sin \theta = x/R;]$ , então $[;\theta = \arcsin(x/R);]$ e da figura abaixo temos que $[;\cos \theta = \sqrt{R^2 - x^2}/R;]$ .

Da expressão $[;(5);]$ , obtemos

$[;\frac{R^2}{2}\biggl[\arcsin\big(\frac{x}{R}\bigr) + \frac{x}{R}\cdot \frac{\sqrt{R^2 - x^2}}{R}\biggr] =\frac{R^2}{2}\arcsin\bigl(\frac{x}{R}\bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{R^2 - x^2} + C;]$

Afirmação 2: Se

$[;\alpha = \frac{\pi}{2} + \arcsin\bigl(\frac{b - R}{R}\bigr);]$

então

$[;J := \int_{R-b}^{R}\sqrt{R^2 - x^2}dx = \frac{R^2\alpha}{2} + \frac{(b - R)}{2}\sqrt{2Rb - b^2};]$

De fato, da Afirmação 1, temos

$[;J = \biggl[\frac{R^2}{2}\arcsin\bigl(\frac{x}{R}\bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{R^2 - x^2} + C \biggr]_{R-b}^{R};]$

$[;= \frac{R^2}{2}\biggl[\frac{\pi}{2} - \arcsin\bigl(\frac{R - b}{R}\bigr)\biggr] + \frac{1}{2}\biggl[R\cdot 0 - (R - b)\sqrt{R^2 - (R - b)^2}\biggr];]$

$[;=\frac{R^2\alpha}{2} + \frac{(b - R)}{2}\sqrt{2Rb - b^2};]$

Desta afirmação, a integral $[;I_2;]$ é dada por

$[;I_2 = \frac{2h}{b}(b - R)J = \frac{2h}{b}(b - R)\biggl[\frac{R^2\alpha}{2} + \frac{(b - R)}{2}\sqrt{2Rb - b^2}\biggr];]$

$[;= \frac{h(b - R)R^2\alpha}{b} + \frac{h(b - R)^2}{b}\sqrt{2Rb - b^2} \qquad (6);]$

Das expressões $[;(4);]$ e $[;(6);]$ , o volume da cunha cilíndrica é dado por

$[;V = I_1 + I_2 = \frac{2h}{3b}(2Rb - b^2)^{3/2} + \frac{h(b - R)R^2\alpha}{b} + \frac{h(b - R)^2}{b}\sqrt{2Rb - b^2};]$

Da segunda figura acima é fácil ver que $[;a^2 = R^2 - (b - R)^2 = 2bR - b^2;]$ , de modo que

$[;V = \frac{h(b - R)R^2\alpha}{b} + \frac{h(b^2 - 2bR + R^2)a}{b} + \frac{2h}{3b}a^3;]$

$[;=\frac{h}{3b}\biggl[2a^3 + 3(R^2 - a^2)a + 3R^2(b - R)\alpha \biggr];]$

$[;= \frac{h}{3b}[a(3R^2 - a^2) + 3R^2(b - R)\alpha] \qquad (7);]$

Para finalizar a demonstração, provaremos

$[;\sin \alpha = \frac{a}{R};]$

Da Afirmação 2,

$[;\alpha = \frac{\pi}{2} + \arcsin\bigl(\frac{b - R}{R}\bigr) \quad \Rightarrow \quad \sin\bigl(\alpha - \frac{\pi}{2}\bigr) = \frac{b - R}{R} \quad \Rightarrow;]$

$[;(-\cos \alpha)^2 = \frac{(b - R)^2}{R^2} \quad \Rightarrow \quad 1 - \cos^2 \alpha = \frac{R^2 - (b - R)^2}{R^2} \quad \Rightarrow;]$

$[;\sin^2 \alpha = \frac{a^2}{R^2};]$

donde segue o resultado.

Observação 1: Temos dois casos particulares bem interessantes:

O primeiro ocorre quando o plano inclinado passa pelo diâmetro da base do cilindro. Neste caso, $[;a = b = R;]$ , de modo que o volume da cunha é

$[;V = \frac{2R^2h}{3};]$

O segundo caso ocorre quando o plano inclinado passa pela borda da base, de modo que $[;b = 2R;]$ e $[;a = 0;]$ , de modo que o volume da cunha é dado por

$[;V = \frac{\pi R^2 h}{2} \qquad (8);]$

Nestes dois casos, fica como exercício proposto a verificação destes fatos.

Observação 2: Através da expressão $[;(8);]$ podemos afirmar que o volume do cilindro abaixo é o produto da base pela altura média, isto é,

$[;V = \pi R^2h_1 + \frac{\pi R^2(h_2 - h_1)}{2} = \frac{\pi R^2(h_2 + h_1)}{2};]$

Referência Bibliográfica:
- http://mathworld.wolfram.com/CylindricalWedge.html

Gostará de ler também:
- O Elegante Teorema de Pappus;
- O Volume do Dodecaedro Regular;
- O Volume do Barril Elíptico;
- Volumes Iguais em Copos Cilíndricos;
- O Teorema Generalizado de Gua.

2 comentários:

Kleber Kilhian23 de fevereiro de 2012 07:39
Paulo, lá no começo, você diz que a largura é dada por [;a;] e o comprimento por [;b;], conforme a figura. A largura não seria [;2a;]? Pois o ponto [;a;] é simétrico em relação ao eixo [;x;].

Com certeza este não foi o método que Arquimedes utilizou, pois aqui é usado integral dupla; saberia dizer como foi o processo utilizado por ele?

E este é mais um de seus posts brilhantes, Paulo. O acervo do Fatos Matemáticos cresce a cada dia com excelentes artigos servindo de referência na web.

Um abraço!
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Prof. Paulo Sérgio23 de fevereiro de 2012 08:22
Realmente Kleber, o volume da cunha que Arquimedes calculou através do método da exaustão é um caso particular deste que está na observação 1. Já fiz as correções no texto acima. Obrigado pela leitura atenta e pelos elogios. Abraços!
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