A Rotação de Eixos no Plano

Já abordamos a técnica de translação de eixos para identificar ou simplificar uma equação dada. Em muitos problemas, a translação não é suficiente para simplificar uma equação e devemos usar também a técnica de rotação de eixos. Por exemplo, para "eliminar" (escrever a equação nas variáveis e , sendo que o coeficiente do termo é igual a zero) o termo presente na expressão , devemos rotacionar os eixos no sentido anti-horário.

Neste post, abordaremos esta técnica de rotação de eixos e para isto, considere o sistema de coordenadas . Iremos girar esses eixos no sentido anti-horário de um ângulo para obter o sistema cartesiano . A relação entre as coordenadas e é dada pela proposição seguinte:

Proposição 1: Se os eixos coordenados giram um ângulo em torno de sua origem e as coordenadas de um ponto qualque antes e depois da rotação são e , respectivamente, então as equações de transformação do sistema original ao novo sistema são dadas por:

Demonstração: Da figura acima, , , e . Assim,

e

Observação 1: As expressões dadas em recebem o nome de equações de rotação de eixos. Também podemos escrever a relação entre as coordenadas e e através de um produto de matrizes, isto é,

Isto nos dá indícios que podemos também tratar deste assuntos usando as técnicas da Álgebra Linear, envolvendo conceitos de autovalores e autovetores. Mas isto será apresentado futuramente.

Por outro lado, a equação geral do segundo grau nas variáveis e é dada por

sendo ou ou . Com essa condição, garantimos que o grau da equação é realmente igual a .

Esta expressão pode representar uma parábola, uma elipse, uma hipérbole, um par de retas, um ponto ou não representar curva alguma, por exemplo, , pois o lado direito desta expressão é sempre maior que zero. Não trataremos destes casos canônicos, pois a maioria dos problemas práticos envolvem apenas as seções cônicas.

Através da translação de eixos, podemos eliminar os termos e em para nos auxiliar na identificação da cônica que ela representa. O principal problema que enfrentamos é dado pelo termo "misto" em pois quando temos este termo presente, temos dificuldade de identificar a cônica.

Exemplo 1: Rotacione os eixos e de e obtenha a nova equação para a expressão

Resolução: Sendo , pela expressão , temos:

Substituindo em , temos:

de modo que a equação representa uma elipse.

Voltando a expressão , aplicaremos uma rotação de eixos de um ângulo não especificado e em seguida, iremos impor a condição sobre este ângulo de modo que o termo misto fique ausente, ou seja:

Desenvolvendo os termos desta expressão, para que o termo misto fique ausente, devemos impor a condição

para . No caso em que , temos

Exemplo 2: Ache o ângulo o qual devem ser rotacionados os eixos e e em seguida e aplique na equação

Resolução: Sendo , e , então

Assim,

e

Substituindo estas expressões na equação dada, temos:

o qual representa uma hipérbole centrada na origem de eixo real sobre o eixo .

Na maioria dos casos, a rotação de eixos não é suficiente para exprimir a equação dada na forma reduzida, sendo necessário também aplicar a translação de eixos.

Exemplo 3: Aplique rotação e translação de eixos para reduzir e identificar a equação do segundo grau abaixo:

Resolução: Sendo então de modo que

Note que

Podemos reescrever a equação dada na forma

Substituindo em , temos

Em seguida, fazemos uma translação de eixos, fazendo

para obter

de modo que a equação dada representa uma parábola.

Gostará de ler também:
- A Translação de Eixos;
- Alguns Fatos Sobre a Elipse;
- Alguns Fatos Sobre a Hipérbole;
- A Parábola e as Funções Quadráticas.