Membros

sábado

A Rotação de Eixos no Plano

Já abordamos a técnica de translação de eixos para identificar ou simplificar uma equação dada. Em muitos problemas, a translação não é suficiente para simplificar uma equação e devemos usar também a técnica de rotação de eixos. Por exemplo, para "eliminar" (escrever a equação nas variáveis [;x^{\prime};] e [;y^{\prime};], sendo que o coeficiente do termo [;x^{\prime}y^{\prime};] é igual a zero) o termo [;xy;] presente na expressão [;x^2 - xy + y^2 = 1;], devemos rotacionar os eixos [;45^{\circ};] no sentido anti-horário.

Neste post, abordaremos esta técnica de rotação de eixos e para isto, considere o sistema de coordenadas [;xOy;]. Iremos girar esses eixos no sentido anti-horário de um ângulo [;\theta;] para obter o sistema cartesiano [;x^{\prime}Oy^{\prime};]. A relação entre as coordenadas [;(x,y);] e [;(x^{\prime},y^{\prime});] é dada pela proposição seguinte:

Proposição 1: Se os eixos coordenados giram um ângulo [;\theta;] em torno de sua origem e as coordenadas de um ponto qualque [;P;] antes e depois da rotação são [;(x,y);] e [;(x^{\prime},y^{\prime});], respectivamente, então as equações de transformação do sistema original ao novo sistema são dadas por:

[;\begin{cases}x = x^{\prime}\cos \theta - y^{\prime}\sin \theta\\y = x^{\prime}\sin \theta + y^{\prime}\cos \theta\\\end{cases} \qquad (1);]

Demonstração: Da figura acima, [;OR = x;], [;OT = x^{\prime};], [;PR = y;] e [;PT = y^{\prime};]. Assim,

[;x = OR = OQ - RQ = x^{\prime}\cos \theta - y^{\prime}\sin \theta;]
e
[;y = PR = RS + SP = QT + SP = x^{\prime}\sin \theta + y^{\prime}\cos \theta;]

Observação 1: As expressões dadas em [;(1);] recebem o nome de equações de rotação de eixos. Também podemos escrever a relação entre as coordenadas e [;(x,y);] e [;(x^{\prime},y^{\prime});] através de um produto de matrizes, isto é,

[;\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta\\\sin \theta & \cos \theta\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\\end{bmatrix};]

Isto nos dá indícios que podemos também tratar deste assuntos usando as técnicas da Álgebra Linear, envolvendo conceitos de autovalores e autovetores. Mas isto será apresentado futuramente.

Por outro lado, a equação geral do segundo grau nas variáveis [;x\;] e [;y;] é dada por

[;Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \qquad (2);]

sendo [;A \neq 0;] ou [;B \neq 0;] ou [;C \neq 0;]. Com essa condição, garantimos que o grau da equação é realmente igual a [;2;].

Esta expressão pode representar uma parábola, uma elipse, uma hipérbole, um par de retas, um ponto ou não representar curva alguma, por exemplo, [;x^2 + y^2 + 1 = 0;], pois o lado direito desta expressão é sempre maior que zero. Não trataremos destes casos canônicos, pois a maioria dos problemas práticos envolvem apenas as seções cônicas.

Através da translação de eixos, podemos eliminar os termos [;Dx;] e [;Ey;]
em [;(2);] para nos auxiliar na identificação da cônica que ela representa. O principal problema que enfrentamos é dado pelo termo "misto" [;Bxy;] em [;(2);] pois quando temos este termo presente, temos dificuldade de identificar a cônica.

Exemplo 1: Rotacione os eixos [;x\;] e [;y;] de [;45^{\circ};]e obtenha a nova equação para a expressão
[;x^2 + xy + y^2 = 1 \qquad (3);]

Resolução: Sendo [;\theta = 45^{\circ};], pela expressão [;(1);], temos:

[;\begin{cases}x = \cos 45^{\circ}x^{\prime} - \sin 45^{\circ} y^{\prime} = (x^{\prime} - y^{\prime})/\sqrt{2}\\y = sin 45^{\circ}x^{\prime} + \cos 45^{\circ}y^{\prime} = (x^{\prime} + y^{\prime})/\sqrt{2}\\\end{cases} \qquad \qquad (4);]

Substituindo [;(4);] em [;(3);], temos:

[;\frac{(x^{\prime} - y^{\prime})^2}{2} + \frac{(x^{\prime} - y^{\prime})}{\sqrt{2}}\cdot \frac{(x^{\prime} + y^{\prime})}{\sqrt{2}} + \frac{(x^{\prime} + y^{\prime})^2}{2} = 1 \qquad \Rightarrow \qquad;]

[;x^{\prime}^{2} - 2x^{\prime}y^{\prime} + y^{\prime}^{2} + x^{\prime}^{2} - y^{\prime}^{2} + x^{\prime}^{2} + 2y^{\prime}x^{\prime} + y^{\prime}^{2} = 2 \qquad \Rightarrow;]

[;3x^{\prime}^{2} + y^{\prime}^{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^{\prime}^{2}}{2/3} + \frac{y^{\prime}^{2}}{1} = 1 \qquad (5);]

de modo que a equação [;(5);] representa uma elipse.

Voltando a expressão [;(2);], aplicaremos uma rotação de eixos de um ângulo [;\theta;] não especificado e em seguida, iremos impor a condição sobre este ângulo de modo que o termo misto [;x^{\prime} y^{\prime};] fique ausente, ou seja:

[;A(x^{\prime}\cos \theta - y^{\prime}\sin \theta)^2 + C(x^{\prime}\sin \theta + y^{\prime}\cos \theta)^2 +;]

[;+ B(x^{\prime}\cos \theta - y^{\prime}\sin \theta)(x^{\prime}\cos \theta + y^{\prime}\sin \theta) +;]

[;+D(x^{\prime}\cos \theta - y^{\prime}\sin \theta) + E(x^{\prime}\sin \theta + y^{\prime}\cos \theta) + F = 0;]

Desenvolvendo os termos desta expressão, para que o termo misto fique ausente, devemos impor a condição

[;2C\sin \theta \cos \theta - 2A\sin \theta \cos \theta + B\cos^2 \theta - B\sin^2 \theta = 0 \quad \Rightarrow;]

[;B\cos(2\theta) = (A - C)\sin(2\theta) \quad \Rightarrow;]

[;\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C};]
para [;A \neq C;]. No caso em que [;A = C;], temos

[;B\cos(2\theta) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\theta = 90^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \theta = 45^{\circ};]

Exemplo 2: Ache o ângulo [;\theta;] o qual devem ser rotacionados os eixos [;x\;] e [;y;] e em seguida e aplique na equação

[;5x^2 + 6\sqrt{3}xy - y^2 = 4;]

Resolução: Sendo [;A = 5;], [;B = 6\sqrt{3};] e [;C = -1;], então

[;\tan (2\theta) = \frac{B}{A - C} = \frac{6\sqrt{3}}{5 - (-1)} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad 2\theta = 60^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \theta = 30^{\circ};]
Assim,

[;x = \cos 30^{\circ}x^{\prime} - \sin 30^{\circ}y^{\prime} = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{\prime} - \frac{1}{2}y^{\prime};]
e
[;y = \sin 30^{\circ}x^{\prime} + \cos 30^{\circ}y^{\prime} = \frac{1}{2}x^{\prime} + \frac{\sqrt{3}}{2}y^{\prime};]

Substituindo estas expressões na equação dada, temos:

[;5\biggl(\frac{\sqrt{3}}{2}x^{\prime} - \frac{1}{2}y^{\prime}\biggr)^2 + 6\sqrt{3}\biggl(\frac{\sqrt{3}}{2}x^{\prime} - \frac{1}{2}y^{\prime}\biggr)\biggl(\frac{1}{2}x^{\prime} + \frac{\sqrt{3}}{2}y^{\prime}\biggr) - ;][;\biggl(\frac{1}{2}x^{\prime} + \frac{\sqrt{3}}{2}y^{\prime}\biggr)^2 = 4 \quad \Rightarrow;]

[;5(3x^{\prime}^2 - 2\sqrt{3}x^{\prime}y^{\prime} + y^{\prime}^2) + 6\sqrt{3}(\sqrt{3}x^{\prime}^{2} + 2x^{\prime}y^{\prime} - \sqrt{3}y^{\prime}^2) -;]

[;x^{\prime}^2 - 2\sqrt{3}x^{\prime}^2y^{\prime}^2 - 3y^{\prime}^2 = 16 \quad \Rightarrow;]

[;15x^{\prime}^{2} + 5y^{\prime}^{2} + 18x^{\prime}^{2} - 18y^{\prime}^{2} - x^{\prime}^{2} - 3y^{\prime}^{2} = 16 \quad \Rightarrow;]

[;32x^{\prime}^{2} - 16y^{\prime}^{2} = 16 \quad \Rightarrow \quad 2x^{\prime}^{2} - y^{\prime}^{2} = 1;]

o qual representa uma hipérbole centrada na origem de eixo real sobre o eixo [;x\;].

Na maioria dos casos, a rotação de eixos não é suficiente para exprimir a equação dada na forma reduzida, sendo necessário também aplicar a translação de eixos.

Exemplo 3: Aplique rotação e translação de eixos para reduzir e identificar a equação do segundo grau abaixo:

[;x^2 - 2xy + y^2 - \sqrt{2}x = 0;]

Resolução: Sendo [;A = C =1;] então [;\theta = 45^{\circ};] de modo que

[;\begin{cases}x = \cos 45^{\circ}x^{\prime} - \sin 45^{\circ} y^{\prime} = (x^{\prime} - y^{\prime})/\sqrt{2}\\y = sin 45^{\circ}x^{\prime} + \cos 45^{\circ}y^{\prime} = (x^{\prime} + y^{\prime})/\sqrt{2}\\\end{cases};]

Note que
[;x - y = -\sqrt{2}y^{\prime} \quad (6);]

Podemos reescrever a equação dada na forma

[;(x - y)^2 -\sqrt{2}x = 0 \qquad (7);]

Substituindo [;(6);] em [;(7);], temos

[;(\sqrt{2}y^{\prime})^2 -\sqrt{2}(x^{\prime} - y^{\prime})/\sqrt{2} = 0 \quad \Rightarrow;] [;2y^{\prime}^{2} - x^{\prime} - y^{\prime} = 0 \quad \Rightarrow;]

[;y^{\prime}^{2} - \frac{2}{4}y^{\prime} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2}x^{\prime} + \frac{1}{16} \quad \Rightarrow;]

[;\biggl(y^{\prime} - \frac{1}{4}\biggr)^2 = \frac{1}{2}\biggl(x^{\prime} + \frac{1}{8}\biggr);]

Em seguida, fazemos uma translação de eixos, fazendo

[;\begin{cases}x^{\prime \prime} = x^{\prime} + 1/8\\y^{\prime \prime} = y^{\prime} - 1/4\\\end{cases};]
para obter
[;x^{\prime \prime} = 2y^{\prime \prime}^{2};]

de modo que a equação dada representa uma parábola.

Gostará de ler também:
- A Translação de Eixos;
- Alguns Fatos Sobre a Elipse;
- Alguns Fatos Sobre a Hipérbole;
- A Parábola e as Funções Quadráticas.

9 comentários:

  1. Este assunto é muito interessante, tanto que eu estava preparando uma matéria sobre mas ainda estou estudando os desenhos geométricos. Excelente postagem!!

    ResponderExcluir
  2. A rotação de eixos nos permite "enxergar" com facilidade as seções cônicas. Ficarei aguardando o seu post sobre este assunto. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

    ResponderExcluir
  3. Muito bom, eu tinha aprendido a rotacionar mas não sabia o porquê de ter que rotacionar. Espero entender também Autovalores e Autovetores e quem sabe Tensores rsrsrs :) Obrigado professor!!

    ResponderExcluir
  4. Futuramente, apresentarei este tema através de autovalores e autovetores. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

    ResponderExcluir
  5. Conhece algum artigo sobre esse tema? ou então onde eu podeira achar algum?

    ResponderExcluir
  6. Olá Layza, este assunto é muito elementar para escrever assunto sobre ele. Mas recomendo que veja livros de Geometria Analítica antigos tal como o livro da Coleção Schaum. Para ver esse assunto usando Álgebra Linear, veja o livro do Boldrini. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

    ResponderExcluir
  7. parabéns pelo blog professor. muito bem organizado e didático! gostei muito desse post, estava com dificuldade para entender a rotação, agora ficou bem mais fácil.à partir de agora virei sempre no blog para sanar minhas dúvidas. Muito obrigado!!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Procurei escrever este post da melhor forma possível, pois é um assunto muito pouco tratado pelos professores. Obrigado pelos elogios e volte sempre!

      Excluir
  8. Olá professor.

    É um ótimo post, eu reparei que ás vezes temos que rotacionar e depois transladar a cônica para indetificar-lá e outras vezes transladar para depois rotacionar, vc sabe alguma dica para saber qual é o processo adequado para cada caso?

    abraços :D

    ResponderExcluir