FATOS MATEMÁTICOS: Tópicos Sobre as Funções Hiperbólicas (Parte 3)

quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012

Tópicos Sobre as Funções Hiperbólicas (Parte 3)

Vejamos neste post algumas equações envolvendo as funções da trigonometria hiperbólica. Sendo $[;\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1;]$ e que $[;\sec^2x - \tan^2 x = 1;]$ , para facilitar a resolução de alguns problemas envolvendo as funções hiperbólicas, iremos fazer as seguintes correspondências:

$[;\cosh x \leftrightarrow \sec x;]$ e $[;\sinh x \leftrightarrow \tan x;]$

Deste modo, $[;\tanh x \leftrightarrow \sin x;]$ , pois

$[;\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} \leftrightarrow \frac{\tan x}{\sec x} = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x = \sin x;]$

Sendo $[;sech x = 1/\cosh x;]$ , então $[;sech x \leftrightarrow \cos x;]$ e de modo análogo, $[;csch x \leftrightarrow \cot x;]$ e $[;coth x \leftrightarrow \csc x;]$ . Sendo $[;\cos^2 x + \sin^2 x = 1;]$ , usando as relações anteriores, a identidade continua válida, isto é, $[;sech^2 x + \tanh^2 x = 1;]$ .

Estas relações são úteis na resolução de algumas equações e também no cálculo de integrais quando é necessário o uso da técnica de substituições trigonométricas. Essas equivalências estão representadas na figura acima.

Exemplo 1: Determine $[;x\;]$ sabendo que $[;\sinh x = 3/4;]$ .

Resolução: Como $[;\sinh x;]$ relaciona-se com a função $[;\sin x;]$ , construímos um triângulo retângulo de catetos $[;3;]$ e $[;4;]$ , conforme a figura abaixo.

Para achar $[;x\;]$ , encontramos primeiro $[;\cosh x;]$ , que pelo diagrama acima relaciona-se com a $[;\sec x;]$ . Do triângulo retângulo, $[;\sec x = 5/4;]$ . Assim, $[;\cosh x = 5/4;]$ , donde segue que

$[;e^x = \cosh x + \sinh x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = 2 \qquad \Rightarrow \qquad x = \ln 2;]$

Observação 1: Outro modo de resolver a equação $[;\sinh x = 3/4;]$ é usar a definição da função seno hiperbólico e resolver uma equação quadrática na variável $[;e^x;]$ .

Exemplo 2: Determine $[;x\;]$ sabendo que $[;\cosh x = 13/5;]$ .

Resolução: Do diagrama acima, $[;\sec x = 13/5;]$ . Construímos um triângulo retângulo de hipotenusa $[;13;]$ e catetos $[;5;]$ e $[;12 = \sqrt{13^2 - 5^2};]$ , conforme a figura abaixo.

Para achar $[;x\;]$ , determinamos inicialmente $[;\sinh x;]$ . Assim, analogamente ao exemplo anterior, $[;\sinh x = \tan x = 12/5;]$ . Logo,

$[;e^x = \cosh x + \sinh x = \frac{13}{5} + \frac{12}{5} = 5 \qquad \Rightarrow \qquad x = \ln 5;]$

Exemplo 3: Resolva a equação $[;2\cosh(2x) + 10\sinh(2x) = 5;]$ .

Resolução: Sendo

$[;\cosh(2x) = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \qquad \text{e} \qquad \sinh(2x) = \frac{e^{2x}- e^{-2x}}{2};]$

então

$[;e^{2x} + e^{-2x} + 5e^{2x} - 5e^{-2x} = 5 \quad \Rightarrow \quad 6e^{2x} - 5 - 4e^{-2x} = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;6e^{4x} - 5e^{2x} - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 6u^2 - 5u - 4 = 0;]$

onde $[;u = e^{2x};]$ . Aplicando a fórmula de Bháskara, segue que $[;u_1 = 4/3;]$ e $[;u_2 = -1/2;]$ . Pela definição de $[;u;]$ , a segunda solução $[;u_2;]$ deve ser desprezada. Assim,

$[;e^{2x} = u_1 \quad \Rightarrow \quad e^{2x} = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad 2x = \ln \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad x =\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3};]$

Exercícios Propostos:

1) Calcule $[;x\;]$ sabendo que:
a) $[;\tanh x = \sqrt{3}/2;]$ ;
b) $[;sech x = 3/5;]$ .

2) Sendo $[;\sinh x = 5/12;]$ , determine:
a) $[;\cosh x;]$ ;
b) $[;\tanh x;]$ ;
c) $[;sech x;]$ ;
d) $[;coth x;]$ ;
e) $[;csch x;]$ .

3) Resolva as equações abaixo, apresentando a resposta em termo de logaritmos naturais.
a) $[;4\cosh x + \sinh x = 4;]$ ;
b) $[;3\sinh x - \cosh x = 1;]$ ;
c) $[;4\tanh x = 1 + sech x;]$ .