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sábado, 3 de março de 2012

A Área Lateral do Cone e do Tronco de Cone

Sabemos que a área de um círculo de raio [;r;] é [;S_c = \pi r^2;]. Para ver uma demonstração através do limite trigonométrico fundamental (click aqui). Sendo o perímetro do círculo igual a [;P = 2\pi r;], segue que

[;S_c = \pi r^2 = \frac{1}{2}(2\pi r)\cdot r = \frac{1}{2}P\cdot r;]

ou seja, a área de um círculo é igual a área de triângulo cuja base é o seu perímetro e cuja altura é o seu raio. O mesmo é válido para um setor circular de ângulo central [;\theta;] e raio [;r;].
De fato,
[;\pi r^2 \ - \ 2\pi \ rad;]

[;S \ - \ \theta \ rad;]

de modo que
[;2\pi S = \pi r^2\theta \quad \Rightarrow \quad S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}(r\theta)\cdot r = \frac{1}{2}l\cdot r \qquad (1);]

Com essas ideias em mente, iremos calcular a área lateral do cone circular reto e do tronco de cone circular reto. Para isso, considere o cone de raio [;r;], altura [;h;] e geratriz [;g;], conforme a figura acima.

A figura à direita é a sua planificação, donde podemos concluir que sua área lateral é

[;S_l = \frac{2\pi r\cdot g}{2} = \pi r g \qquad (2);]

Observação 1: Sendo [;2\pi r = g\alpha;], então

[;S = \frac{g\alpha \cdot g}{2} = \frac{1}{2}\alpha g^2;]

sendo [;\alpha;] medido em radiano.

Observação 2: A área lateral de um cilindro circular reto de raio [;r;] e altura [;h;] é [;2\pi rh;]. Como [;S = 2\pi\cdot (r/2)g;], podemos dizer que a área lateral do cone é igual a área lateral de um cilindro com raio da base igual a metade do raio da base do cone e cuja altura é igual a geratriz.

Chamaremos [;r/2;] de raio médio. Com esta nomenclatura, será que a área lateral do tronco de cone circular reto é igual a área de um cilindro de altura igual a geratriz do tronco e raio igual ao raio médio das bases? Isso é verdadeiro e será demonstrado na proposição seguinte.

Proposição 1: Considere o tronco de cone circular reto de raio da base menor igual a [;r;], raio da base maior [;R;] e geratriz igual [;g;]. Então sua área lateral é

[;S_{ltc} = \frac{2\pi(R + r)g}{2};]

Demonstração: Sejam [;g_1;] e [;g_2;] as geratrizes dos cones no tronco de cone conforme a figura acima. Note que [;g = g_2 - g_1;] e sendo [;\triangle ABC \sim \triangle ADE;], temos
[;\frac{g_2}{g_1} = \frac{R}{r} \quad \Rightarrow \quad \frac{g_2}{g_1} - 1 = \frac{R}{r} - 1 \quad \Rightarrow;]
[;\frac{g_2 - g_1}{g_1} = \frac{R - r}{r} \quad \Rightarrow \quad \frac{g}{g_1} = \frac{R - r}{r};]

Por outro lado, a área lateral do tronco de cone é

[;S_{TC} = \pi Rg_2 - \pi rg_1 = \pi R\cdot \frac{Rg_1}{r} - \frac{\pi r^2 g_1}{r} = \frac{\pi g_1}{r}(R^2 - r^2);]
[;=\frac{\pi g}{R - r}(R - r)(R + r) = \frac{2\pi (R + r)}{2}\cdot g;]

ou seja, a área lateral de um tronco de cone circular reto é igual a área lateral de um cilindro de raio igual ao raio médio das bases e altura igual a geratriz [;g;].

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Postado por Prof. Paulo Sérgio às 3.3.12
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4 comentários:

  1. Excelente Paulo. Na internet esta é a única referência decente sobre a área lateral do tronco de cone. Muito bom. Obrigado pela citação dos links.

    Um abraço e ótimo domingo!

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  2. Este assunto que também acho interessante realmente é muito pouco citado na internet. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Só precisa de uma formatação melhor, mas obrigado, era justamente o que eu precisava para terminar meu trabalho.

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  4. Que bom que gostou do post e que ele foi útil em seu trabalho. Se possível cite o blog em suas fontes de pesquisas.

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