Como de costume, o blog Fatos Matemáticos comemora o dia internacional do 
Comemoraremos o dia do ![[;\pi;]](http://thewe.net/tex/%5Cpi "\pi")
, apresentando o modo como Wallis deduziu que
![[;\bigl(\frac{1}{2}\bigr)! = \sqrt{\pi} \qquad (1);]](http://thewe.net/tex/%5Cbigl%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbigr%29%21%20=%20%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%5Cqquad%20%281%29 "\bigl(\frac{1}{2}\bigr)! = \sqrt{\pi} \qquad (1)")
Wallis iniciou sua prova com a integral
![[;\int_{0}^{1}\sqrt{x - x^2}dx = \int_{0}^{1}(x - x^2)^{1/2}dx;]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Csqrt%7Bx%20-%20x%5E2%7Ddx%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%28x%20-%20x%5E2%29%5E%7B1/2%7Ddx "\int_{0}^{1}\sqrt{x - x^2}dx = \int_{0}^{1}(x - x^2)^{1/2}dx")
Ele não sabia como calcular esta integral devido ao expoente ![[;1/2;]](http://thewe.net/tex/1/2 "1/2")
. Wallis sabia que essa integral representa a área sob o semicírculo ![[;y = \sqrt{x - x^2};]](http://thewe.net/tex/y%20=%20%5Csqrt%7Bx%20-%20x%5E2%7D "y = \sqrt{x - x^2}")
e que essa área portanto é ![[;\pi/8;]](http://thewe.net/tex/%5Cpi/8 "\pi/8")
. Mas como se pode chegar a essa resposta por cálculo direto da integral por métodos infinitesimais?
A resposta encontrada por Wallis foi usar um processo de interpolação criticado por Pierre de Fermat pela falta de rigor. Ele substituiu o expoente na expressão acima por ![[;n;]](http://thewe.net/tex/n "n")
, isto é,
![[;\int_{0}^{1}(x - x^2)^ndx;]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%28x%20-%20x%5E2%29%5Endx "\int_{0}^{1}(x - x^2)^ndx")
Em seguida, ele calculou esta integral através da técnica de Cavalieri para vários valores inteiros positivos de. Vejamos alguns casos:
Para![[;n = 1;]](http://thewe.net/tex/n%20=%201 "n = 1")
,
![[;\int_{0}^{1}(x - x^2)dx = \biggl[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\biggr]_{0}^{1};]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%28x%20-%20x%5E2%29dx%20=%20%5Cbiggl%5B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%5Cbiggr%5D_%7B0%7D%5E%7B1%7D "\int_{0}^{1}(x - x^2)dx = \biggl[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\biggr]_{0}^{1}")
![[;= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = \frac{(1!)^2}{(2\cdot 1 + 1)!};]](http://thewe.net/tex/=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20=%20%5Cfrac%7B%281%21%29%5E2%7D%7B%282%5Ccdot%201%20+%201%29%21%7D "= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = \frac{(1!)^2}{(2\cdot 1 + 1)!}")
Para![[;n = 2;]](http://thewe.net/tex/n%20=%202 "n = 2")
,
![[;\int_{0}^{1}(x - x^2)^2dx = \biggl[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5}\biggr]_{0}^{1};]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%28x%20-%20x%5E2%29%5E2dx%20=%20%5Cbiggl%5B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%20-%20%5Cfrac%7Bx%5E4%7D%7B2%7D%20+%20%5Cfrac%7Bx%5E5%7D%7B5%7D%5Cbiggr%5D_%7B0%7D%5E%7B1%7D "\int_{0}^{1}(x - x^2)^2dx = \biggl[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5}\biggr]_{0}^{1}")
![[;= \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{30} = \frac{(2!)^2}{(2\cdot 2 + 1)!};]](http://thewe.net/tex/=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B30%7D%20=%20%5Cfrac%7B%282%21%29%5E2%7D%7B%282%5Ccdot%202%20+%201%29%21%7D "= \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{30} = \frac{(2!)^2}{(2\cdot 2 + 1)!}")
Assim, Wallis por indução incompleta chegou a conclusão que
![[;\int_{0}^{1}(x - x^2)^ndx = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!};]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%28x%20-%20x%5E2%29%5Endx%20=%20%5Cfrac%7B%28n%21%29%5E2%7D%7B%282n+1%29%21%7D "\int_{0}^{1}(x - x^2)^ndx = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}")
Assumindo que a fórmula vale também para valores fracionários de, ele obteve
![[;\int_{0}^{1}\sqrt{x - x^2}dx = \frac{(1/2)!}{2!};]](http://thewe.net/tex/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Csqrt%7Bx%20-%20x%5E2%7Ddx%20=%20%5Cfrac%7B%281/2%29%21%7D%7B2%21%7D "\int_{0}^{1}\sqrt{x - x^2}dx = \frac{(1/2)!}{2!}")
portanto,
![[;\frac{\pi}{8} = \frac{[(1/2)!]^2}{2!} \quad \Rightarrow \quad (1/2)! = \frac{\sqrt{\pi}}{2};]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B8%7D%20=%20%5Cfrac%7B%5B%281/2%29%21%5D%5E2%7D%7B2%21%7D%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20%281/2%29%21%20=%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D "\frac{\pi}{8} = \frac{[(1/2)!]^2}{2!} \quad \Rightarrow \quad (1/2)! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}")
Gostará de ler também:
- O Número Pi e a Função Arcotangente;antecipando em quase ![[;100;]](http://thewe.net/tex/100 "100")
anos o trabalho de Leonhard Euler sobre a função gama.
Wallis iniciou sua prova com a integral
Ele não sabia como calcular esta integral devido ao expoente A resposta encontrada por Wallis foi usar um processo de interpolação criticado por Pierre de Fermat pela falta de rigor. Ele substituiu o expoente
Em seguida, ele calculou esta integral através da técnica de Cavalieri para vários valores inteiros positivos de
Para
Para
Assim, Wallis por indução incompleta chegou a conclusão que
Assumindo que a fórmula vale também para valores fracionários de
portanto,
Gostará de ler também:
- Dia do Pi e a Soma dos Inversos dos Inteiros Positivos ao Quadrado;
- 10 Fatos Relacionados com o Número Pi;
- Viagem ao Interior do Pi;
- Provas sem Palavras (Parte 21);
- Provas sem Palavras (Parte 22);
- O Produto Infinito de Wallis.
Quando li "Wallis", achei que seria sobre o produto infinito que gera [;\pi /2;]. Que método engenhoso! Como disse Einstein: "às vezes a imaginação é mais importante que o conhecimento". Talvez este seja o diferencial de grandes matemáticos.
ResponderExcluirAbraços.
Wallis foi um grande algebrista cujas interpolações inspiraram Newton, a respeito de seu binômio. Para alguém criticar Wallis só mesmo alguém do quilate de Fermat. [;(1/2)!=\sqrt{\pi}/2;] é um estético resultado que já tinha visto, mas não sua demonstração. Aqui pude vê-la de uma maneira simples e organizada que até o meu filho Isaac de [;3;] anos compreenderia. Brincadeiras à parte, FATOS MATEMÁTICOS está de parabéns por esta bela página virtual.( Eu exclui o comentário anterior pq tinha um erro de digitação na fórmula)
ResponderExcluirOi Professor! Não conhecia essa mágica. Muito engenhosa, e pela exposição ficou fácil, basta por o ovo em pé quebrando a casca(ou quebrando as normas). abçs.
ResponderExcluirRealmente, o empirismo de Wallis juntamente com sua ousadia, lhe rendeu algumas descobertas. Obrigado Kleber, Aloisio e Tavano pelos comentários enriquecedores.
ResponderExcluirOlá Paulo Sérgio, li seu trabalho e achei-o muito interessante, principalmente pela clarea e apresentação. Acho que em vez de quarta, quinta e sexta casa decimal, deveria ser: terceira, quanrta e quinta casas decimais.
ResponderExcluirSebá