Equações Diferencias Ordinárias de Segunda Ordem (Parte 2)

Na primeira parte desta série, apresentamos as propriedades gerais das equações diferenciais ordinárias lineares, destancando as equações de segunda ordem.

Neste post, veremos três casos que surgem quando o operador diferencial é um um operador de coeficientes constantes, isto é,

Neste caso, a equação homogênea correspondente é dada por:

e para resolvê-la fazemos , sendo um parâmetro a ser determinado. Substituindo em , obtemos:

A expressão é chamada de equação característica e sendo uma equação quadrática, temos três casos para serem analisados:

Caso 1:

Neste caso, temos dois valores distintos de dados por:

e a solução geral é dada por .

Exemplo 1: Resolva a equação diferencial:

sendo .

Resolução: A equação característica é

Logo, a solução geral é .

Exemplo 2: Resolva o problema de valor inicial abaixo:

sendo .

Resolução: A equação característica desta equação diferencial é . Por soma e produto é fácil ver que e , de modo que a solução geral é

Para achar as constantes e usamos as condições iniciais dadas:

Da primeira equação, . Substituindo na segunda equação, temos:

de modo que . Logo,

.

é a solução do PVI dado.

Caso 2:

Neste caso, a equação característica, apresenta duas soluções iguais dadas por

de modo que

é a única solução. Mas, o conjunto das soluções das equações diferenciais ordinárias de ordem , admitem soluções linearemente independentes. Para obter uma segunda solução LI usaremos um método desenvolvido pelo matemático francês Joseph L. Lagrange, chamado de variação dos parâmetros.

Para isso, substituímos em a constante pela função para obter

O objetivo é determinar de modo que e sejam soluções LI. Note que

e

Substituindo , e na equação diferencial , temos:

pois neste caso, . Assim,

Tomando e , temos , que substituído em resulta

Logo, a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem é dada por

É interessante observar que substituindo dado em na expressão , encontramos diretamente a solução geral, de modo que o método da variação dos parâmetros nos fornece mais do que pedimos.

Exemplo 3: Resolva a equação diferencial .

Resolução: A equação característica é

de modo que é a única raiz real. Portanto, a solução geral é dada por:

Caso 3:

Neste caso, as raízes da equação característica são complexas e são dadas por

onde e . Assim, a solução geral é dada por

Pela identidade de Euler, temos:

de modo que

Exemplo 3: Ache a solução geral da equação diferencial , sendo .

Resolução: A equação característica é cujo discriminante é dado por

As raízes são dadas por

de modo que e . Logo, a solução geral é

Exemplo 4: Resolva o problema de valor inicial abaixo, sendo .

Resolução: A equação característica é e suas raízes são de modo que e . Logo, a solução geral é

Sendo , segue que . Assim,

Logo, a solução do PVI é .

Gostará de ler também:
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