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Equações Diferencias Ordinárias de Segunda Ordem (Parte 2)

Na primeira parte desta série, apresentamos as propriedades gerais das equações diferenciais ordinárias lineares, destancando as equações de segunda ordem.

Neste post, veremos três casos que surgem quando o operador diferencial [;L;] é um um operador de coeficientes constantes, isto é,

[;Lu = au^{\prime \prime} + bu^{\prime} + cu;]

Neste caso, a equação homogênea correspondente é dada por:

[;au^{\prime \prime} + bu^{\prime} + cu = 0 \qquad (1);]

e para resolvê-la fazemos [;u(x) = e^{\lambda x};] , sendo [;\lambda;] um parâmetro a ser determinado. Substituindo [;u(x);] em [;(1);], obtemos:

[;(a\lambda^2 + b\lambda + c)e^{\lambda x} = 0 \quad \Rightarrow \quad a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \quad (2);]

A expressão [;(2);] é chamada de equação característica e sendo uma equação quadrática, temos três casos para serem analisados:

Caso 1: [;\Delta = b^2 - 4ac \succ 0;]

Neste caso, temos dois valores distintos de [;\lambda;] dados por:

[;\lambda_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{e} \quad \lambda_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a};]

e a solução geral é dada por [;u(x) = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x};].

Exemplo 1: Resolva a equação diferencial:

[;y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} - 12y = 0;]
sendo [;y = y(x);].

Resolução:
A equação característica é

[;\lambda^2 - 4\lambda - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 16 \quad \Rightarrow;]

[;(\lambda - 2)^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2 \pm \sqrt{16} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = -2 \quad \text{e} \quad \lambda_2 = 6;]

Logo, a solução geral é [;y(x) = C_1e^{-2x} + C_2e^{6x};].

Exemplo 2: Resolva o problema de valor inicial abaixo:

[;\begin{cases}u^{\prime \prime} + 3u^{\prime} + 2u = 0\\u(0) = 1, \qquad u^{\prime}(0) = 0\\\end{cases};]
sendo [;u = u(x);].

Resolução: A equação característica desta equação diferencial é [;\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0;]. Por soma e produto é fácil ver que [;\lambda_1 = -2;] e [;\lambda_2 = -1;], de modo que a solução geral é

[;u(x) = C_1e^{-2x} + C_2e^{-x};]

Para achar as constantes [;C_1;] e [;C_2;] usamos as condições iniciais dadas:

[;\begin{cases}1 = u(0) = C_1 + C_2\\ 0 = u^{\prime}(0) = -2C_1e^{-2\cdot 0} - C_2e^{-0} = -2C_1 - C_2\\\end{cases};]

Da primeira equação, [;C_2 = 1 - C_1;]. Substituindo na segunda equação, temos:

[;-2C_1 - (1 - C_1) = 0 \quad \Rightarrow \quad C_1 = -1;]

de modo que [;C_2 = 2;]. Logo,
[;u(x) = -e^{-2x} + 2e^{-x};].

é a solução do PVI dado.

Caso 2: [;\Delta = b^2 - 4ac = 0;]

Neste caso, a equação característica, apresenta duas soluções iguais dadas por

[;\lambda_1 = \lambda_2 = -\frac{b}{2a};]

de modo que
[;u_1(x) = Ce^{-bx/2a} \qquad (1);]

é a única solução. Mas, o conjunto das soluções das equações diferenciais ordinárias de ordem [;n;], admitem [;n;] soluções linearemente independentes. Para obter uma segunda solução LI usaremos um método desenvolvido pelo matemático francês Joseph L. Lagrange, chamado de variação dos parâmetros.

Para isso, substituímos em [;(1);] a constante [;C;] pela função [;C(x);] para obter

[;u_2(x) = C(x)u_1(x) = C(x)e^{-bx/2a} \qquad (2);]

O objetivo é determinar [;C(x);] de modo que [;u_1(x);] e [;u_2(x);] sejam soluções LI. Note que

[;u_2^{\prime}(x) = C^{\prime}(x)e^{-bx/2a} - \frac{C(x)b}{2a}e^{-bx/2a} \qquad (3);]
e

[;u_2^{\prime \prime}(x) = C^{\prime \prime}(x)e^{-bx/2a} - \frac{b}{a}C^{\prime}(x)e^{-bx/2a} + \frac{b^2}{4a^2}C(x)e^{-bx/2a} \qquad (4);]

Substituindo [;(2);], [;(3);] e [;(4);] na equação diferencial [;au^{\prime \prime} + bu^{\prime} + cu = 0;], temos:

[;aC^{\prime \prime}(x)e^{-bx/2a} - bC^{\prime}(x)e^{-bx/2a} + \frac{b^2}{4a}C(x)e^{-bx/2a} - \frac{b^2}{2a}e^{-bx/2a} +;]

[;+ bC^{\prime}(x)e^{-bx/2a} + cC(x)e^{-bx/2a} = 0 \quad \Rightarrow;]

[;aC^{\prime \prime}(x) - \frac{b^2}{4a}C(x) + cC(x) = 0 \quad \Rightarrow;]

[;4a^2C^{\prime \prime}(x) - (4ac - b^2)C(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad C^{\prime \prime}(x) = 0;]

pois neste caso, [;b^2 - 4ac = 0;]. Assim,

[;C(x) = k_1x + k_2 \qquad (5);]

Tomando [;k_1 = 1;] e [;k_2 = 0;], temos [;C(x) = x;], que substituído em [;(2);] resulta

[;u_2(x) = xe^{-bx/2a};]

Logo, a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem é dada por

[;u(x) = C_1u_1(x) + C_2u_2(x) = (C_1 + C_2x)e^{-bx/2a};]

É interessante observar que substituindo [;C(x);] dado em [;(5);] na expressão [;(2);], encontramos diretamente a solução geral, de modo que o método da variação dos parâmetros nos fornece mais do que pedimos.

Exemplo 3: Resolva a equação diferencial [;y^{\prime \prime} + 4y^{\prime} + 4y = 0;].

Resolução: A equação característica é

[;\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (\lambda + 2)^2 = 0;]

de modo que [;\lambda = -2;] é a única raiz real. Portanto, a solução geral é dada por:

[;y(x) = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x};]

Caso 3: [;\Delta = b^2 - 4ac \prec 0;]

Neste caso, as raízes da equação característica são complexas e são dadas por

[;\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{-\Delta}i}{2a} = -r \pm \omega i;]

onde [;r = -b/2a;] e [;\omega = \sqrt{-\Delta}/2a;]. Assim, a solução geral é dada por

[;u(x) = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} = C_1e^{(-r - \omega i)x} + C_2e^{(-r + \omega i)x};]

[;=e^{-rx}[C_1e^{-\omega i}x + C_2e^{\omega i}x];]

Pela identidade de Euler, temos:

[;e^{\theta i} = \cos \theta + i\sin \theta;]
de modo que

[;u(x) = e^{-rx}[C_1(\cos \omega x - \sin \omega x) + C_2(\cos \omega + \sin \omega)];]

[;=(C_1 + C_2)e^{-rx}\cos \omega x + (C_2 - C_1)e^{-rx}\sin \omega x;]

[; = K_1e^{-rx}\cos \omega x + K_2e^{-rx}\sin \omega x;]

Exemplo 3: Ache a solução geral da equação diferencial [;y^{\prime \prime} + 2y^{\prime} + 2y = 0;], sendo [;y = y(x);].

Resolução: A equação característica é [;\lambda^2 + 2\lambda + 2 = 0;] cujo discriminante é dado por

[;\Delta = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 2 = -4 \prec 0;]
As raízes são dadas por

[;\lambda_1 = \frac{-2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i;]

de modo que [;r = 1;] e [;\omega = 1;]. Logo, a solução geral é

[;y(x) = e^{-x}(C_1\cos x + C_2\sin x);]
Exemplo 4: Resolva o problema de valor inicial abaixo, sendo [;u = u(t);].

[;\begin{cases}u^{\prime \prime} + 4u = 0\\u(0) = 2 \quad u^{\prime}(0) = 0\\\end{cases};]

Resolução: A equação característica é [;\lambda^2 + 4 = 0;] e suas raízes são [;\lambda = \pm 2i;] de modo que [;r = 0;] e [;\omega = 2;]. Logo, a solução geral é

[;u(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t);]

Sendo [;u(0) = 2;], segue que [;C_1 = 2;]. Assim,

[;u(t) = 2\cos(2t) + C_2\sin(2t) \quad \Rightarrow \quad u^{\prime}(t) = -4\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) \quad \Rightarrow;]

[;0 = u^{\prime}(0) = 2C_2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0;]

Logo, a solução do PVI é [;u(t) = 2\cos(2t);].

Gostará de ler também:
- Equações Diferenciais de Segunda Ordem (Parte 1);
- Equações Diferenciais Redutíveis às Equações Separáveis;
- O Método da Chave Invertida Para Achar a Solução Particular de Algumas EDO's;
- Dependência e Independência Linear;
- Movimento Harmônico Simples;

3 comentários:

  1. Valeu professor,
    parabéns pelo post!
    Na faculdade estou utilizando essas ferramentas. Agora apareceu também uma tal função de Green e função delta de Dirac que estou tentando entender até agora. Quem sabe um dia hehehe.

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  2. Escrevi sobre a função delta de Dirac. Saiba mais neste link

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/02/funcao-delta-de-dirac.html

    Futuramente, escrevo sobre as funções de Green. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Vlw Professor! vou ler a função delta.Aguardarei algo sobre as funções de Green e quem sabe harmônicos esféricos.

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