FATOS MATEMÁTICOS: Equações Trigonométricas Elementares

domingo, 18 de março de 2012

Equações Trigonométricas Elementares

Em alguns problemas matemáticos elementares surgem equações envolvendo o seno ou o cosseno de um ângulo desconhecido. Para alguns casos, estas equações são equivalentes as equações algébricas de grau maior que $[;2;]$ , podemos por exemplo citar o problema da passagem do guarda-roupa. Nestes casos, o uso de um método numérico se faz necessário.

Neste post, trataremos das equações trigonométricas redutíveis a um dos $[;3;]$ tipos abaixo:

$[;I) \quad A\cos(ax) + B\sin(ax) + C = 0;]$
$[;II) \quad A\sin^2x + B\sin x + C = 0;]$
$[;III) \quad A\cos^2 x + B\cos x + C = 0;]$

Caso I) $[; \quad A\cos(ax) + B\sin(ax) + C = 0;]$

Para resolver este tipo de equação, inicialmente observamos que se $[;A = 0;]$ ou $[;B = 0;]$ , obtemos:

$[;B\sin(ax) + C = 0 \quad \text{ou} \quad A\cos(ax) + C = 0;]$

que são facilmente resolvidas e serão detalhadas nos exemplos abaixo. Suponhamos que $[;A \neq 0;]$ e $[;B \neq 0;]$ . Sejam $[;p;]$ e $[;\delta;]$ tais que

$[;\begin{cases}A = p\cos \delta\\B = p\sin \delta\\\end{cases} \qquad (1);]$

Note que

$[;A^2 + B^2 = p^2\cos^2\delta + p^2\sin^2 \delta = p^2(\cos^2\delta + \sin^2\delta) = p^2;]$

e que

$[;\tan \delta = \frac{\sin \delta}{\cos \delta} = \frac{p\sin \delta}{p\cos \delta} = \frac{B}{A};]$

Destas expressões, segue que

$[;\begin{cases}p = \sqrt{A^2 + B^2}\\\delta = \arctan^{-1}\frac{B}{A}\\\end{cases} \qquad (2);]$

Substituindo $[;(1);]$ na equação do tipo $[;I);]$ , obtemos:

$[;p\cos \delta \cos(ax) + p\sin \delta \sin(ax) + C = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;\cos(ax + \delta) = -\frac{C}{p} \qquad (3);]$

de modo que esta equação admitirá soluções se $[;|C/p| \leq 1;]$ .

Exemplo 1: Resolva as equações trigonométricas abaixo:
$[;a);]$ $[;2\cos x + 1 = 0;]$
$[;b);]$ $[;\sin^2 x = 1;]$
$[;c);]$ $[;3\cos(2x) + 4\sin(2x) = 5;]$
$[;d);]$ $[;2\cos^2(2x) - \frac{1}{2} = 0;]$

Resolução:

$[;a);]$ $[;2\cos x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad cos x = -\frac{1}{2};]$ .

Analisando o círculo trigonométrico na figura acima, temos

$[;\cos \theta_1 = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta_1 = \frac{\pi}{3};]$

de modo que

$[;x_1 = \pi - \theta_1 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z};]$

Sendo $[;\theta_2 = \theta_1 = \pi/3;]$ , a segunda solução é dada por

$[;x_2 = -\pi + \theta_2 + 2k\pi = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z};]$

Em geral, se $[;\cos x = \cos \alpha;]$ , segue que $[;x = \alpha + 2k\pi;]$ ou $[;x = -\alpha + 2k\pi;]$ .

$[;b);]$ $[;\sin^2 x = 1;]$

Neste caso, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados e analisar cada caso separadamente. Apresentaremos um modo alternativo usando a identidade

$[;\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2};]$

Assim,

$[;\frac{1 - \cos(2x)}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos(2x) = -1 \quad \Rightarrow \quad 2x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \Rightarrow;]$

$[;x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z};]$

As outras soluções da forma $[;x = -\frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z};]$ estão incluídas nas soluções anteriores.

$[;c);]$ $[;3\cos(2x) + 4\sin(2x) = 5;]$

Usando as expressões dadas em $[;(2);]$ , temos:

$[;\begin{cases}p = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\\\delta = \arctan \frac{4}{3}\\\end{cases};]$

Da expressão $[;(3);]$ , temos

$[;\cos(2x + \delta) = -\frac{(-5)}{5} = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x + \delta = 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\delta}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z};]$

$[;d);]$ $[;2\cos^2(2x) - \frac{1}{2} = 0;]$

Usando a identidade $[;2\cos^2(2x) = 1 + \cos(4x);]$ , temos:

$[;1 + \cos(4x) = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos(4x) = -\frac{1}{2};]$

Da letra a), vemos que

$[;\begin{cases}4x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\\\text{ou}\\4x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\\\end{cases};]$

Logo,

$[;x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \qquad k \in \mathbb{Z};]$

Caso II) $[; A\sin^2x + B\sin x + C = 0;]$

Neste caso, fazendo $[;t = \sin x;]$ , obtemos a equação quadrática $[;At^2 + Bt + C = 0;]$ o qual pode ser resolvida através da fórmula de Bháskara. É interessante observar que os valores de $[;t;]$ obtidos desta equação quadrática devem ter módulos menores ou iguais a $[;1;]$ para garantir a existência das soluções da equação trigonométrica dada. O caso III) é análogo e será tratado nos exemplos abaixo.

Exemplo 2: Resolva as equações trigonométricas abaixo.
$[;a);]$ $[;2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0;]$
$[;b);]$ $[;2\cos^2 x - 3\sin^2 x + \frac{1}{2} = 0;]$

Resolução:

$[;a);]$ $[;2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0;]$

Seja $[;t = \cos x;]$ . Assim, $[;2t^2 - 5t - 3 =0;]$ , cujo $[;\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 2\cdot (-3) = 49;]$ e $[;t = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4};]$ , de modo que $[;t_1 = -1/2;]$ e $[;t_2 = 3;]$ . A segunda solução deve ser desprezada por ser maior que $[;1;]$ . Voltando a variável $[;x\;]$ , temos

$[;\cos x = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\\ x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}\\\end{cases};]$

$[;b);]$ $[;2\cos^2 x - 3\sin^2 x + \frac{1}{2} = 0;]$

Podemos resolver esta equação usando a relação fundamental $[;\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1;]$ para obter uma equação quadrática e repetir os passos do exemplo anterior. Outro modo é usar novamente as identidades:

$[;\begin{cases}\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\\\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\\\end{cases};]$

ou seja,

$[;1 + \cos(2x) - \frac{3}{2}[1 - \cos(2x)] + \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \frac{5}{2}\cos(2x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos(2x) = 0;]$

de modo que

$[;2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \qquad k \in \mathbb{Z};]$

Exercícios Propostos:

1) Resolva as equações trigonométricas abaixo:
$[;a);]$ $[;4\sin x\cdot \cos x = \sqrt{3};]$
$[;b);]$ $[;\cos(2x) - \sin x = 0;]$
$[;c);]$ $[;\sin^2 x = 2\sin x - 1;]$

$[;2);]$ Ache os valores de $[;x \in [0,2\pi);]$ tais que:
$[;a);]$ $[;\sin x = \cos \frac{x}{2};]$
$[;b);]$ $[;\cos(\pi + x) = \sin(\pi - x);]$
$[;c);]$ $[;\tan^2 x - 1 = 0;]$

Gostará de ler também:
- A Lei dos Senos da Trigonometria Esférica;
- Nos Primórdios da Trigonometria (Parte 1);
- Nos Primórdios da Trigonometria (Parte 2);
- Problemas de Otimização Através da Trigonometria;
- O Teorema de Ptolomeu e as Fórmulas Trigonométricas;

5 comentários:

alexandre18 de março de 2012 15:36
Gostei muito da primeira
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Aloisio Teixeira18 de março de 2012 20:06
Oi, Paulo

Eu gosto muito de equações, principalmente as maneiras de como resolvê-las. As algébricas parecem que já atingiram seu limite de pesquisa, mas as trigonométricas ainda são convidativas para a exploração devido as relações especiais que existem entre suas formas básicas. Aqui, no primeiro caso, vi um belo exemplo de resolução, inédito para mim. Excelente!
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Prof. Paulo Sérgio18 de março de 2012 20:21
Concordo plenamente com você Aloisio. Ainda tem espaço para algumas pesquisas em equações trigonométricas e devido ao material apresentado de forma resumida e com pouca fundamentação, resolvi escrever este post. Obrigado Alexandre e Aloisio pelos comentários.
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Anônimo18 de março de 2012 21:51
Olá caro prof. Paulo.
Na letra d) tenho uma dúvida:
Sabendo que cos(60º)=1/2, veja onde está
cos(4x)=-1/2 :
Não seria 4x=2(pi)/3 e 4x=4(pi)/3 ? pois cosseno é negativo nos quadrantes 3º e 4º cujas transformações nestes quadrantes são (pi-x) e (x+pi) respectivamente.
[Eu uso o navegador OPERA. Não sei se tem plugin pra escrever em lateX neste navegador]

Alex. Chacon
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Prof. Paulo Sérgio18 de março de 2012 22:29
Realmente houve alguns erros de digitação que já foram corrigidos. Peço que leia novamente o post. Agradeço pela sua leitura atenta e volte sempre!
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