FATOS MATEMÁTICOS: Funções Injetoras

sexta-feira, 23 de março de 2012

Funções Injetoras

No estudo das funções reais de uma variável real, é importante apresentar o conceito de funções injetoras. Neste post, exploraremos este conceito de forma concisa.

Definição 1: Sejam $[;A, B \subset \mathbb{R};]$ . Dizemos que $[;f : A \rightarrow B;]$ é injetora se para todo $[;x_1, x_2 \in A;]$ , $[;x_1 \neq x_2;]$ temos $[;f(x_1) \neq f(x_2);]$ .

Equivalentemente, $[;f: A \rightarrow B;]$ é injetora se dados $[;x_1,x_2 \in A;]$ com $[;f(x_1) = f(x_2);]$ , temos $[;x_1 = x_2;]$ . É claro que $[;f: A \rightarrow B;]$ não é injetora se existem $[;x_1 \neq x_2 \in A;]$ tal que $[;f(x_1) = f(x_2);]$ .

Exemplo 1: A função $[;f;]$ representada na figura acima é injetora.

Exemplo 2: É fácil ver que a função

$[;g\ : \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};]$

$[; x \mapsto g(x) = x^3;]$

é injetora.

Exemplo 3: Mostre que a função $[;f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};]$ , dada por $[;f(x) = 2x + 1;]$ é injetora.

Resolução: Sejam $[;x_1, x_2 \in \mathbb{R};]$ tal que $[;f(x_1) = f(x_2);]$ . Assim,

$[;2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \quad \Rightarrow \quad x_1 = x_2;]$

Exemplo 4: Seja a função $[;g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};]$ dada por $[;g(x) = x^2 - 4x + 8;]$ .
a) Mostre que $[;g;]$ não é injetora;
b) Mostre que a função $[;h: \ [2,+\infty) \rightarrow \mathbb{R};]$ dada por $[;h(x) = g(x);]$ é injetora.

Resolução:

a) Sendo o gráfico de $[;g;]$ uma parábola côncava para cima, basta achar dois valores distintos de $[;x\;]$ que possuem a mesma ordenada. Por exemplo, se a ordenada é $[;y = 8;]$ , então

$[;y = x^2 - 4x + 8 \quad \Rightarrow \quad 8 = x^2 - 4x + 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x = 0 \quad \Rightarrow x_1 = 0 \ \text{e} \ x_2 = 4;]$

Logo, $[;g;]$ não é injetora. Uma outra forma de resolver esta questão é a seguinte: Queremos achar $[;x_1, x_2 \in \mathbb{R};]$ distintos tal que

$[;g(x_1) = g(x_2) \quad \Rightarrow x_{1}^{2} - 4x_1 = x_{2}^{2} - 4x_2 \quad \Rightarrow x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 4(x_1 - x_2) = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 - 4 = 0;]$

pois, $[;x_1 \neq x_2;]$ . Por exemplo, se $[;x_1 = 3;]$ , temos $[;x_2 = 4 - 3 = 1;]$ e assim por diante.

b) Sejam $[;x_1, x_2 \in [2,+\infty);]$ distintos tal que $[;h(x_1) = h(x_2);]$ . Sendo $[;h(x) = g(x);]$ , segue que

$[;g(x_1) = g(x_2) \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 4 - x_1;]$

Se $[;2 \leq x_1 \prec x_2;]$ , então $[;-x_1 \leq -2 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 4 - x_1 \leq 4 - 2 = 2;]$ . Absurdo! Analogamente, se $[;2 \leq x_2 \prec x_1;]$ , teríamos $[;x_1 \leq 2;]$ . Absurdo! Logo, a função $[;h;]$ é injetora.

Observação 1: Do item a) deste exemplo, notamos que se $[;\bar{y};]$ é um elemento do conjunto imagem de uma função $[;f;]$ e a equação $[;\bar{y} = f(x);]$ possuir uma única solução, então $[;f;]$ é injetora.

Observação 2: Do item b) deste exemplo, observamos que podemos obter funções injetoras restringindo o domínio de uma função não injetora.

Proposição 1: Seja $[;I;]$ um intervalo real. Se $[;f: I \rightarrow \mathbb{R};]$ é uma função crescente, então $[;f;]$ é injetora.

Demonstração: Sejam $[;x_1, x_2 \in I;]$ distintos. Assim, $[;x_1 \prec x_2;]$ ou $[;x_2 \prec x_1;]$ . Sem perda de generalidade, suponhamos que $[;x_1 \prec x_2;]$ . Sendo $[;f: I \rightarrow \mathbb{R};]$ crescente, então $[;f(x_1) \prec f(x_2);]$ , ou seja, $[;f(x_1) \neq f(x_2);]$ . Logo, $[;f;]$ é injetora.

Proposição 2: Se $[;f: I \rightarrow \mathbb{R};]$ é decrescente, então $[;f;]$ é injetora.

Sendo $[;f(x) = e^x;]$ , crescente para todo $[;x \in \mathbb{R};]$ , então $[;f;]$ é injetora. Um outro fato interessante sobre funções injetoras, é que a composição de funções injetoras é injetora conforme a Proposição abaixo.

Proposição 3: Sejam $[;f: A \rightarrow B;]$ e $[;g: B \rightarrow C;]$ funções injetoras. Então a função

$[;h \ : \ A \rightarrow C;]$

$[;x \rightarrow h(x) = gof(x) = g(f(x));]$

é injetora.

Demonstração: Sejam $[;x_1, x_2 \in A;]$ tal que $[;h(x_1) = h(x_2);]$ . Mostraremos que $[;x_1 = x_2;]$ . De fato,

$[;h(x_1) = h(x_2) \quad \Rightarrow \quad g(f(x_1)) = g(f(x_2));]$

e sendo, por hipótese, $[;g;]$ injetora, segue que $[;f(x_1) = f(x_2);]$ . Sendo também $[;f;]$ injetora, temos $[;x_1 = x_2;]$ .

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