FATOS MATEMÁTICOS: O Problema da Passagem do Guarda-Roupa

sexta-feira, 16 de março de 2012

O Problema da Passagem do Guarda-Roupa

A beleza da matemática está em seu poder de resolver os problemas mais variados possíveis. Se temos um problema de raciocínio lógico, uma medida ou uma figura geométrica, podemos empregar a matemática. Em vários livros de cálculos, é apresentado o problema de otimização de passar uma barra de maior comprimento possível entre dois corredores. Veremos neste post, uma generalização do problema da barra cujo enunciado é o seguinte:

"Suponhamos que devemos construir um guarda-roupa de largura $[;c;]$ e que deve passar por dois corredores perpendiculares de largura $[;a;]$ e $[;b;]$ , sendo $[;0 \prec c \prec a \leq b;]$ . Determine o maior comprimento de modo que ele passe pelos corredores."

Para resolver este problema de otimização, considere a figura acima. Sendo sua largura constante e igual a $[;c;]$ , iremos expressar o seu comprimento em função do ângulo $[;\theta;]$ . Note que

$[;OB = bcossec \theta;]$

$[;AO = a\sec \theta;]$

$[;AE = c\tan \theta;]$

$[;BF = c\cot \theta;]$

Assim,

$[;l(\theta) = EF = EO + OF = (AO - AE) + (OB - BF);]$

$[;= a\sec \theta - c\tan \theta + bcossec \theta - c\cot \theta, \qquad 0 \prec \theta \prec \pi/2;]$

Para qual valor de $[;\theta;]$ esta função assume um valor máximo? Para responder esta pergunta, calculamos a derivada de $[;l(\theta);]$ e igualamos a zero, isto é,

$[;l^{\prime}(\theta) = a\sec \theta \tan \theta - c\sec^2 \theta - bcossec \theta \cot \theta + ccossec^2 \theta = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;a\sec \theta \tan \theta + ccossec^2 \theta = c\sec^2 \theta + bcossec \theta \cot \theta \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{a\sin \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{c}{\sin^2 \theta} = \frac{c}{\cos^2 \theta} + \frac{b\cos \theta}{\sin^2 \theta} \quad \Rightarrow;]$

$[;a\sin^3 \theta + c\cos^2 \theta = c\sin^2 \theta + bcos^3 \theta \quad (1) \quad \Rightarrow;]$

Sendo $[;cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta;]$ , então

$[;a\sin^3 \theta + c(1 - \sin^2 \theta) - c\sin^2 \theta = b(\cos^2 \theta)^{3/2} \quad \Rightarrow;]$

$[;(a\sin^3\theta - 2c\sin^2\theta + c)^2 = b^2(1 - \sin^2)^3 \quad \Rightarrow;]$

$[;a^2\sin^6 \theta + 4c^2\sin^4 \theta + c^2 - 2a\sin^3\theta\cdot 2c\sin^2 \theta +ac\sin^3\theta - 2c^2\sin^2\theta;]$

$[;= b^2(1 - 3\sin^2\theta + 3\sin^4\theta - \sin^6 \theta);]$

Agrupando os termos em potências decrescentes de $[;sin\theta;]$ , temos:

$[;(a^2 + b^2)\sin^6\theta - 4ac\sin^5\theta + (4c^2 - 3b^2)\sin^4\theta + ac\sin^3\theta +;]$

$[;+ (3b^2 - 2c^2)\sin^2\theta + c^2 - b^2 = 0;]$

Fazendo $[;x = \sin \theta;]$ , obtemos

$[;f(x) := (a^2 + b^2)x^6 - 4acx^5 + (4c^2 - 3b^2)x^4 + acx^3 +;]$

$[;+ (3b^2 - 2c^2)x^2 + c^2 - b^2 = 0 \quad (2);]$

Como $[;0 \prec \theta \prec \pi/2;]$ , então $[;0 \prec x \prec 1;]$ . O comportamento de $[;f;]$ não é alterado para valores muito próximos de $[;0;]$ e $[;1;]$ . Assim, podemos assumir que a função $[;f;]$ pode ser estendida para estes pontos, isto é,

$[;f(0) = c^2 - b^2 \prec 0;]$

$[;f(1) = a^2 + b^2 - 4ac + 4c^2 - 3b^2 + ac + 3b^2 - 2c^2 + c^2 - b^2;]$

$[;=a^2 + 3c^2 - 3ac \succ 2\sqrt{a^2\cdot 3c^2} - 3ac = (2\sqrt{3} - 3)ac \succ 0;]$

Sendo $[;f;]$ contínua em $[;[0,1];]$ , pelo teorema de Bolzano, existe $[;\xi \in [0,1];]$ tal que $[;f(\xi) = 0;]$ . Pela natureza do problema, notamos que

$[;x = \xi = \sin \theta \quad \Rightarrow \quad \theta = \arcsin \xi;]$

irá de fato maximar o comprimento do guarda-roupa. Além disso, devido ao fato que a equação acima é do sexto grau, devemos usar métodos numéricos para achar esta raiz.

Exemplo 1: Sejam $[;a = 1,5\ m;]$ , $[;b = 1,2\ m;]$ e $[;c = 0,8\ m;]$ . Determine o comprimento máximo do guarda-roupa de modo que ele passe pelos corredores.

Resolução: Substituindo estes valores na expressão $[;(2);]$ acima, temos:

$[;f(x) = 3,69x^6 - 4,8x^5 - 1,76x^4 + 1,2x^3 + 3,04x^2 - 0,8 = 0;]$

Plotando o gráfico de $[;f;]$ para $[;x \in [0,1];]$ , observamos que existe apenas uma raiz real neste intervalo, conforme a figura abaixo.

Usando o método de Newton ou o Wolfram Alpha, obtemos

$[;\xi = 0,541428 \quad \Rightarrow \quad \theta = \arcsin(0,541428) = 0,572135\ rad \simeq 32,78^{\circ};]$

Com este de $[;\xi;]$ , podemos facilmente achar o comprimento máximo do guarda-roupa que é dado por

$[;l_{max} \simeq 2,24\ m;]$

Observação 1: A solução do problema da barra de comprimento máximo que pode passar pelos corredores é obitda da expressão $[;(1);]$ fazendo $[;c = 0;]$ , ou seja,

$[;a\cos^3 \theta = b\sin^3 \theta \quad \Rightarrow \quad \tan \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}};]$

donde segue que o ângulo é dado por $[;\theta = \arctan \sqrt[3]{\frac{a}{b}};]$ .

Gostará de ler também:
- Problemas de Otimização Através da Trigonometria;
- A Dobradura de Comprimento Mínimo;
- Zeros de Funções Reais - O Método de Newton-Raphson Resolvido no Excel (Blog O Baricentro da Mente)

4 comentários:

Aloisio Teixeira16 de março de 2012 11:22
Oi, Prof Paul Sérgio,

Isto é que eu chamo de matemática prática. Ainda não tive tempo calmo para ver os detalhes de cálculo, mas mal vejo a hora.

É um curioso problema geométrico que nunca tinha visto.

Parabéns!
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Kleber Kilhian17 de março de 2012 09:24
Engraçadocomo um problema aparentemente "fácil" de resolver, utiliza ferramentas até "sofisticadas". Por exemplo o conceito de arcosseno, arcotangente, raízes cúbicas. Não é para qualquer um mesmo, já que teriam que utilizar o método de Newton,por exemplo, para encontrar raízes. Quando alguém tiver que fazer a mudança de um guarda-roupa, deve-se contratar primeiro um matemátco!

Abraços!
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Prof. Paulo Sérgio17 de março de 2012 10:04
Olá Aloisio, ficarei aguardando a sua análise do problema.

Olá Kleber, pensei neste problema há dois, como generalização do problema de passar uma barra por dois corredores. Guardei o problema, pois também fiquei surpreendido com a matemática necessária para resolvê-lo. Voltando a analisá-lo neste mês, vi que ele estava certo e resolvi compartilhar aqui no blog.
Obrigaodo pelos comentários e voltem sempre!
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Aloisio Teixeira17 de março de 2012 23:18
Oi, Prof. Paulo Sérgio!

A solução desse problema de maximização do comprimento do guarda-roupa é mostrada aqui de uma maneira pontual e com lógica engrenada.

Interessante, raramente uma equação de grau relativamente elevado é usado para resolver problemas cotidianos ( digo apenas na minha experiência ).

E muito bom! É a receita para programar uma planilha eletrônica de forma a inserir os valores das dimensões envolvidas e deixar que a fórmula trabalhe para achar o comprimento do guarda-roupa, estante, sofá, etc. É possível fazer isso ou estou sendo muito otimista?

Elegante o modo como montou a equação trigonométrica inicial e também a passagem da trigonometria para álgebra por substituição de variável.

Obrigado, Paulo, por mais um post de excelência!

Um grande abraço!
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