Membros

quinta-feira

O Problema das Torneiras

O problema das torneiras que envolvem o tempo de enchimento de um reservatório é um exemplo para aplicar os conhecimentos aritméticos ou algébricos. Hariki (RPM 32) afirma que problemas de torneiras são antiqüíssimos. Uma de suas versões aparece por exemplo na Antologia grega organizada por Metrodoro, um matemático grego que vivia por volta do ano 500 d.C. A tradução para o português seria mais ou menos a seguinte:

Eu sou um leão de bronze; de meus olhos, boca e pé direito jorra água. Meu olho direito enche uma jarra em dois dias, meu olho esquerdo em três dias, e meu pé direito em quatro dias. Minha boca é capaz de enchê-la em seis horas, diga-me quanto tempo os quatro juntos levarão para enchê-la?

Neste post, veremos como podemos usar conhecimentos básicos de matemática para resolver vários problemas relacionados ao enchimento ou esvaziamento de um tanque através de torneiras e ralos de vazões constantes. Vejamos inicialmente o problema de encher o tanque através de duas torneiras.

Considere um tanque de volume [;V;] e duas torneiras [;T_1;] e [;T_2;]. Suponhamos que a torneira [;T_1;] enche este tanque em [;t_1\ h;] e a torneira [;T_2;], enche o mesmo tanque em [;t_2\ h;]. Se elas são abertas ao mesmo tempo, quando o tanque estará cheio?

Resolução: Sejam [;Q_1;] a vazão da torneira [;T_1;], ou seja, [;Q_1 = V/t_1;]. Analogamente, para a torneira [;T_2;], sua vazão é [;Q_2 = V/t_2;]. Fixe um [;t^{\ast};]. A quantidade de água no tanque devido a torneira [;T_1;] de [;0;] até [;t^{\ast};] é [;V_1 = Q_1t^{\ast};] e da torneira [;T_2;] é [;V_2 = Q_2t^{\ast};]. Portanto, se elas forem abertas simultâneamente, a contribuição total das duas torneiras de [;0;] a [;t^{\ast};] é [;V(t^{\ast}) = V_1 + V_2;].

Por outro lado, a quantidade de água armazenada no tanque é proporcional ao tempo em que estas torneiras estão abertas. Assim, se [;t;] representa o tempo total para encher o tanque de volume [;V;], segue que

[;\frac{V}{V(t^{\ast})} = \frac{t}{t^{\ast}} \quad \Rightarrow \quad Vt^{\ast} = t(Q_1 + Q_2)t^{\ast} \quad \Rightarrow;]

[;\frac{1}{t} = \frac{Q_1}{V} + \frac{Q_2}{V} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2};]

Este problema sobre torneiras é muito explorado em concursos públicos, sendo portanto uma forma de avaliar o raciocínio lógico dos candidatos. Na internet, encontram-se vários problemas de torneiras e outros problemas de fluxos cuja solução é baseada nas fórmulas expostas acima.

O método exposto aqui baseia-se na resolução acima, com ênfase no raciocínio lógico e com pouco uso de fórmulas.

Exemplo 1: Uma torneira enche um tanque em [;3\ h;]. Outra torneira o enche em [;6\ h;]. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, em quanto tempo o tanque ficará cheio?

Resolução: Suponhamos que o volume do tanque seja [;V;]. O próximo passo é analisar quanto cada torneira contribui para encher o tanque no período de [;1\ h;]. A primeira torneira neste período contribui com [;V/3;] e a segunda torneira com [;V/6;] do tanque. Assim, se elas forem abertas simultâneamente, elas juntas em [;1\ h;] encherão

[;\frac{V}{3} + \frac{V}{6} = \frac{2V + V}{6} = \frac{V}{2};]

Se em uma hora elas enchem a metade do tanque, então o tanque ficará completamente cheio em duas horas.

Exemplo 2: Em um tanque temos duas torneiras, [;T_1;] e [;T_2;]. A torneira [;T_1;] enche este tanque em [;4\ h;]. As duas juntas enchem o tanque em [;1\ h;] e [;20\ min;]. Se abrirmos apenas a [;T_2;], em quanto tempo ela encherá o tanque?.

Resolução: Note que [;20\ min = 60 \ min/3 = 1\ h/3;], de modo que [;1h\ 20\ min = 4/3 \ h;]. Assim, as duas torneiras juntas em [;1\ h;] enchem [;3/4;] do tanque de volume [;V;]. Por outro lado, a torneira [;T_1;] leva [;4\ h;] para enchê-lo, portanto em [;1 \ h;] ela enche [;V/4;]. Assim, a contribuição da torneira [;T_1;] em uma hora é

[;\frac{3V}{4} - \frac{V}{4} = \frac{V}{2};]

Portanto, esta torneira sozinha encherá o tanque em [;2\ h;].

Exemplo 3: Se uma torneira enche um tanque em [;2\ h;] e um ralo o esvazia em [;3 \ h;], estando a torneira e o ralo simultaneamente abertos, qual será o tempo necessário para encher o reservatório?

Resolução: Pelo enunciado, no final de uma hora teremos no tanque

[;\frac{V}{2} - \frac{V}{3} = \frac{V}{6};]

Portanto, o tanque ficará completamente cheio [;6\ h;] após a torneira e o ralo serem abertos.

Exemplo 4: Abrindo-se um ralo [;R_1;], um tanque ficará vazio em [;6 \ h;]. Abrindo-se o ralo [;R_2;] ele ficará vazio em [;4\ h;] e abrindo-se a torneira [;T_1;] o tanque encherá em [;2\ h;]horas. Em quanto tempo o tanque ficará cheio se abrirmos a torneira e os ralos simultâneamente?.

Resolução: Se abrirmos a torneira e os ralos simultâneamente, no final de uma hora, teremos no tanque um volume de

[;\frac{V}{2} - \frac{V}{6} - \frac{V}{4} = \frac{6V - 2V - 3V}{12} = \frac{V}{12};]

de modo que o tanque ficará cheio em [;12\ h;].

Exercícios Propostos

[;1);] Um pedreiro ergue um muro em [;12 \ h;] e seu colega consegue erguer o mesmo tipo de muro em [;10\ h;]. Trabalhando juntos, em quanto tempo erguem o muro?

[;2);] Um fruticultor, para encher uma caminhoneta de melões, demora [;45\ min;]. Sua mulher, para vender todos os melões, estando a caminhoneta cheia, demora [;60\ min;]. Se os dois iniciarem as atividades juntos, em quanto tempo o veículo ficará cheio?

[;3);] Um torneira enche um tanque em [;4\ h;] e outra enche em [;6 \ h;], enquanto um ralo o esvazia em [;3 \ h;]. Admitindo o tanque inicialmente cheio e o sistema (torneiras e válvula) funcionando, em quantas horas o mesmo ficará vazio? R: [;t = 12\ h;].

[;4);] Duas torneiras enchem um tanque em [;10\ min;] e [;15 \ min;] respectivamente. Um ralo esvazia este mesmo tanque em [;8\ min;]. Se todos os três dispositivos são abertos simultaneamente, calcule o tempo necessário para encher este tanque.

[;5);] Uma torneira enche um tanque em [;3 \ h;] e uma segunda torneira pode fazê-lo em [;15 \ h;]. Qual será o tempo necessário para encher [;2/3;] do tanque se as duas torneiras forem ligadas simultaneamente? R: [;5/3\ h;].

Gostará de ler também:
- Vária Soluções de um Problema Geométrico;

- Diagramas Geométricos Para Resolver o Problema das Torneiras;
- Um Problema Geométrico no Triângulo Isósceles;
- Fatos da Média Harmônica;
- O Problema do Trem.

33 comentários:

  1. Muito legal Paulo, simples de entender e ´timos exemplos. Lendo o artigo do Aloísio, que resolve usando a média harmônica, vejo que ambas as resoluções são de fácil assimilação. Que bom que temos vocês para simplificar os problemas.

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  2. Kleber, outra maneira para simplificar a resolução é a seguinter:
    Sejam T1 e T2 as duas torneiras.
    Em 1h T1 enche 1/t1 do tanque
    Em 1h T2 enche 1/t2 do tanque
    Se em 1h, T1 e T2 enchem 1/t1 + 1/t2 do tanque, logo, o tanque todo que é 1, estará cheio em t horas. Portanto:

    (1/t1+1/t2)/1 = 1/t

    Abraços

    Sebá

    ResponderExcluir
  3. Ola´meus amigos me retire uma duvida no exercicio 2 das torneiras não entendi porque até no momento em que se chega ate quatro terço tudo bem mais não entendi porque vira tres quartos me explique ai por favor.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. O que aconteceu foi o seguinte: Se V representa o volume do tanque, então 1 V = 4/3x1h => 1h = 1V:(4/3) = (3/4)V. Você também pode resolver este mesmo problema no outro post através da Geometria Plana. Veja o Exemplo deste link

      http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/12/diagramas-geometricos-para-resolver-o.html

      Excluir
  4. Olá amigos, gostaria que vocês me ajudassem na solução do seguinte problema: Duas torneiras enchem um tanque em 15 horas.A torneira menor gasta 16 horas a mais que a torneira maior para encher sozinha esse mesmo tanque. Qual é o tempo da torneira menor?
    Desde já agradeço.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Sejam t1 o tempo gasto pela torneira menor para encher o tanque e t2 o tempo gasto para a outra torneira encher este mesmo tanque. Pelo enunciado, t1 = t2 + 16 => t2 = t1 - 16. No início do post, vimos que
      [;\frac{1}{t} = \frac{Q_1}{V} + \frac{Q_2}{V} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2};]

      de modo que
      [;\frac{1}{15} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 16};]
      sendo [;x = t_1;] para facilitar a escrita. Tirando o minimo multiplo comum, temos:
      [;\frac{1}{15} = \frac{x - 16 + x}{x(x - 16)} \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2 - 16x}{2x - 16} = 15;]
      Desta expressão obtemos a equação quadrática:
      [;x^2 - 16x = 15(2x - 16) \quad \Rightarrow \quad x^{\prime} = 6 \quad x^{\prime \prime} = 40;]

      A soluçãot1 = 6h não serve, pois uma torneira sozinha sempre enche o tanque em um tempo maior que o tempo gasto pelas duas torneiras simultaneamente. Logo, t1 = 40 h e consequentemente, t2 = 40 - 16 = 24h.

      Excluir
  5. UMA torneira enche um reservatorio em 30 horas, enquanto outra pode enchelo em 50 horas, abrindo as duas torneiras simutaneamente estara cheio em quantas horas?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Carla, o Exemplo 1 é igual ao seu problema, mas no lugar de 30h temos 2h e no lugar de 50h temos 3h. Caso não entenda a solução acima, farei a resolução do seu problema.

      Observe que em 1h a primeira torneira enche 1/30 do tanque e a outra 1/50 do tanque. Portanto, elas juntas enchem 1/30 + 1/50 = 80/1500 do tanque em uma hora ou 8V/150. Para achar o tempo total, basta dividir V por 8V/150 = 150/8 horas ou 18,75 h ou 18h e 0,75*60 min = 18h 45 min.

      Excluir
  6. Como responder?
    Seis torneiras de mesma vazão enchem um
    tanque em quatro horas. Oito dessas torneiras
    enchem o mesmo tanque em quanto tempo?
    a) 2h 30 min.
    b) 2h 45 min.
    c) 3h.
    d) 3h 15 min.
    e) 3h 30 min.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Como as torneiras possuem a mesma vazão. Na segunda situação (8 torneiras), há um aumento de 8/6 na vazão e portanto, uma diminuição de 6/8 do tempo total, ou seja, 3/4 de 4h = 3h. Logo, a alternativa certa é a c).

      Excluir
  7. Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos. Admitindo que as gotas tenham sempre volume igual a 0,2 ml, determine o volume de água que vaza por hora.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Uma hora possui 3600 s. Assim,
      7 gotas -- 20 s
      x gotas -- 3600 s
      de modo que x = 1260 vezes. Logo, o volume V = 0,2.1260 vezes = 252 ml.

      Excluir
    2. ou também:

      se em cada 20s = 7gotas
      então 1m (60s) = 21gotas

      logo em 1min teremos 21x0,2ml = 4,2ml por minuto
      em 1h será 4,2ml x 60min = 252ml

      Excluir
  8. Boa tarde, Veja se pode me ajudar.
    Um tanque possui duas torneiras, sendo uma de entrada que enche em 5h e outra de saida que o esvazia em 7h, supondo que o tanque esteja totalmente vazio e que as torneiras sejam abertas ao mesmo tempo as 15h entao ele ficara cheio as:
    8h30mim
    8h50mim
    20h30mim
    20h50mim

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. A alternativa correta é a primeira. Tenho um exemplo semelhante a este resolvido de forma geométrica neste link:
      http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/12/diagramas-geometricos-para-resolver-o.html

      Qualquer dúvida entre em contato.

      Excluir
  9. poderia me ajudar com os exercícios das torneiras ao invés de ser 3 e 6 horas ser 4 e 6 horas. Exemplo 3
    Obrigado '-'

    ResponderExcluir
  10. alguem saberia me responder esse problema
    O problema do bolo com chantilly
    Um bolo na forma de um cubo foi colocado num grande pote cheio de chantilly. O bolo foi retirado com todas as faces cobertas de chantilly e depois, foi cortado em pequenos cubos iguais, de modo que:
    cada pessoa presente recebesse um só pedaço;
    número de pedaços cobertos de chantilly em três faces é 1/8 do número de pedaços sem nenhum chantilly.
    Quantas pessoas receberam pedaços de bolo, tendo chantilly em três faces? Em exatamente duas faces? Em nenhuma face?

    ResponderExcluir
  11. Uma caixa d’ água enche em 5 horas com a torneira aberta e o ralo fechado. E esvazia em 3 horas com o ralo aberto e a torneira fechada. Em quanto tempo ela se enche, estando a torneira e o ralo abertos?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Vejo que este problema que você apresentou não está em nenhum dos exemplos acima. Escrevi um outro post Diagramas Geométricos no Problema das Torneiras. Mas vejamos como podemos resolvê-lo usando raciocínio lógico. Quando a torneira e o ralo estão abertos, em uma hora, a torneira encheu 1/3 da caixa d'água e o ralo esvazia 1/5 da caixa d'água. Portanto, em um hora temos 1/3 - 1/5 = 2/15 da caixa está cheia. Em meia hora 1/15 da caixa. Logo, precisaremos de 15 vezes meia hora, ou seja, 7h e meia para encher a caixa d'água.

      Excluir
    2. pode ter havido um erro no enunciado. se a vazão do ralo é maior do que a torneira a caixa nunca vai encher com os dois abertos: a velocidade de esvaziamento é maior que a de enchimento. (robson reis)

      Excluir
    3. Concordo com você, mas acho que o colega quis dizer que ela leva 3 horas para encher e 5 horas para esvaziar. Do jeito que foi proposto você tem razão.

      Excluir
  12. Duas torneiras enchem um tanque inicialmente vazio em 2 horas e 3 horas, respectivamente. Há uma 3ª torneira que esvazia o tanque se o mesmo estiver cheio em 5 horas. Estando o tanque inicialmente vazio e abrindo- se as três torneiras simultaneamente, o tanque ficará cheio em quanto tempo?

    Pode responder essa por favor?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. (Solução de Hamilton Brito – hamilton_brito20@hotmail.com) Considere W1 a vazão da primeira torneira , W2 a da segunda, W3 a da 3ª torneira e Wt a vazão total do tanque quando ele está cheio, além de V o volume do tanque. Lembre-se que vazão é o volume de água jogado no tanque pelas torneiras 1 e 2(ou jogado fora do tanque no caso da 3ª torneira) dividido pelo tempo. Assim, sendo, temos: W1=V/2, W2=V/3, W3=V/5 e Wt=V/T (sendo T o tempo necessário para se encher o tanque ). Assim, basta montar a equação seguinte:
      W1+W2-W3=Wt
      V/2+V/3-V/5=V/T (coloca V em evidência)
      V(1/2+1/3-1/5)=V/t (elimina V)
      1/2+1/3-1/5=1/T
      19/30=1/T
      T=30/19=1,5789 hora=1hora34min45segundos aproximadamente.

      Excluir
  13. uma torneira enche 14 horas um tanque a outra pra encher o mesmo tanque demora 10 horas se ligamos as duas ao mesmo tempo quantas horas demora pra encher o tanque

    ResponderExcluir
  14. Os exercícios propostos 1, 2 e 4 estão sem gabarito para conferência.

    ResponderExcluir
  15. uma pra sair da rotina, e nao solucionar se puderem me mande para o ormindo@terra.com.br , por favor.

    Torneiras A B C. Juntas AeB enchem um tanque em 18 horas. BeC juntas enchem o mesmo tanque em 12 horas. Ae C enchem o tanque em 9 horas. Quanto tempo as tres juntas levarão para encher.

    ResponderExcluir
  16. EU QUIZ DIZER QUE NAO SONSEGUI SOLUCIONAR, SE PUDEREM ME AJUDAR MANDE PARA O E-MAIL ACIMA
    GRATO

    ResponderExcluir
  17. Eu sou um leão de bronze; de meus olhos, boca e pé direito jorra água. Meu olho direito enche uma jarra em dois dias, meu olho esquerdo em três dias, e meu pé direito em quatro dias. Minha boca é capaz de enchê-la em seis horas, diga-me quanto tempo os quatro juntos levarão para enchê-la?

    ResponderExcluir
  18. me ajudem a responder por favor.
    4 torneiras enchem um tanque em [;4hrs] e [2hrs] a outra em 5 hrs e a outra em 6 hrs respectivamente. Um ralo esvazia este mesmo tanque em 8 Se todos os cinco dispositivos são abertos simultaneamente, calcule o tempo necessário para encher este tanque.

    ResponderExcluir
  19. eu quria numa explicação por que ele afirma que em 1hora o tanque estara pela metade na questão das torneiras

    ResponderExcluir