FATOS MATEMÁTICOS: O Problema das Torneiras

quinta-feira, 1 de março de 2012

O Problema das Torneiras

O problema das torneiras que envolvem o tempo de enchimento de um reservatório é um exemplo para aplicar os conhecimentos aritméticos ou algébricos. Hariki (RPM 32) afirma que problemas de torneiras são antiqüíssimos. Uma de suas versões aparece por exemplo na Antologia grega organizada por Metrodoro, um matemático grego que vivia por volta do ano 500 d.C. A tradução para o português seria mais ou menos a seguinte:

Eu sou um leão de bronze; de meus olhos, boca e pé direito jorra água. Meu olho direito enche uma jarra em dois dias, meu olho esquerdo em três dias, e meu pé direito em quatro dias. Minha boca é capaz de enchê-la em seis horas, diga-me quanto tempo os quatro juntos levarão para enchê-la?

Neste post, veremos como podemos usar conhecimentos básicos de matemática para resolver vários problemas relacionados ao enchimento ou esvaziamento de um tanque através de torneiras e ralos de vazões constantes. Vejamos inicialmente o problema de encher o tanque através de duas torneiras.

Considere um tanque de volume $[;V;]$ e duas torneiras $[;T_1;]$ e $[;T_2;]$ . Suponhamos que a torneira $[;T_1;]$ enche este tanque em $[;t_1\ h;]$ e a torneira $[;T_2;]$ , enche o mesmo tanque em $[;t_2\ h;]$ . Se elas são abertas ao mesmo tempo, quando o tanque estará cheio?

Resolução: Sejam $[;Q_1;]$ a vazão da torneira $[;T_1;]$ , ou seja, $[;Q_1 = V/t_1;]$ . Analogamente, para a torneira $[;T_2;]$ , sua vazão é $[;Q_2 = V/t_2;]$ . Fixe um $[;t^{\ast};]$ . A quantidade de água no tanque devido a torneira $[;T_1;]$ de $[;0;]$ até $[;t^{\ast};]$ é $[;V_1 = Q_1t^{\ast};]$ e da torneira $[;T_2;]$ é $[;V_2 = Q_2t^{\ast};]$ . Portanto, se elas forem abertas simultâneamente, a contribuição total das duas torneiras de $[;0;]$ a $[;t^{\ast};]$ é $[;V(t^{\ast}) = V_1 + V_2;]$ .

Por outro lado, a quantidade de água armazenada no tanque é proporcional ao tempo em que estas torneiras estão abertas. Assim, se $[;t;]$ representa o tempo total para encher o tanque de volume $[;V;]$ , segue que

$[;\frac{V}{V(t^{\ast})} = \frac{t}{t^{\ast}} \quad \Rightarrow \quad Vt^{\ast} = t(Q_1 + Q_2)t^{\ast} \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{1}{t} = \frac{Q_1}{V} + \frac{Q_2}{V} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2};]$

Este problema sobre torneiras é muito explorado em concursos públicos, sendo portanto uma forma de avaliar o raciocínio lógico dos candidatos. Na internet, encontram-se vários problemas de torneiras e outros problemas de fluxos cuja solução é baseada nas fórmulas expostas acima.

O método exposto aqui baseia-se na resolução acima, com ênfase no raciocínio lógico e com pouco uso de fórmulas.

Exemplo 1: Uma torneira enche um tanque em $[;3\ h;]$ . Outra torneira o enche em $[;6\ h;]$ . Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, em quanto tempo o tanque ficará cheio?

Resolução: Suponhamos que o volume do tanque seja $[;V;]$ . O próximo passo é analisar quanto cada torneira contribui para encher o tanque no período de $[;1\ h;]$ . A primeira torneira neste período contribui com $[;V/3;]$ e a segunda torneira com $[;V/6;]$ do tanque. Assim, se elas forem abertas simultâneamente, elas juntas em $[;1\ h;]$ encherão

$[;\frac{V}{3} + \frac{V}{6} = \frac{2V + V}{6} = \frac{V}{2};]$

Se em uma hora elas enchem a metade do tanque, então o tanque ficará completamente cheio em duas horas.

Exemplo 2: Em um tanque temos duas torneiras, $[;T_1;]$ e $[;T_2;]$ . A torneira $[;T_1;]$ enche este tanque em $[;4\ h;]$ . As duas juntas enchem o tanque em $[;1\ h;]$ e $[;20\ min;]$ . Se abrirmos apenas a $[;T_2;]$ , em quanto tempo ela encherá o tanque?.

Resolução: Note que $[;20\ min = 60 \ min/3 = 1\ h/3;]$ , de modo que $[;1h\ 20\ min = 4/3 \ h;]$ . Assim, as duas torneiras juntas em $[;1\ h;]$ enchem $[;3/4;]$ do tanque de volume $[;V;]$ . Por outro lado, a torneira $[;T_1;]$ leva $[;4\ h;]$ para enchê-lo, portanto em $[;1 \ h;]$ ela enche $[;V/4;]$ . Assim, a contribuição da torneira $[;T_1;]$ em uma hora é

$[;\frac{3V}{4} - \frac{V}{4} = \frac{V}{2};]$

Portanto, esta torneira sozinha encherá o tanque em $[;2\ h;]$ .

Exemplo 3: Se uma torneira enche um tanque em $[;2\ h;]$ e um ralo o esvazia em $[;3 \ h;]$ , estando a torneira e o ralo simultaneamente abertos, qual será o tempo necessário para encher o reservatório?

Resolução: Pelo enunciado, no final de uma hora teremos no tanque

$[;\frac{V}{2} - \frac{V}{3} = \frac{V}{6};]$

Portanto, o tanque ficará completamente cheio $[;6\ h;]$ após a torneira e o ralo serem abertos.

Exemplo 4: Abrindo-se um ralo $[;R_1;]$ , um tanque ficará vazio em $[;6 \ h;]$ . Abrindo-se o ralo $[;R_2;]$ ele ficará vazio em $[;4\ h;]$ e abrindo-se a torneira $[;T_1;]$ o tanque encherá em $[;2\ h;]$ horas. Em quanto tempo o tanque ficará cheio se abrirmos a torneira e os ralos simultâneamente?.

Resolução: Se abrirmos a torneira e os ralos simultâneamente, no final de uma hora, teremos no tanque um volume de

$[;\frac{V}{2} - \frac{V}{6} - \frac{V}{4} = \frac{6V - 2V - 3V}{12} = \frac{V}{12};]$

de modo que o tanque ficará cheio em $[;12\ h;]$ .

Exercícios Propostos

$[;1);]$ Um pedreiro ergue um muro em $[;12 \ h;]$ e seu colega consegue erguer o mesmo tipo de muro em $[;10\ h;]$ . Trabalhando juntos, em quanto tempo erguem o muro?

$[;2);]$ Um fruticultor, para encher uma caminhoneta de melões, demora $[;45\ min;]$ . Sua mulher, para vender todos os melões, estando a caminhoneta cheia, demora $[;60\ min;]$ . Se os dois iniciarem as atividades juntos, em quanto tempo o veículo ficará cheio?

$[;3);]$ Um torneira enche um tanque em $[;4\ h;]$ e outra enche em $[;6 \ h;]$ , enquanto um ralo o esvazia em $[;3 \ h;]$ . Admitindo o tanque inicialmente cheio e o sistema (torneiras e válvula) funcionando, em quantas horas o mesmo ficará vazio? R: $[;t = 12\ h;]$ .

$[;4);]$ Duas torneiras enchem um tanque em $[;10\ min;]$ e $[;15 \ min;]$ respectivamente. Um ralo esvazia este mesmo tanque em $[;8\ min;]$ . Se todos os três dispositivos são abertos simultaneamente, calcule o tempo necessário para encher este tanque.

$[;5);]$ Uma torneira enche um tanque em $[;3 \ h;]$ e uma segunda torneira pode fazê-lo em $[;15 \ h;]$ . Qual será o tempo necessário para encher $[;2/3;]$ do tanque se as duas torneiras forem ligadas simultaneamente? R: $[;5/3\ h;]$ .

Gostará de ler também:
- Vária Soluções de um Problema Geométrico;
- Um Problema Geométrico no Triângulo Isósceles;
- Fatos da Média Harmônica;
- O Problema do Trem.

1 comentários:

Kleber Kilhian2 de março de 2012 07:56
Muito legal Paulo, simples de entender e ´timos exemplos. Lendo o artigo do Aloísio, que resolve usando a média harmônica, vejo que ambas as resoluções são de fácil assimilação. Que bom que temos vocês para simplificar os problemas.

Um abraço.
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