FATOS MATEMÁTICOS: Produtos Notáveis

segunda-feira, 5 de março de 2012

Produtos Notáveis

Existe uma classe de produtos algébricos que é muito útil em várias áreas da matemática. Tais expressões conhecidas por produtos notáveis são as peças fundamentais que os alunos devem saber para desenvolver seus conhecimientos matemáticos. Além disso, alguns produtos notáveis admitem provas geométricas fáceis de serem assimiladas.

Proposição 1: Dados $[;a;]$ , $[;b;]$ e $[;c;]$ reais, então

$[;i);]$ $[;(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;]$ ;
$[;ii);]$ $[;(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2;]$ ;
$[;iii);]$ $[;a^2 - b^2 = (a - b)(a + b);]$ ;
$[;iv);]$ $[;(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;]$ ;
$[;v);]$ $[;(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;]$ ;
$[;vi);]$ $[;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2);]$ ;
$[;vii);]$ $[;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2);]$

Demonstração:

$[;i);]$ Usando a propriedade distributiva do produto de números reais, segue

$[;(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2;]$

Para $[;a;]$ e $[;b;]$ positivos, temos também a demonstração visual conforme a figura acima.

$[;ii);]$ Pela propriedade distributiva dos números reais, temos:

$[;(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2;]$

Para $[;a;]$ e $[;b;]$ positivos, analisando da figura abaixo, segue que

$[;(a - b)^2 = a^2 - ba - (a - b)b = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2;]$

$[;iii);]$ De fato,

$[;a^2 - b^2 = a^2 - ab + ab - b^2 = a(a - b) + b(a - b) = (a - b)(a + b);]$

Outra prova, baseia-se na figura abaixo:

$[;iv);]$ Observe que $[;(a + b)^3 = (a + b)^2\cdot (a + b);]$ , de modo que

$[;(a + b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^3;]$

$[;= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;]$

$[;v);]$ Basta substituir $[;b;]$ por $[;-b\ ;]$ na identidade anterior.
$[;vi);]$ Usando a identidade $[;iv);]$ , temos

$[;a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a^2b - 3ab^2 = (a + b)^3 - 3ab(a + b);]$

$[;= (a + b)[(a + b)^2 - 3ab] = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab);]$

$[;= (a + b)(a^2 - ab + b^2);]$

$[;vii);]$ Substituindo $[;b;]$ por $[;-b\ ;]$ na identidade anterior segue o resultado.

Exemplo 1: Calcule as expressões abaixo.

$[;a);]$ $[;(x + 2y)^2;]$
$[;b);]$ $[;y^3 + 8;]$
$[;c);]$ $[;\frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}};]$
$[;d);]$ $[;(a^2b^3)^3 - 27;]$
$[;e);]$ $[;(a - b)^2 - 4c^2;]$
$[;f);]$ $[;x^{16} - 1;]$
$[;g);]$ $[;x^2 - 6x + 9;]$
$[;h);]$ $[;4x^2 + 4x + 1;]$

Resolução:

$[;a);]$ Usando a expressão $[;i);]$ , temos $[;(x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2;]$ .
$[;b);]$ Usando a expressão $[;vi);]$ , temos

$[;x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4);]$

$[;c);]$ Multiplicando e dividindo pelo conjugado das raízes do denominador, temos

$[;\frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(x - y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})};]$

$[;= \frac{(x - y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y} = \sqrt{x} + \sqrt{y};]$

$[;d);]$ Usando a expressão $[;vii);]$ , temos

$[;(a^2b^3)^3 - 27 = (a^2b^3)^3 - 3^3 = (a^2b^3 - 3)[(a^2b^3)^2 + 3a^2b^3 + 3^2;]$

$[;= (a^2b^3 - 3)(a^4b^6 + 3a^2b^3 + 9);]$

$[;e);]$ Segue imediatamente da expressão $[;iii);]$ que $[;(a - b)^2 - 4c^2 = (a - b -2c)(a - b + 2c);]$ .

$[;f);]$ Usando várias vezes a expressão $[;iii);]$ , temos

$[;x^{16} - 1 = (x^{8})^2 - 1^2 = (x^8 + 1)(x^8 - 1);]$

$[;= (x^8 + 1)(x^4 + 1)(x^4 - 1) = (x^8 + 1)(x^4 + 1)(x^2 + 1)(x+1)(x - 1);]$

$[;g);]$ Neste item, note que $[;x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2\cdot 3x + 3^2 = (x - 3)^2;]$ .

$[;h);]$ $[;4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2\cdot (2x)\cdot 1 + 1^2 = (2x + 1)^2;]$ .

Exercícios Propostos:

1) Use as regras acima e calcule:

$[;a);]$ $[;\frac{x^2}{\sqrt{x}};]$

$[;b);]$ $[;\sqrt{\sqrt[3]{\frac{xy^2}{x^3y}}};]$

$[;c);]$ $[;\sqrt[6]{\frac{y}{x^2}};]$

$[;d);]$ $[;(\sqrt{2y} - \sqrt{3x})(\sqrt{2y} - \sqrt{3x});]$

$[;e);]$ $[;\biggl(\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}}\biggr)^2;]$

$[;f);]$ $[;(3x - y)^3;]$

$[;g);]$ $[;\frac{x^3}{27} + 1;]$

$[;h);]$ $[;\frac{8x^3 - 64}{x - 2};]$

$[;i);]$ $[;\frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1};]$

2) Prove que

$[;\biggl(\frac{m + n}{2}\biggr)^2 - \biggl(\frac{m - n}{2}\biggr)^2 = m\cdot n;]$

3) Sejam $[;a;]$ , $[;b;]$ e $[;c;]$ números reais. Mostre que

$[;(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc;]$

4) Calcule o produto

$[;(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)(1 + x^{16});]$

Resposta: $[;1 - x^{32};]$

5) Fatore a expressão $[;x^4 + 4y^4;]$ .

Resposta: $[;(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y2);]$ .

6) Se $[;a + b + c = 0;]$ , mostre que $[;a^3 + b^3 + c^3 = 3abc;]$ .

7) Sem usar uma calculadora, calcule $[;999\cdot 1001;]$ .

8) Mostre que

$[;(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a);]$

9) Prove a identidade de Platão

$[;(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2 = (a^2 + b^2)^2;]$

Gostará de ler também:
- Matemática Elementar por Isaac Newton;
- Identidades Algébricas;
- Blocos Algébricos no Ensino Fundamental;
- Cálculo de Limites Algébricos e Irracionais Algébricos;

7 comentários:

Aloisio Teixeira5 de março de 2012 09:12
Olá, Prof. Paulo Sérgio

Uma postagem excelente para revisão vizando concursos e vestibulares. Eu conhecia esse bastante interessante que meu professor de segundo ano me mostrou: [;x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2);].

Tenha uma boa semana!
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Aloisio Teixeira5 de março de 2012 09:18
Agora reparei que o meu exemplo é equivalente a sua questão 5).Mas acho que esqueceu de colocar o [;y;] na seua expressão.

Valeu.
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Prof. Paulo Sérgio5 de março de 2012 09:37
É verdade, confundi ao digitar a expressão acima. Obrigaddo pelo comentário e volte sempre!
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paulo marcio5 de março de 2012 10:46
ola, Prof Paulo Sergio
Parabéns pelo post a álgebra é uma importante ferramenta na matemática.
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Francisco Valdir5 de março de 2012 11:06
Olá, Paulo!!!

Parabéns, pela postagem tão bem ilustrada, demonstrada e exemplificada através dos exercícios que postou!!!! Esse assunto da álgebra só ficará mais fácil de ser entendido se usarmos deses recursos das imagens como o fez aqui!!

Um abraço!!!!!
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Kleber Kilhian5 de março de 2012 12:40
Muito legal Paulo. Acho que essa integração da álgebra com a geoemtria funciona muito bem. Nesses exemplos mais simples de construir figuras, creio elucidar completamente as dúvidas.
Um abraço.
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Prof. Paulo Sérgio5 de março de 2012 13:51
Este assunto é elementar mas é muito interessante e presta uma grande contribuição na formação do pensamento matemático dos alunos. Novamente, agradeço aos comentários do Paulo Márcio, do Francisco e do Kleber.
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