FATOS MATEMÁTICOS: Superfícies Quádricas: O Hiperbolóide de duas Folhas

quarta-feira, 7 de março de 2012

Superfícies Quádricas: O Hiperbolóide de duas Folhas

As quádricas centradas são dadas pela expressão

$[;\pm \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} = 1 \qquad (1);]$

Esta expressão é chamada de forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica centrada. Se apenas um dos sinais em $[;(1);]$ é positivo, a quádrica centrada é dita hiperbolóide de duas folhas. Assim, as possíveis equações para os hiperbolóides de duas folhas são:

$[;\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \qquad (2);]$

$[;-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \qquad (3);]$

$[;-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \qquad (4);]$

O eixo de simetria de um hiperbolóide de duas folhas é um dos eixos coordenados e é dado pelo eixo cuja variável esteja no termo positivo. Por exemplo, na expressão $[;(4);]$ , o termo positivo é $[;z^2/c^2;]$ , de modo que o eixo de simetria é o eixo $[;z;]$ conforme a figura acima. Sendo assim, podemos dizer que o hiperbolóide dado pela expressão $[;(2);]$ estende-se na direção do eixo $[;x\;]$ e o hiperbolóide dado por $[;(3);]$ estende-se na direção do eixo $[;y;]$ .

Os traços (interseção da superfície com os planos coordenados) são obtidos fazendo $[;x = 0;]$ , $[;y = 0;]$ e $[;z = 0;]$ . Observamos que o hiperbolóide da figura acima não intercepta o plano $[;xy;]$ o que esta de acordo com sua expressão algébrica, pois o traço com este plano coordenado é obtido fazendo $[;z = 0;]$ para obter

$[;-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (5);]$

Mas não existem pares ordenados com $[;x, y \in \mathbb{R};]$ que satisfazem a equação $[;(5);]$ , pois o primeiro membro é menor ou igual a zero, enquanto que o segundo membro é igual a $[;1;]$ .

Por outro lado, este hiperbolóide cuja equação cartesiana é dada por $[;(4);]$ intercepta os planos coordenados $[;xz;]$ e $[;yz;]$ . Tais traços são hiperbóles e são dadas por

$[;-\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1, \qquad -\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;]$

respectivamente.

No caso em que os coeficientes dos termos negativos são iguais, dizemos que o hiperbolóide é de revolução. Por exemplo, se $[;a = b;]$ na expressão $[;(4);]$ , temos

$[;-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad z^2 = \frac{c^2}{a^2}(x^2 + y^2 + a^2);]$

Observe que a interseção deste hiperbolóide com o plano $[;z = k;]$ para $[;|k| \geq c;]$ é dado por

$[;x^2 + y^2 + a^2 = \frac{k^2a^2}{c^2} \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = \frac{a^2}{c^2}\biggl(k^2 - c^2\biggr) \qquad (6);]$

Desta forma, se $[;|k| = c;]$ , então e o único ponto que satisfaz $[;(6);]$ é $[;(0,0);]$ . Para $[;|k| \succ c;]$ , a expressão $[;(6);]$ representa circunferências centradas na origem de raio igual a

$[;r = \frac{a}{c}\sqrt{k^2 - c^2};]$

Exemplo 1: A superfície quádrica

$[;-\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{9} = 1;]$

é um hiperbolóide de revolução na direção do eixo $[;x\;]$ . Observe que ele não intercepta o plano $[;yz;]$ , mas para $[;k \prec -2;]$ ou $[;k \succ 2;]$ a interseção do plano $[;y =4;]$ com este hiperbolóide são circunferências de equações iguais a