FATOS MATEMÁTICOS: Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 3)

quarta-feira, 21 de março de 2012

Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 3)

Veremos nesta terceira parte, um dos teoremas mais belos e profundos da Matemática, com muitas aplicações e consequências importantes.

Teorema 1: (Teorema Fundamental do Cálculo) Se $[;f;]$ é uma função contínua em $[;[a,b];]$ , e $[;F;]$ é uma primitiva de $[;f;]$ em $[;[a,b];]$ , então

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \qquad (1);]$

Demonstração: Sendo $[;F(x);]$ e $[;A(x);]$ primitivas de $[;f(x);]$ para $[;x \in [a,b];]$ , então existe uma constante $[;C;]$ tal que $[;F(x) = A(x) + C;]$ para todo $[;x \in [a,b];]$ . Fazendo $[;x = a;]$ , temos $[;F(a) = A(a) + C = C;]$ , pois $[;A(a) = 0;]$ de modo que $[;A(x) = F(x) - F(a);]$ . Fazendo $[;x = b;]$ , temos

$[;A(b) = \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a);]$

Observação 1: Este teorema transforma a difícil tarefa de calcular integrais definidas por meio de cálculo de limites de somas em um problema muito mais fácil de encontrar integrais indefinidas. Portanto, para achar o valor da integral definida

$[;\int_{a}^{b}f(x)dx;]$

não temos que calcular somatórios construídos a partir da subdivisão do intervalo $[;[a,b];]$ ; simplesmente achamos uma integral indefinida

$[;F(x) = \displaystyle{\int f(x)dx};]$

usando as técnicas de integração estudadas anteriormente e calculamos o número $[;F(b) - F(a);]$ .

Corolário 1: (Mudança de variáveis em integrais definidas) Se $[;u = g(x);]$ , então

$[;\int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du;]$

Demonstração: Seja $[;u = g(x);]$ . Assim, $[;du = g^{\prime}(x)dx;]$ e se $[;x = a;]$ , temos $[;u = g(a);]$ e se $[;x = b;]$ , temos $[;u = g(b);]$ . Logo,

$[;\int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du;]$

Definição 1: Seja $[;f;]$ contínua em $[;[a,b];]$ . O valor médio de $[;f;]$ denotado por $[;\bar{f};]$ neste intervalo é definido por

$[;\mu = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}f(x)dx;]$

Teorema 2: Seja $[;f;]$ uma função integrável no intervalo $[;[-a,a];]$ , então

i) Se $[;f;]$ é uma função par, isto é, $[;f(x) = f(-x);]$ então

$[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx;]$

$[;ii);]$ Se $[;f;]$ é uma função ímpar, isto é, $[;f(-x) = -f(x);]$ então

$[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0;]$

Demonstração:

$[;i);]$ Note que

$[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx;]$

Fazendo $[;x = -u;]$ na primeira integral, segue que

$[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{a}^{0}f(-u)(-du) + \int_{0}^{a}f(x)dx = + \int_{0}^{a}f(-u)du + \int_{0}^{a}f(x)dx;]$

Usando o fato que $[;f;]$ é par, obtemos

$[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx;]$

$[;ii);]$ De maneira análoga, fazemos $[;x = -u;]$ , de modo que

$[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{a}^{0}f(-u)(-du) + \int_{0}^{a}f(x)dx = + \int_{0}^{a}f(-u)du + \int_{0}^{a}f(x)dx;]$

Usando o fato que $[;f;]$ é uma função ímpar, segue o resultado.

Exemplo 1: Calcule a área sob o gráfico da função abaixo:

Resolução: A primitiva de $[;f(x) = 4 - x^2;]$ é $[;F(x) = 4x - \frac{x^3}{3} + C;]$ . Usando o fato que $[;f;]$ é uma função par, temos:

$[;S = 2\int_{0}^{2}(4 - x^2)dx = F(x)]_{0}^{2} = \biggl[4x - \frac{x^3}{3} + C \biggr]_{0}^{2}= \frac{64}{3}\ u.a.;]$

Observação 1: Devido ao fato que a constante de integração $[;C;]$ é cancelada na operação acima, é usual escrever $[;F(x);]$ omitindo esta constante.

Exemplo 2: Faça a mudança de variáveis na integral abaixo:

$[;\int_{-1}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx;]$

Resolução: Sendo o integrando uma função par, pelo teorema 2, temos:

$[;\int_{-1}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx = 2\int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx;]$

Em seguida, fazemos $[;x = \sin \theta;]$ , de modo que $[;dx = \cos \theta d\theta;]$ . Se $[;x = 0;]$ , note que $[;\sin \theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta = 0;]$ e se $[;x = 1;]$ , temos $[;\sin \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \theta = \arcsin 1 = \pi/2;]$ . Assim,

$[;\int_{-1}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx = 2\int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx = 2\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1 - \sin^2 \theta}\cos \theta d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta;]$

Gostará de ler também:
- Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 1);
- Teoremas Relativos a Integral Definida (Parte 2);
- A Integral Definida: Conceitos e Propriedades;
- Integrais que Dependem de um Parâmetro;