FATOS MATEMÁTICOS: Funções Sobrejetoras

quinta-feira, 12 de abril de 2012

Funções Sobrejetoras

Dada uma função $[;f;]$ , em algumas situações é interessante saber se ela faz a correspondência dos elementos do seu domínio com todos os elementos do contra-domínio. Neste caso, o conjunto imagem de $[;f;]$ é igual ao seu contra-domínio. Formalmente, temos a seguinte definição:

Definição 1: Dizemos que a função $[;f : \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};]$ é sobrejetora se para todo $[;y \in B;]$ , existe pelo menos um $[;x \in A;]$ tal que $[;f(x) = y;]$ .

Exemplo 1: Mostre que a função $[;f : \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};]$ dada por $[;f(x) = 2x + 1;]$ é sobrejetora.
Resolução: De fato, seja $[;y \in \mathbb{R};]$ . Tomando $[;x = (y - 1)/2 \in \mathbb{R};]$ , segue que

$[;f(x) = f(\frac{y-1}{2}) = 2\cdot (\frac{y-1}{2}) + 1 = y - 1 + 1 = y;]$

Observe que o valor de $[;x\;]$ foi encontrado resolvendo a expressão $[;y = 2x+1;]$ para $[;x\;]$ .

Dada a função $[;f: \ A \subset \mathbb{R} \rightarrow B;]$ e a reta $[;y = k;]$ , com $[;k \in \mathbb{R};]$ , então se $[;f;]$ é sobrejetora, a equação $[;f(x) - k = 0;]$ admiti pelo menos uma raiz real. Geometricamente, a reta $[;y = k;]$ paralela ao eixo $[;x\;]$ intercepta o gráfico de $[;f;]$ em pelo menos um ponto.

Exemplo 2: Seja $[;f : \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};]$ dada por $[;f(x) = 4x - x^2;]$ .
a) Mostre que $[;f;]$ não é sobrejetora;
b) Seja $[;h: \ \mathbb{R} \rightarrow (-\infty,4);]$ dada por $[;h(x) = f(x);]$ . Mostre que $[;h;]$ é sobrejetora.
Resolução:

a) Como o gráfico de $[;f;]$ é uma parábola, dada a reta $[;y = k;]$ , basta escolher um $[;k \in \mathbb{R};]$ de modo que a equação $[;4x - x^2 - k = 0;]$ não admita raízes reais. Para isso, o discriminante desta equação deve ser menor que zero, ou seja:

$[;\Delta = 4^2 - 4(-1)(-k) \prec 0 \quad \Rightarrow \quad -4k \prec - 16 \quad \Rightarrow \quad k \succ 4;]$

b) Seja $[;y \in (-\infty,4];]$ . Mostraremos que a equação $[;4x - x^2 = y;]$ admite pelo menos uma raiz. Para isso, note que

$[;\Delta = 4^2 - 4(-1)(-y) = 16 - 4y;]$

Como $[;y \in (-\infty,4];]$ , então $[;y \leq 4 \quad \Rightarrow \quad -4y \geq -16;]$ , ou seja, $[;16 - 4y \geq 0;]$ e portanto, $[;\Delta \geq 0;]$ , donde segue o resultado. Na figura abaixo, temos o gráfico da função $[;h(x);]$ .

Observação 1: Sendo $[;y \in (-\infty,4];]$ , então $[;x\;]$ é dado por

$[;x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4y}}{-2} = 2 \pm \sqrt{4 - y};]$

Exemplo 3: Mostre que a função $[;f: \ \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R};]$ , dada por $[;f(x) = (x+2)/(x - 2);]$ não é sobrejetora.

Resolução: Seja $[;y = k;]$ , com $[;k \in \mathbb{R};]$ uma reta paralela ao eixo $[;x\;]$ . Mostraremos que alguns valores de $[;k;]$ , a equação

$[;\frac{x + 2}{x - 2} = k;]$

não admite soluções. De fato, desta expressão, temos:

$[;x + 2 = k(x - 2) \quad \Rightarrow \quad (1 - k)x = -2k - 2 = -2(k+1);]$ . Para $[;k=1;]$ , temos $[;0 = -4;]$ . Absurdo! Logo, a função dada não é sobrejetora.

Proposição 1: Sejam $[;f:\ A \rightarrow B;]$ e $[;g:\ B \rightarrow C;]$ funções sobrejetoras. Então a função

$[;h:\ A \rightarrow C\\x \mapsto h(x) = g\circ f(x) = g(f(x));]$

é sobrejetora.

Demonstração: Seja $[;k \in C;]$ . Como $[;g;]$ é sobrejetora, existe $[;y \in B;]$ tal que $[;g(y) = k;]$ . Como $[;f;]$ é sobrejetora, existe $[;x \in A;]$ tal que $[;f(x) = y;]$ . Para este valor de $[;x\;]$ , segue que

$[;h(x) = g(f(x)) = g(y) = k;]$

ou seja, $[;h;]$ é uma função sobrejetora.

Exercícios Propostos:

$[;1);]$ Seja a função $[;f:\ A \rightarrow B;]$ dada por $[;f(x) = (x+1)/(x-1);]$ . Ache $[;B;]$ , de modo que $[;f;]$ seja sobrejetora.

$[;2);]$ Mostre que a função $[;f:\ \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R};]$ , dada por

$[;f(x) = \frac{x^{1/3}}{x^{1/3} - 1};]$

é injetora, mas não é sobrejetora.

$[;3);]$ Sejam $[;f:\ A \rightarrow B;]$ e $[;g:\ B \rightarrow C;]$ duas funções. Prove que se $[;g\circ f;]$ é sobrejetora, então $[;g;]$ é sobrejetora.

Gostará de ler também:
- Funções Injetoras;
- Um Modo Diferente de Estudar as Funções Inversas;
- Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 1);
- Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 2).