FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 12)

domingo, 1 de abril de 2012

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 12)

$[;34);]$ Prove que toda reta paralela a uma das assíntotas de uma hipérbole encontra a curva em apenas um ponto.

$[;35);]$ Se $[;x \in \mathbb{Q};]$ e $[;x^2 \in \mathbb{Z};]$ , mostre que $[;x \in \mathbb{Z};]$ .

$[;36);]$ Mostre que a equação da circunferência que passa pelos pontos $[;A(\bar{\delta},0);]$ , $[;B(\delta,0);]$ e $[;C(0,\bar{\delta});]$ intercepta o eixo $[;y;]$ no ponto $[;D(0,\delta);]$ . Sendo $[;\delta = 1 + \sqrt{2};]$ (constante prateada) e $[;\bar{\delta} = 1 - \sqrt{2};]$ .

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 11).

$[;31);]$ Os números de Fibonacci são definidos pela relação de recorrência $[;F_{n+2} = F_{n+1} + F_n;]$ para $[;n \geq 1;]$ com $[;F_1=F_2=1;]$ . Prove que:

$[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}F_{k+1} = F_{2n+1};]$

Resolução: Pela fórmula de Binet,

$[;F_{k+1} = \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{k+1} - \psi^{k+1});]$

Assim,

$[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}F_{k+1} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{k+1} - \psi^{k+1});]$

$[;=\frac{\phi}{\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\phi^k - \frac{\psi}{\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\psi^k;]$

$[;=\frac{\phi}{\sqrt{5}}(\phi + 1)^n - \frac{\psi}{\sqrt{5}}(\psi + 1)^n;]$

Mas, $[;\phi^2 = \phi + 1;]$ e $[;\psi^2 = \psi + 1;]$ . Logo,

$[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}F_{k+1} = \frac{\phi}{\sqrt{5}}\phi^{2n} - \frac{\psi}{\sqrt{5}}\psi^{2n} = \frac{\phi^{2n+1}}{\sqrt{5}} - \frac{\psi^{2n+1}}{\sqrt{5}} = F_{2n+1};]$

pela fórmula de Binet.
$[;32);]$ Prove que em qualquer triângulo $[;ABC;]$ , $[;\sin A\cdot \sin B \cdot \sin C \leq 1/8;]$ .

Resolução: Veja a Proposição 2 do post Uma Desigualdade Entre o Circunraio e o Inraio de um Triângulo.

$[;33);]$ Seja $[;x \succ 0;]$ . Prove que

$[;\frac{x^2}{2} \prec e^x;]$

Sugestão: Analise a função $[;f(x) = e^x - x^2/2;]$ .
Resolução: Apresentaremos a solução de um problema mais geral, de modo que este é um caso particular.

Problema:

$[;e^x \geq \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}, \qquad x \in [0,+\infty);]$

Solução: Para $[;n = 1;]$ , seja $[;f(x) = e^x;]$ e considere o intervalo $[;[0,x];]$ . Note que $[;f;]$ é contínua em $[;[0,x];]$ e derivável no aberto $[;(0,x);]$ . Assim, pelo teorema do valor médio, existe $[;\xi \in (0,x);]$ tal que

$[;f(x) - f(0) = f^{\prime}(\xi)(x - 0) \quad \Rightarrow \quad e^x - 1 = e^{\xi}x \geq x \quad \Rightarrow \quad e^x \geq 1 + x;]$

Suponhamos que

$[;e^x \geq \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!};]$

e provaremos que

$[;e^x \geq \sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^k}{k!};]$

De fato, seja

$[;g(x) = e^x - \sum_{k=0}^{n+1}\frac{x^k}{k!};]$

no intervalo $[;[0,x];]$ . Note que $[;g;]$ é contínua nesse intervalo e derivável em $[;(0,x);]$ . Assim, pelo TVM, existe $[;\xi \in (0,x);]$ tal que $[;g(x) - g(0) = g^{\prime}(\xi)(x - 0);]$ , donde segue que

$[;g(x) - 0 = \biggl[e^{\xi} - \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi^{k-1}}{(k-1)!}\biggr]x = xe^{\xi} - \sum_{k=0}^{n}\frac{\xi^k}{k!}x;]$

$[;\geq x\sum_{k=0}^{n}\frac{\xi^k}{k!} - x\sum_{k=0}^{n}\frac{\xi^k}{k!} = 0;]$

donde segue o resultado. Para $[;n = 2;]$ , temos:

$[;e^x \geq \frac{x^2}{2} + x + 1 \succ \frac{x^2}{2};]$

Observação 1: No post, Aplicações do Teorema de Rolle, apresentamos um problema semelhante a este.

Observação 2: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas $[;34);]$ , $[;35);]$ e $[;36);]$ encerra no dia 30/04/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 9);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 8);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7);