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domingo, 22 de abril de 2012

A Série dos Recíprocos dos Números Primos

No post anterior, sobre A Função Zeta de Euler, uma consequência interessante é sobre a divergência da série harmônica. Este resultado que foi obtido primeiramente por Nicole Oresme, também pode ser obtido pelo teste da integral.

Apresentaremos, seguindo os passos de Leonhard Euler que a série dos recíprocos dos números primos também é divergente. Mas antes, veremos o lema seguinte:

Lema 1: Para [;x \in [-1/2,0);], vale a desigualdade:

[;2x \prec \ln(1 + x);]

Demonstração: Seja [;f(x) = \ln(1 + x) - 2x;] para [;x \in [-1/2,0];]. Note que [;f(-1/2) = 1 - \ln 2 \succ 0;] e [;f(0) = 0;]. Como

[;f^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + x} - 2 \quad \Rightarrow \quad f^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2} \prec 0;]

para todo [;x \in \mathbb{R}-\{-1\};]. Assim, [;f;] é côncava para baixo, donde segue que [;f(x) \succ 0;] para [;x \in [-1/2,0);], donde segue o resultado.

Proposição 1: A série dos inversos dos primos diverge, ou seja:

[;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{p_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \ldots = +\infty \qquad (1);]

Demonstração: A prova de [;(1);] que demos aqui inicia-se com as séries geométricas

[;\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \ldots;]

[;\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \ldots;]

[;\frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \ldots;]

[;\ldots;]

[;\frac{1}{1 - \frac{1}{p_n}} = 1 + \frac{1}{p_n} + \frac{1}{p_{n}^{2}} + \ldots;]

Multiplicando essas séries membro a membro, temos

[;\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{5}}\cdot \cdot \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p_n}}= \sum_{\text{fp's} \ \leq \ p_n}\frac{1}{k} \qquad (2);]

onde [;fp's;] significa "fatores primos". Como todo inteiro maior que [;1;] expressa-se de modo único como produto de potências de primos diferentes, o produto das séries geométricas acima representa a série dos inversos de todos os inteiros positivos cujos fatores primos são menores ou iguais a [;p_n;]. Em particular, vemos que

[;\sum_{\text{fp's}\ \leq \ p_n}\frac{1}{k} \geq \sum_{k=1}^{p_n}\frac{1}{k} \qquad (3);]

Substituindo [;(3);] em [;(2);], temos:
[;\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{5}}\cdot \cdot \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p_n}}\geq \sum_{k=1}^{p_n}\frac{1}{k} \qquad (4);]

Considere agora a função [;f(x) = 1/x;] para [;x \in [1,p_n];] representada na figura abaixo.

Temos a seguinte desigualdade para a área aproximada:

[;S_n = (2 - 1)\cdot 1 + (3 - 2)\cdot \frac{1}{2} + (4 - 3)\cdot \frac{1}{3} + \ldots + (p_n - p_n +1)\frac{1}{p-n};]

[;= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{p_n} = \sum_{k=1}^{p_n}\frac{1}{k} \succ \int_{1}^{p_n}\frac{1}{x}dx =\ln p_n \qquad (5);]

Substituindo [;(5);] em [;(4);], segue que

[;\frac{1}{\biggl(1 - \frac{1}{2}\biggr)\biggl(1 - \frac{1}{3}\biggr)\biggl(1 - \frac{1}{5}\biggr)\ldots \biggl(1 - \frac{1}{p_n}\biggr)} \succ \ln p_n\qquad \Rightarrow;]

[;\biggl(1 - \frac{1}{2}\biggr)\biggl(1 - \frac{1}{3}\biggr)\biggl(1 - \frac{1}{5}\biggr)\ldots \biggl(1 - \frac{1}{p_n}\biggr) \prec \frac{1}{\ln p_n} \qquad (6);]

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados de [;(6);], temos

[;\ln\biggl(1 - \frac{1}{2}\biggr) + \ln\biggl(1 - \frac{1}{3}\biggr) + \ln\biggl(1 - \frac{1}{5}\biggr) + \ldots +\ln\biggl(1 - \frac{1}{p_n}\biggr) \prec \ln \ln p_{n}^{-1} \qquad \Rightarrow;]

[;\sum_{k=1}^{n}\ln\biggl(1 - \frac{1}{p_k}\biggr) \prec -\ln\ln p_n \qquad (7);]

Sendo [;p_k \geq 2;], então [;-1/p_k \geq -1/2;] para [;k \in \mathbb{N}^{\ast};]. Do Lema [;(1);], segue que

[;-\frac{2}{p_k} \prec \ln\biggl(1 - \frac{1}{p_k}\biggr) \quad \Rightarrow;]

[;-2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p_k} \prec \sum_{k=1}^{n}\ln\biggl(1 - \frac{1}{p_k}\biggr) \qquad (8);]

De [;(7);] e [;(8);], concluímos que

[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p_k} \succ \frac{1}{2}\ln \ln p_n \to +\infty \quad \text{quando} \quad n \to +\infty;]

Para ver isso, seja [;f(x) = \ln \ln x;], para [;x \succ 1;]. Como [;f^{\prime}(x) = 1/(x\ln x) \succ 0;], segue que [;f;]é crescente neste intervalo, de modo que [;\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}\ln\ln p_n = +\infty};].

Observação 1: Viggo Brun, em [;1919;], demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.

[;B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots;]

[;\approx 1,9021605823;]

O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.

Referências Bibliográficas:
- http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Brun
- Simmons, George B. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. Ed. Makron Books. São Paulo, 1987.

Gostará de ler também:
- Teoremas Interessantes Sobre Números Primos;
- O Maior Número Primo Conhecido;
- Teste de Primalidade;
- Existem Infinitos Números Primos.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 22.4.12
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6 comentários:

  1. Parabéns por esta excelente postagem, Paulo!

    Ainda permanece envolto na névoa matemática o somatório dos quadrados dos recíprocos dos primos...

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  2. Não tinha pensado sobre esse problema da soma série dos quadrados dos recíprocos dos primos. Pelo teste da comparação, vemos que esta soma é convergente e pesquisando na internet, vi que ela é próxima de 0.45. Mas acho que seria muito interessante descobrir a soma exata ou saber se ela é racional ou irracional. De tudo isto, parece que temos muitas questões abertas relacionadas com os números primos ou a função zeta. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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    Respostas

    1. Oi, Prof. Paulo, Manipulando irresponsavelmente zeta(4) e zeta(2) encontrei um valor aproximado, é claro, para o somatório dos recíprocos dos quadrados dos primos, deu [ln(15/6)]/2...Obrigado abrçs

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    2. Oi, Tavano!

      Como conseguiu este resultado??

      Estava com alguns projetos em andamento. O seu artigo sobre o UTF saíra no post número 009, ok?

      Em breve ( próxima postagem ) publicarei como descobri um limite de uma série infinita genérica que nunca vi antes em livros ou internet.

      Até mais.

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    3. Oi, Teixeira! Usando um teorema seu provei uma fórmula sobre álbuns de figurinhas que já tinha 17 anos. Sobre o assunto: Não é nada rigoroso é só experiência, Empiricamente, pp=p^2, descobri que ln(1-1/pp)~=-1/(pp-0,5), Bom, P significa produtório infinito e S série. 1/zeta(2)=P(1-1/pp)=> ln(1/zeta(2))=S(-1/(pp-0,5))= ln(6/(pi^2), Então S(1/(pp-0,5)) é um limitante superior da série dos recíprocos dos quadrados dos primos, na verdade ln((pi^2)/6)= 0,4977. Agora, 1/zeta(4)=P(1-1/pppp)=P[(1-1/pp)(1+1/pp)]=P[(1-1/pp)]*P[1+1/pp]=6/(pi^2)*15/(pi^2)=90/(pi^4) descobri então sabendo o valor de zeta(4)=(pi^4)/90 o valor de P(1+1/pp)=15/(pi^2) e daí ln{P(1+1/pp)}=S(1/(pp+0,5))=ln(15/(pi^2))=0,41859042 que é um limitante inferior da série, daí de raiva tirei a média aritmética dos dois valores quais sejam ln(15/pi^2)e ln[pi^2)/6]. É algo despretensioso só uma primeira aproximação do problema. Obrigado a você e ao Prof. Paulo...abçs

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  3. Olá Tavano. Bem interessante o seu método aproximado de achar a soma dos reciprocos ao quadrado. Se quiser enviar por e-mail linnux2001@gmail.com um texto digitado e detalhado para eu publicar no blog, fique a vontade.

    Aloisio, acho que você deveria voltar a publicar nos Elementos de Teixeira os seus excelentes posts.

    Agradeço pelos seus comentários enriquecedores.

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