Uma Breve História da Hipótese de Riemann

Em agosto de , o grande matemático David Hilbert inaugurou o Congresso Internacional de Matemática realizado em Paris, apresentando uma lista de problemas que, segundo ele, ditariam o rumo dos exploradores matemáticos do século . De todos os desafios lançados por Hilbert, o oitavo tinha algo de especial.

Há um mito alemão sobre Frederico Barba-Ruiva, um imperador muito querido que morreu durante a Terceira Cruzada. Segundo a lenda, Barba-Ruiva ainda estaria vivo, adormecido em uma caverna nas montanhas Kyffhauser, e só despertaria quando a Alemanha precisasse dele. Conta-se que alguém perguntou a Hilbert:

”E se, como Barba-Ruiva, você pudesse acordar anos, o que faria? ”Hilbert respondeu: Eu lhe perguntaria: ”Alguém conseguiu provar a hipótese de Riemann?”

Hilbert respondeu: Eu lhe perguntaria: "Alguém conseguiu provar a hipótese de Riemann?"

Os matemáticos sabem que a prova da hipótese de Riemann terá um significado muito maior para o futuro da matemática do que saber se a equação de Fermat tem ou não tem soluções. Este problema matemático, procura compreender os objetos mais fundamentais da matemática - os números primos.

Esse números são os átomos da aritmética. São os números indivisíveis que não podem ser representados pela multiplicação de dois números menores e a importância destes números, se deve a sua capacidade de gerar todos os demais números. Observamos que cada uma das moléculas do mundo físico pode ser composta por átomos da tabela periódica e de forma análoga, uma lista de primos é a tabela periódica do matemático.

A busca pela origem secreta dos primos já dura mais de dois mil anos. Atualmente, é oferecida uma recompensa de um milhão de dólares para a solução da hipótese de Riemann. Em , Andrew Wiles recebeu mil marcos por sua prova do último teorema de Fermat, graças a um prêmio oferecido por Paul Wolfskehl em .

Durante gerações, os matemáticos estiveram obcecados pela tentativa de prever a localização precisa do próximo número primo, produzindo fórmulas que gerassem esses números. Por exemplo, em , Euler observou que a expressão , produz números primos para . Carl F. Gauss, teve uma ideia inovadora e deparou com uma espécie de padrão ao fazer uma pergunta mais ampla buscando descobrir a quantidade de primos entre um e um milhão em vez de localizar os primos com precisão. Apesar da importância dessa descoberta, Gauss não a revelou a ninguém, mas um de seus alunos, Riemann, foi quem realmente desatou toda a força das harmonias ocultas por trás da cacofonia desses números.

O pai de Riemann, que era o pastor de Quickoborn, tinha muitas expectativas em relação ao filho. Embora Bernhard Riemann fosse infeliz na escola, trabalhava firme e era muito dedicado a não decepcionar seu pai. Porém, tinha de lutar contra um perfeccionismo quase incapacitante. Schumalfuss foi quem encontrou uma maneira de animar o jovem a explorar sua obsessão pela perfeição, oferecendo a Riemann sua biblioteca, com uma ótima coleção de livros de matemática, onde o rapaz poderia escapar das pressões sociais dos colegas. A família de Riemann era pobre, e o pai de Bernhard esperava que o filho também entrasse na vida clerical, o que lhe faria uma fonte de renda regular com a qual poderia sustentar suas irmãs. A única universidade do Reino de Hanover que oferece a cátedra de teologia - a Universidade de Göttingen - não era um desses novos estabelecimentos, havendo sido fundada mais de um século antes, em . Assim, atendendo aos desejos de seu pai, Riemann rumou, em , para a úmida Göttingen.

Em , George F. B. Riemann, com anos, foi eleito para a Academia de Ciências de Berlim. Como regra desta instituição, os novos membros deviam fazer um relatório sobre o assunto que estava pesquisando. O seu relatório era curto (foi publicado com páginas) e tinha por título Sobre o quantidade de número primos que não excedem uma grandeza dada. Essas oito páginas de densa matemática foram as únicas que Riemann publicou, em toda sua vida, sobre os números primos, mas o artigo teria um efeito fundamental sobre a maneira como eram percebidos. Escondido neste documento de oito páginas, estava declarado o problema cuja solução possui hoje uma etiqueta com o valor de um milhão de dólares: a hipótese de Riemann.

Apesar de sua relevância, temos uma escassa literatura em língua portuguesa sobre o assunto. O presente trabalho é uma pequena contribuição para aqueles que tenham interesse, ou mesmo curiosidade a respeito da função zeta de Riemann, e não tenham acesso à literatura estrangeira.

A Função Zeta de Riemann

Riemann estendeu a definição da função Zeta de Euler para os números complexos. Escrevendo , temos que:

Usando este resultado, juntamente com o teste de Weierstrass, segue-se que a função zeta de Riemann dada por

é analítica para . Podemos estender a analiticidade de , para e também para todo o plano complexo, exceto no ponto , onde ocorre o único pólo da função , como ilustrado na figura abaixo:

A representação integral da função zeta de Riemann é dada pela proposição abaixo.

Proposição 1: Seja . Se , então

onde é a função gama de Euler, definida por

Também é possível estender a função zeta de Riemann para , obtendo a expressão

Notamos um aparente problema no ponto o qual pode ser resolvido da seguinte forma: Sendo , então:

obtendo no ponto . Portanto, a função está definida e é analítica na faixa , com um pólo simples em .

A relação funcional

válida para é o de fundamental importância na teoria da função zeta de Riemann cuja prova pode ser encontrada em .

A Conjectura ou Hipótese de Riemann

A famosa conjectura ou hipotese de Riemann está relacionada com os zeros da função . Os zeros da função zeta localizados em são chamados zeros triviais. Aquele grande matematico afirmou que a função tem infinitos zeros na faixa , conhecida por faixa critica. J. Hadamard foi o primeiro a provar esta afirmação, em .

Uma das mais famosas questões em aberto da Matemática é a hipótese de Riemann sobre os zeros não triviais da função zeta. A hipótese de Riemann estabelece que todos os infinitos zeros da função , pertencentes a faixa critica , estão sobre a reta , que é chamada de reta crítica.

Desta forma, os zeros não triviais da função , de acordo com a conjectura de Riemann, são infinitos e da forma , com real. Até o momento, nenhuma prova foi apresentada para esta conjectura. Este problema não um tipo de problema que pode ser abordado por métodos elementares. Já deu origem a uma extensa e complicada bibliografia.

Riemann enunciou, também sem provar, a seguinte fórmula assintótica para o número de zeros da faixa crítica, , ,

Uma prova rigorosa desta fórmula foi dada, pela primeira vez, por H. V. Mangoldt em e pode ser vista em . Nove anos mais tarde, G. H. Hardy provou que existe uma infinidade de zeros sobre a reta . Mas, uma infinidade não significa que são todos. É interessante notar que se a parte real de é igual a , então a função de Riemann não admite nenhum zero sobre esta linha. Para ver uma prova deste fato, veja .

para

E. C. Titchmarsh mostrou em , que há zeros na região e . Todos estes zeros estão sobre a reta crítica . Com o auxílio de supercomputadores, verificou que os primeiros trilhões de zeros estão sobre a linha crítica, sugerindo portanto, que a hipótese deve ser realmente verdadeira.

Os matemáticos se referem ao problema de Riemann como uma hipótese, e não como uma conjectura, pela existência de muitos resultados que dependem de sua solução. A palavra "hipótese" tem uma conotação muito mais forte, pois representa uma premissa necessária que o matemático aceita para poder construir uma teoria. Uma "conjectura", por outro lado, representa apenas uma previsão do matemático sobre o modo como o mundo se comporta. Muitas pessoas tiveram de assumir sua incapacidade de resolver o enigma de Riemann e decidiram adotar sua previsão como uma hipótese de trabalho. Se alguém conseguir transformar a hipótese em teorema, todos esses resultados pendentes serão validados. (A Música dos Números Primos, pp 19).

As estatísticas dos zeros da função zeta de Riemann é um assunto interessante devido a sua ligação com a hipótese de Riemann e com a distribução dos números primos. Os pesquisadores descobriram também que esta hipótese também está relacionada com a teoria de matrizes aleatórias e o caos quântico. Por exemplo, M. Berry apontou que as correlações entre os zeros de são como as correlações entre os níveis de energia de um sistema quântico caótico. Além disso, a regularização da função zeta de Riemann é usada para regularizar séries divergentes que surgem na Teoria Quântica de Campos. Num exemplo notável, a função zeta de Riemann surge explicitamente no cálculo do efeito Casimir (Atração entre duas pequenas placas metálicas que estão muito próximas entre si, da ordem de vários diâmetros atômicos).

Outra questão envolvendo a hipótese de Riemann é referente aos números primos consecutivos. Se denota o ésimo número primo (de modo que e assim por diante), um resultado provado por Cramer em estabelece que a diferença entre dois números primos consecutivos, , cresce "na mesma velocidade" que . Mais especificamente, existe uma constante real positiva de modo que vale a desigualdade

para todo suficientemente grande. Para provar este resultado, Cramer utilizou crucialmente a Hipótese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princípio ser falso, caso a Hipótese também seja.

Em maio de 2000, o Clay Mathematics Institute (CMI) - ONG norte-americana que desenvolve e dissemina conhecimentos matemáticos - ofereceu sete prêmios no valor de um milhão de dólares cada. Para receber a bolada, basta solucionar um dos problemas de matemática propostos. Mas a riqueza não vem fácil; os problemas são considerados por um comitê de matemáticos como os mais complicados e mais importantes desta área em nossos dias. Esta lista com problemas extremamentes difíceis, contéma hipótese de Riemann e conjectura de Poincaré que foi resolvida pelo matemático russo Grigory Perelmann, o qual recusou o prêmio de milhão de dólares.

A comunidade matemática está esperando surgir outro Grigori Perelmann para solucionar o enigma de Hipótese de Riemann.

Referências Bibliográficas:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hipotese-de-Riemann
Santos, José Carlos. A Hipótese de Riemann - anos.
Aguilera-Navarro, Maria Cecília K. et. al. A Função Zeta de Riemann.
Du Sautoy, Marcus. A Música dos Números Primos: A história de um problema não resolvido na matemática. Trad. Diego Alfaro, Jorge Zahar Ed. Rio de Janeiro, .
Borwein, P. et. ali. The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike. Springer, .

Gostará de ler também:
- George F. B. Riemann;
- Uma Breve História do Cálculo Fracionário;
- Uma Breve História das Matrizes e Determinantes;
- A Função Zeta de Euler;