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quarta-feira, 30 de maio de 2012

A Área do Segmento e da Calota Esférica

O segmento esférico é a região interna de uma esfera delimitada por dois planos paralelos. A distância entre esses planos é a altura e os círculos resultantes da interseção dos planos com a esfera são as bases. 
Se a altura é [;h;] e [;R_1;] e [;R_2;] são os raios da base de um segmento esférico, então seu volume é dado por:
[;V = \frac{\pi h}{6}[3(R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + h^2];]

Para ver a prova deste fato, leiam o excelente post "O Volume de um Segmento Esférico" do blog O Baricentro da Mente. Neste post, usaremos coordenadas polares e técnicas simples de integração para calcular a área do segmento esférico e da calota esférica, obtida anulando o raio de uma das bases do segmento esférico.

Dada uma função [;f;] contínua no intervalo [;[a,b];] e derivável no aberto [;(a,b);], a área do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelo gráfico de [;f;] e pelas retas [;x = a;] e [;x = b;] em torno do eixo [;x\;] é dada por:

[;S = 2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2}dx \qquad (1);]
A demonstração baseia-se nas figuras acima em que o arco de curva é dividido em vários segmentos. Em seguida, soma-se a área de cada tronco de cone formado por essas subdivisões. Aumentando o número de subdivisões e usando o teorema do valor médio e a definição de integral definida, obtemos a expressão acima. 

O termo [;\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2};] é o elemento infinitesimal de comprimento de arco e será denotado por [;dl;]. 

Proposição 1: O elemento infinitesimal de comprimento de arco de uma circunferência de raio de [;a;] em coordenadas polares é 

[;dl = ad\theta \qquad (2);]

Demonstração: De fato, da figura acima, temos:
[;x = a\cos \theta \quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{d\theta} = -a\sin \theta;]
e
[;y = a\sin \theta \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{d\theta} = a\cos \theta;]
de modo que
[;dl = \sqrt{1 + \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^2}dx = \sqrt{dx^2 + dy^2};] 
[;=\sqrt{\biggl(\frac{dx}{d\theta}\biggr)^2 + \biggl(\frac{dy}{d\theta} \biggr)}d\theta = \sqrt{(-a\sin \theta)^2 + (a\cos \theta)^2}d\theta;]

donde segue que [;dl = ad\theta;]. 

Proposição 2:  (Arquimedes) A área lateral de um segmento esférico de altura [;h;] obtido de uma esfera de raio [;a;] é igual a área de uma faixa lateral de largura [;h;] de um cilindro de raio [;a;].

Demonstração: Substituindo [;(2);] em [;(1);] e usando o fato que [;y = a\sin \theta;], temos:
[;S = 2\pi \int_{\theta_1}^{\theta_2}a\sin \theta ad\theta = 2\pi a^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin \theta d\theta;]
[;=2\pi a^2 (-\cos \theta)|_{\theta_1}^{\theta_2} = 2\pi a (a\cos \theta_1 - a \cos \theta_2) \qquad (3);]

Da figura abaixo, notamos que 
[;h = x_1 - x_2 = a\cos \theta_1 - a\cos \theta_2 \qquad (4);] 
Substituindo [;(4);] em [;(3);], obtemos [;S = 2\pi ah;].

No caso de uma calota esférica obtida de um segmento esférico fazendo[;R_1 = 0;], temos:

[;S = 2\pi a^2\int_{0}^{\theta_2}\sin \theta d\theta = 2\pi a^2 \int_{0}^{\theta_2}\sin \theta d\theta;]
[;=2\pi a^2(-\cos \theta)|_{0}^{\theta_2} = -2\pi a(a - a\cos \theta_2);]
[;= 2\pi a (a - x_2) = 2\pi a h;]
de modo que o teorema de Arquimedes continua válido.

Gostará de ler também:
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 30.5.12
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4 comentários:

  1. Além do valoroso conteúdo matemático, um post que agrada a vista devido a ser muito bem estruturado e esteticamente diagramado. Parabéns!

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    1. Obrigado pelos elogios, neste post tentei escrever da melhor forma possível sem ser muito técnico. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  2. Bem legal Paulo. Essa técnica de utilizar a fórmula para o comprimento de arco, serve para calcular a superfície de qualquer sólido de revolução, não? Mas não necessariamente precisamos saber a função da curva, não é? Bastaria colocar o elemento infinitesimal de arco em função de x e y em suas formas polares, como foi feito lá no começo e depois aplicar em dl. Isso tem uma aplicabilidade muito grande não é? Gostei de saber mais esta!

    Um grande abraço.

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    1. É exatamente isso que se faz com sólidos de revolução em coordenadas polares. Por exemplo, podemos usar esta técnica para calcular a área do sólido de revolução gerado pela rotação da cardióide em torno do eixo polar. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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