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quinta-feira, 17 de maio de 2012

Interpolação Inversa

Dada a tabela
O problema da interpolação inversa consiste em: dado [;\bar{y} \in(f(x_0),f(x_n));], obter [;\bar{x};], tal que [;f(\bar{x}) = \bar{y};]. Temos as seguintes formas de se resolver este problema:

[;i);] Obter [;P_n(x);] que interpola [;f(x);] em [;x_0,x_1,\ldots,x_n;] e em seguida encontrar [;\bar{x};] tal que [;P_n(\bar{x}) = \bar{y};] (como mostra o exemplo a seguir). 

Exemplo 1: Dada a tabela abaixo, encontrar [;\bar{x};] tal que [;f(\bar{x}) = 2;].
Resolução: Como [;2 \in (1.82,2.01);], usaremos interpolação linear sobre [;x_0 = 0.6;] e [;x_1 = 0.7;]. Assim,

[;P_1(x) = f(x_0)\frac{x - x_1}{x_0 - x_1} + f(x_1)\frac{x -x_0}{x_1 - x_0};]
[;= 1.82 \frac{x - 0.7}{-0.1} + 2.01 \frac{x - 0.6}{0.1} = 1.9x + 0.68;]
Então
[;P_1(\bar{x}) = 2 \ \Leftrightarrow \ 1.9\bar{x} + 0.68 = 2\ \Leftrightarrow \ \bar{x} = 0.69474;] 
Neste caso, não conseguimos nem mesmo fazer uma estimativa do erro cometido, pois o que sabemos é medir o erro em se aproximar [;f(x);] por [;P_n(x);], e aqui queremos medir o erro cometido sobre [;x\;] e não sobre [;f(x);].

[;ii);] nterpolação Inversa:
Se [;f(x);] for inversível num intervalo contendo [;\bar{y};], então faremos a interpolação de [;x = f^{-1}(y) = g(y);].
Uma condição para que uma função contínua num intervalo [;[a,b];] seja inversível é que seja monótona crescente (ou decrescente) neste intervalo. Se [;f(x);] for dada na forma de tabela, supondo que [;f(x);] é contínua num intervalo [;(x_0,x_n);], então [;f(x);] será admitida como monótona crescente se [;f(x_0) \prec f(x_1) \prec \ldots \prec f(x_n);] e decrescente se [;f(x_0) \succ f(x_1) \succ \ldots \succ f(x_n);].


Conforme dissemos acima, se a condição anterior for satisfeita, o problema de se obter [;\bar{x};] tal que [;f(\bar{x}) = \bar{y};] será facilmente resolvido, se for obtido o polinômio [;P_n(y);] que interpola [;g(y) = f^{-1}(x);] sobre [;[y_0,y_n];].


Para isto, basta considerar [;x\;] como função de [;y;] e aplicar um método de interpolação: [;x = f^{-1}(y) \simeq P_n(y);]. 

Exemplo 2: Dada a tabela 
 
Obter [;x\;], tal que [;e^x = 1.3165;] usando um processo de interpolação quadrática.

Resolução: Usaremos a forma de Newton para obter [;P_2(y);] que interpola  [;f^{-1}(y);]. Assim, vamos construir a tabela de diferenças divididas
de modo que
 [;P_2(y) = g(y_0) + (y - y_0)g[y_0,y_1] + (y - y_0)(y - y_1)g[y_0,y_1,y_2];]
[;=0.2 + (y - 1.2214)0.7782 + (y - 1.2214)(y - 1.3499)(-0.2718);]

Para [;y = 1.3164;], temos [;P_2(1.3164) = 0.27487;].

Gostará de ler também: 
- O Problema da Passagem do Guarda-Roupa;
- O Método do Ponto Fixo (Parte 2);
- Zeros de Funções (Parte 2).

Postado por Prof. Paulo Sérgio às 17.5.12
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2 comentários:

  1. Oi Paulo. Esta semana mesmo lembrei de que tive que usar a interpolação inversa no trabalho para estimar oa pontos de tensão de uma bateria de lítio ion em função do tempo de descarga. Bem legal.

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  2. Este assunto é bem interessante mesmo, tendo várias implicações práticas. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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