FATOS MATEMÁTICOS: O Teste da Segunda Derivada

terça-feira, 1 de maio de 2012

O Teste da Segunda Derivada

Pela sua praticidade, o teste da segunda derivada é muito útil para classificar os pontos críticos de uma função. Mas lembramos que nos casos em que este teste falha, convém usar o teste da primeira derivada. Neste post, apresentaremos este teste bem com alguns exemplos e aplicações.

Lema 1: Se $[;f;]$ é uma função contínua e $[;f(x_0) \succ 0;]$ , então existe $[;\delta \succ 0;]$ tal que se $[;x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta);]$ , então $[;f(x) \succ 0;]$ .

Demonstração: Tomando $[;\epsilon = f(x_0)/2 \succ 0;]$ e usando o fato que $[;f;]$ é uma função contínua, existe $[;\delta \succ 0;]$ tal que se $[;|x - x_0| \prec \delta;]$ , então $[;|f(x) - f(x_0)| \prec \epsilon;]$ , ou seja,

$[;x_0 - \delta \prec x \prec x_0 + \delta \quad \Rightarrow \quad -\frac{f(x_0)}{2} \prec f(x) - f(x_0) \prec \frac{f(x_0)}{2};]$

donde segue o resultado. Usaremos este lema para demonstrar o teste da segunda derivada.

Lema 2: Se $[;f;]$ é uma função derivável em $[;(a,b);]$ , então $[;f;]$ é contínua neste intervalo.

Demonstração: Mostraremos que $[;f;]$ é contínua no ponto $[;x_0 \in (a,b);]$ . Para isto, basta provar que

$[;\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0);]$

ou equivalentemente,

$[;\lim_{x \to x_0}f(x) - f(x_0) = 0;]$

De fato,

$[;\lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\cdot (x - x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\cdot \lim_{x \to x_0}(x - x_0);]$

$[;=f^{\prime}(x_0)\cdot 0 = 0;]$

Teorema 1 (O teste da segunda derivada) Sejam $[;f;]$ uma função derivável em um intervalo aberto $[;(a,b);]$ contendo o ponto crítico $[;x_0;]$ tal que $[;f^{\prime}(x_0) = 0;]$ . Se $[;f;]$ admite derivada segunda $[;f^{\prime \prime};]$ em $[;(a,b);]$ e se

$[;i);]$ $[;f^{\prime \prime}(x_0) \prec 0;]$ , então $[;P_0(x_0,f(x_0));]$ é um ponto de máximo local.

$[;ii);]$ $[;f^{\prime \prime}(x_0) \succ 0;]$ , então $[;P_0(x_0,f(x_0));]$ é um ponto de mínimo local.

Demonstração: Provaremos o item $[;i);]$ , pois o outro caso é análogo. Como $[;f;]$ é admite derivada de segunda ordem, então pelo Lema 2, $[;f^{\prime};]$ é uma função contínua. Por hipótese, $[;f^{\prime \prime}(x_0);]$ , existe de modo que

$[;0 \prec f^{\prime \prime}(x_0) = \lim_{x \to x_{0}^{-}}\frac{f^{\prime}(x) - f^{\prime}(x_0)}{x - x_0} \quad \Rightarrow;]$

$[;\lim_{x \to x_{0}^{-}}\frac{f^{\prime}(x)}{x - x_0} \succ 0;]$

Sendo $[;f^{\prime}(x);]$ contínua, pelo Lema 1, existe $[;\epsilon_1 \succ 0;]$ tal que se $[;x \in (x_0 - \epsilon_1,x_0);]$ , então $[;f^{\prime}(x)/(x - x_0) \succ 0;]$ . Sendo $[;x - x_0 \prec 0;]$ , segue que $[;f^{\prime}(x) \prec 0;]$ para todo $[;x \in (x_0 - \epsilon_1,x_0);]$ .

Usando o limite lateral à direita, existe $[;\epsilon_2 \succ 0;]$ tal que se $[;(x_0,x_0 + \epsilon_2);]$ , então $[;f^{\prime}(x)/(x - x_0) \succ 0;]$ . Sendo $[;x - x_0 \succ 0;]$ , segue que $[;f^{\prime}(x) \succ 0;]$ para todo $[;x \in (x_0,x_0 + \epsilon_2);]$ . Assim, temos um intervalo aberto $[;(\epsilon_1,\epsilon_2);]$ contendo $[;x_0;]$ tal que $[;f^{\prime}(x);]$ muda de sinal. Logo, pelo teste da primeira derivada, segue que $[;P_0(x_0,f(x_0));]$ é um ponto de mínimo local.

Observação 1: O matemático Pierre de Fermat conhecia este resultado e usou em vários problemas de otimização. Um outro modo de prová-lo é usar a expansão de Taylor de $[;f;]$ em torno do ponto $[;x_0;]$ , ou seja,

$[;f(x) = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0) + \frac{f^{\prime \prime}(x_0)}{2}(x - x_0)^2 \quad \Rightarrow;]$

$[;f(x) - f(x_0) = \frac{f^{\prime \prime}(x_0)}{2}(x - x_0)^2;]$

Se em uma vizinhança de $[;x_0;]$ , $[;f^{\prime \prime}(x_0) \succ 0;]$ , então $[;f(x) - f(x_0) \geq 0;]$ , de modo que $[;P_0(x_0,f(x_0));]$ é um ponto de mínimo local. O outro caso é análogo.

Exemplo 1: Use o teste da segunda derivada, classifique os pontos críticos e esboce o gráfico das funções abaixo

$[;a);]$ $[;f(x) = x + 1/x;]$

$[;b);]$ $[;g(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 1;]$

Resolução:

$[;a);]$ $[;f^{\prime}(x) = 1 - 1/x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1;]$ são os pontos críticos. Por outro lado, $[;f^{\prime \prime}(x) = 2/x^3;]$ , o qual existe para $[;x \neq 0;]$ . Como $[;f^{\prime \prime}(-1) = -2 \prec 0;]$ , então pelo teste da segunda derivada $[;P_0(-1,-2);]$ é um ponto de máximo local. Por outro, sendo $[;f^{\prime \prime}(1) = 2 \succ 0;]$ , segue que $[;P_1(1,2);]$ é um ponto de mínimo local.

Além disso, usando o fato que

$[;\lim_{x \to 0^{-}}f(x) = \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty;]$

$[;\lim_{x \to 0^{+}}f(x) = \lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty;]$

obtemos o gráfico da função $[;f;]$ , conforme a figura abaixo:

$[;b);]$ Neste caso, $[;g^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 24;]$ . Os pontos críticos de $[;g;]$ são as raízes de $[;g^{\prime};]$ , ou seja, $[;x_0 = -2;]$ e $[;x_1 = 4;]$ . A derivada segunda de $[;g;]$ existe e é dada por $[;g^{\prime \prime}(x) = 6x - 6;]$ . Sendo $[;g^{\prime \prime}(-2) = -18 \prec 0;]$ e $[;g^{\prime \prime}(4) = 18 \succ 0;]$ , segue que $[;P_0(-2,29);]$ é um ponto de máximo local e $[;P_1(4,-79);]$ é um ponto de mínimo local. Usando o fato que

$[;\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty \quad \text{e} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty;]$

o gráfico de $[;f(x);]$ é dado na figura abaixo.

Exemplo 2: Entre todos os retângulos de perímetro $[;20 \ cm;]$ , mostre que o quadrado é o que possui área máxima.

Resolução: Sejam $[;x\;]$ e $[;y;]$ os lados do retângulo. Por hipótese, de modo que $[;y = 10 - x;]$ . Sendo $[;S = xy;]$ , então $[;S(x) = 10x - x^2;]$ . Os pontos críticos são raízes da equação $[;S^{\prime}(x) = 10 - 2x = 0;]$ , ou seja, $[;x = 5\ cm;]$ . Note que $[;S^{\prime \prime}(x) = -2 \prec 0;]$ , de modo que o ponto $[;P_0(5,S(5));]$ é o único ponto de máximo local.

Gostará de ler também:
- O Teste da Primeira Derivada;
- Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada;
- Problemas de Otimização Através da Trigonometria;
- O Problema da Passagem do Guarda-Roupa.

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