FATOS MATEMÁTICOS: Os Coelhos de Fibonacci e a Sequência de Pell

domingo, 20 de maio de 2012

Os Coelhos de Fibonacci e a Sequência de Pell

Todos sabem que Fibonacci idealizou a sua sequência, após estudar a criação de coelhos com determinadas condições, e que, a partir de seus termos, podemos construir uma sequência que converge para o Número de Ouro dos gregos antigos (ver, por exemplo, RPM 45, p. 44-47). Tal sequência é muito famos em nossa literatura do Ensino Médio.

E, uma pergunta intrigante: será que existe outra sequência famosa?

A resposta, é Sim! Só que ela é pouco divulgada.

Então, partindo desse pressuposto vamos apresentá-la, usando a mesma ideia (a da reprodução dos coelhos) dada por Fibonacci e mostrar que a mesma também, curiosamente, converge para um número importante. Para isso considere uma população idealizada de coelhos que atenda os seguintes critérios:

$[;1);]$ Esta população tem início com um único casal de coelhos recém-nascidos, que morrem logo após terem dado cria a outro casal de coelhos, o que ocorre ao final de um ano;

$[;2);]$ A partir do segundo ano, nenhum coelho morre e cada casal de coelhos dá cria a outro casal de coelhos, se ele tiver apenas um ano de idade, ou dá cria a dois casais de coelhos, quando eles forem mais velhos.

Assim, vamos exibir a situação com a seguinte tabela:

Observe que a última coluna mostra o total de casais de coelhos, gerando assim, uma sequência, ou seja, $[;1;]$ , $[;2;]$ , $[;5;]$ , $[;12;]$ , $[;29;]$ ; $[;70;]$ , $[;\ldots;]$ Esta sequência é chamada de sequência de Pell* e, é definida pela recorrência $[;P_{n+2} = 2P_{n+1} + P_n;]$ com $[;P_0 = 0;]$ , $[;P_1 = 1;]$ e $[;P_n;]$ é o enésimo termo da sequência para todo $[;n \in \mathbb{N};]$ . Resolvendo esta recorrência, que se trata de uma recorrência linear de segunda ordem homogênea** (ver em [4]), temos a seguinte equação característica $[;x^2 = 2x +1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 1 = 0;]$ de raízes $[;1 \pm \sqrt{2};]$ . A raiz positiva é denotada por $[;\delta;]$ (constante prateada) e a raiz negativa por $[;\bar{\delta};]$ .

Então a solução dessa recorrência é $[;P_n = C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1 - \sqrt{2})^n;]$ , onde $[;C_1;]$ e $[;C_2;]$ são as constantes. Agora, para determinar essas constantes, considere $[;P_0 = 0;]$ e $[;P_1 = 1;]$ , ou seja,

$[;\begin{cases}C_1 + C_2 = 0\\(1 + \sqrt{2})C_1 + (1 - \sqrt{2})C_2 = 1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad C_1 = \sqrt{2}/4 \ \text{e} \ C_2 = -\sqrt{2}/4;]$

de modo que $[;P_n = \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})^n - \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})^n}{4};]$ . Ao calcular o limite desse termo geral, quando $[;n;]$ fica muito grande, temos

$[;\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})^n - \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{4};]$

e podemos verificar que a parcela $[;-\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})^n/4;]$ tem valor menor que $[;1;]$ ; logo quando o expoente $[;n;]$ torna-se um número muito grande esta parcela tende a zero, podendo então ser desprezada, e reduzindo $[;P_n;]$ para $[;\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})^n}{4};]$ . Fazendo $[;P_n/P_{n-1};]$ , esse quociente toma a forma de

$[;\frac{P_n}{P_{n-1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{2})^n}{\frac{\sqrt{2}}{4}}(1 + \sqrt{2})^{n-1} = 1 + \sqrt{2} = \delta;]$

Este número chama-se Número de Prata ou Razão de Prata que, também foi estudado pelos gregos, por estar relacionado com cálculos da raiz de $[;2;]$ e com algumas razões trigonométricas.

Para aguçar a curiosidade do leitor, deixo como exercício, que pesquisem sobre a Sequência de Lucas, outra sequência famosa.

* matemático inglês John Pell $[;(1611 - 1685);]$ .

** No post Algumas Propriedades dos Números Prateados, apresentamos outro modo de resolver este problema.

Referências Bibliográficas:

[1] SHOKRANIAN, S. Uma Breve História da Teoria dos Números no Século Vinte. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2010.

[2] HEFEZ, A. Elementos de Aritmética, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática/Coleção Textos Universitários, 2004.

[3] ÁVILA, G. Análise Matemática para Licenciatura, São Paulo: Editora Edgard Blucher, 2005.

[4] LIMA, E. L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E., MORGADO, A. C.. A Matemática do Ensino Médio Volume 2, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. Coleção do Professor de Matemática, 2006

Artigo enviado por Carlos Alberto M. de Assis* e Thiago Barcellos Castilhos**

* Cursando disciplina isolada no Mestrado da EMap-FGV/RJ

** Aluno do Mestrado Profissional - PROFMAT

O Prof. Paulo Sérgio C. Lino agradece imensamente esta contribuição ao blog Fatos Matemáticos.