FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 13)

quinta-feira, 3 de maio de 2012

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 13)

$[;37);]$ Calcule a derivada de $[;4^{\underline{a}};]$ ordem de $[;f(x) = x^3/(1 - x);]$ .

$[;38);]$ Determine a área delimitada pela secção meridiana do ovo construído com régua e compasso à partir de um círculo de raio $[;r;]$ conforme a figura abaixo.

Este problema foi inspirado no post Como Desenhar um Ovo de Galinha com Régua e Compasso (Parte 2) do blog O Baricentro da Mente e foi gentilmente cedido pelo seu autor Kleber Kilhian.

$[;39);]$ (Provão 2003) Na figura abaixo $[;z;]$ e $[;w;]$ são números complexos. Ache o valor de $[;w;]$ em função de $[;z;]$ .

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 12).

$[;34);]$ Prove que toda reta paralela a uma das assíntotas de uma hipérbole encontra a curva em apenas um ponto.

Resolução: Seja $[;y = bx/a + p;]$ a reta paralela à assíntota $[;y = bx/a;]$ da hipérbole

$[;\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1;]$

Assim,

$[;\frac{x^2}{a^2} - \frac{1}{b^2}\biggl(\frac{bx}{a} + p\biggr)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{2bx}{ab} - \frac{p^2}{ab} - 1 =0;]$

que é uma equação do $[;1^{\underline{0}};]$ grau em $[;x\;]$ , e consequentemente a reta $[;y = bx/a + p;]$ encontra a hipérbole em apenas um ponto.

$[;35);]$ Se $[;x \in \mathbb{Q};]$ e $[;x^2 \in \mathbb{Z};]$ , mostre que $[;x \in \mathbb{Z};]$ .

Resolução: Seja $[;x = a/b;]$ . Assim,

$[;x^2 = a^2/b^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = b^2x^2;]$

Por hipótese, $[;x^2 \in \mathbb{Z};]$ , de modo que

$[;b^2 \ | \ a^2 \quad \Rightarrow \quad b \ | \ a;]$

Assim, existe $[;k \in \mathbb{Z};]$ tal que $[;a = bk;]$ . Logo, $[;x = bk/b = k \in \mathbb{Z};]$ .

$[;36);]$ Mostre que a equação da circunferência que passa pelos pontos $[;A(\bar{\delta},0);]$ , $[;B(\delta,0);]$ e $[;C(0,\bar{\delta});]$ intercepta o eixo $[;y;]$ no ponto $[;D(0,\delta);]$ . Sendo $[;\delta = 1 + \sqrt{2};]$ (constante prateada) e $[;\bar{\delta} = 1 - \sqrt{2};]$ .

Resolução: A equação analítica de uma circunferência é dada por:

$[;\lambda: \quad x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0;]$

Como $[;A(\bar{\delta},0) \in \lambda;]$ e $[;B(\delta,0) \in \lambda;]$ , temos:

$[;\bar{\delta}^2 + 2a\bar{\delta} + c = 0;]$

$[;\delta^2 + 2a\delta + c = 0;]$

Adicionando estas expressões e usando o fato que $[;\delta + \bar{\delta} = 2;]$ e $[;\bar{\delta}^2 + \delta^2 = 6;]$ , segue que $[;2a = -3 - c;]$ . Substituindo na segunda expressão acima, temos

$[;\delta^2 + 2a\delta + c = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + 2\delta - 3\delta -\delta c + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -1;]$

de modo que $[;a = -1;]$ . Sendo $[;C(0,\bar{\delta});]$ um ponto de $[;\lambda;]$ , então

$[;\bar{\delta}^2 + 2b\bar{\delta} + c = 0;]$

Substituindo o valor de $[;c;]$ nesta expressão, segue que

$[;1 + 2\bar{\delta} + 2b\bar{\delta} - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\bar{\delta}(1 + b) = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -1;]$

Substituindo os valores de $[;a;]$ , $[;b;]$ e $[;c;]$ na equação da circunferência acima, obtemos

$[;x^2 + y^2 - 2x - 2y - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad \lambda: \ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 3;]$

É fácil ver que o ponto $[;D(0,\delta);]$ pertence a $[;\lambda;]$ .

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas $[;37);]$ , $[;38);]$ e $[;39);]$ encerra no dia 31/05/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Leitores que enviaram soluções:
- David Carvalho - Problema $[;35);]$ .
- Diogo Cardoso - Problemas $[;34);]$ e $[;36);]$ .

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 9);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 10);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 11).

2 comentários:

Kleber Kilhian3 de maio de 2012 21:51
Paulo, quando você diz para calcular a área delimitada pelo ovo... você está querendo dizer a área da casca do ovo certo? Não somente da área plana gerada pela seccção de um plano que passa pelo eixo de simetria...
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