Membros

sábado

Retas Tangentes em Coordenadas Polares

A derivada em um ponto [;P_0(x_0,y_0);], sendo [;y_0 = f(x_0);] é o coeficiente angular da reta tangente a curva [;y=f(x);] (caso exista) que passa por este ponto. O conceito de reta tangente está relacionado a muitos assuntos teóricos e aplicados, justificando seu estudo em Cálculo. 

Para curvas dadas em coordenadas polares, podemos também obter  inclinação ou a equação da reta tangente. Para isso, seja [;(r,\theta);] as coordenadas polares de um ponto [;P;] em um plano cartesiano, de modo que [;r = f(\theta);]. Dado o ponto [;P_1(r_1,\theta_1);] sobre esta curva, queremos determinar a equação da reta tangente. 

Em coordenadas polares, a equação de uma reta tem duas formas:

[;\ast;] Se a reta passa pelo pólo, sua é [;\theta = \theta_0;] 
[;\ast;] Se não passa pelo pólo, sua equação é

 [;r(\theta) = \frac{d}{\cos(\theta - \theta_0)};] 

onde [;\theta_0;] é o ângulo polar da reta normal e [;d;] é a distância entre a normal e o pólo [;O;]. A prova deste fato segue analisando a figura acima. Por outro lado, as equações paramétricas da curva polar são

[;\begin{cases}x(\theta) = f(\theta)\cos \theta\\y(\theta) = f(\theta)\sin \theta\\\end{cases};]
Assim,
[;\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{f^{\prime}(\theta)\sin \theta + f(\theta)\cos \theta}{f^{\prime}(\theta)\cos \theta - f(\theta)\sin \theta} \qquad (1);]

Primeiramente, se [;f(\theta_1) = 0;], isto é, se a curva passa através do pólo em [;\theta = \theta_1;], então de [;(1);], a inclinação da reta tangente é 

[;\frac{dy}{dx}|_{(f(\theta_1),\theta_1)} = \frac{dy}{dx}|_{(0,\theta_1)} = \frac{f^{\prime}(\theta_1)\sin \theta_1}{f^{\prime}(\theta_1)\cos \theta_1} = \tan \theta_1;]

Portanto,  em um ponto onde [;f(\theta_1) = 0;], a reta tangente tem a equação polar [;\theta = \theta_1;]. No caso em que [;f(\theta_1) \neq 0;], iremos procurar a equação da reta tangente na forma [;r = d\sec(\theta - \theta_0);]

A inclinação da reta normal é o oposto do recíproco da inclinação da tangente, isto é,
[;\tan \theta_0 = -\frac{dx}{dy} = -\frac{dx/d\theta}{dy/d\theta};]
[;=-\frac{[f^{\prime}(\theta)\cos \theta - f(\theta)\sin \theta]}{f^{\prime}(\theta)\sin \theta + f(\theta)\cos \theta};]
[;=\frac{\sin \theta - \frac{f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)}\cos \theta}{\cos \theta + \frac{f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)}\sin \theta};]
[;=\frac{\tan \theta - \frac{f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)}}{1 + \frac{f^{\prime}\theta}{f(\theta)}\tan \theta} \qquad (2);]
Agora, fazemos 
[;\psi = \arctan \frac{f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)} \quad \Rightarrow \quad \tan \psi = \frac{f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)} \qquad (3);]

Substituindo [;(3);] em [;(2);], temos:
[;\tan \theta_0 = \frac{\tan \theta - \tan \psi}{1 + \tan \psi \tan \theta} = \tan(\theta - \psi);]


No ponto [;P_1(f(\theta_1),\theta_1);], segue que [;\theta_0 = \theta_1 - \psi;]. Desde que o ponto [;P_1(r_1,\theta_1);] da curva está sobre a reta tangente, obtemos:
 
[;d = r_1\cos(\theta_1 - \theta_0) = r_1\cos \psi;]

Resumo: Sobre uma curva polar [;r = f(\theta);], no ponto [;P_1(r_1,\theta_1);] com [;r_1 = f(\theta_1) \neq 0;], a equação polar da reta tangente é

[;r(\theta) = \frac{r_1\cos \psi}{\cos(\theta - \theta_0)} = r_1\cos \psi \sec(\theta - \theta_0) \qquad (4);]

Nesta expressão, temos:

[;r_1 = f(\theta_1), \qquad \psi = \arctan \frac{f^{\prime}(\theta_1)}{f(\theta_1)};]
e
[;\theta_0 = \theta_1 - \psi;]

Observação 1: A reta tangente à curva é horizontal quando a reta normal é vertical e reciprocamente. Desde que [;\theta_0;] é a direção da reta normal, pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical podem ser achados facilmente.

Exemplo 1: Ache a equação da reta tangente à circunferência de raio [;a;] centrada na origem.


Resolução: Neste caso, [;r = a;] com [;a \succ 0;], ou seja, 

[;f(\theta) = a \quad \Rightarrow \quad f^{\prime}(\theta) = 0;]

de modo que [;\psi = \arctan 0/a = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta_0 = \theta_1;]. Logo, a reta tangente no ponto [;P_1(a,\theta_1);] é 
[;r(\theta) = a\cos 0 \sec(\theta - \theta_1) = a\sec(\theta - \theta_1);]

Exemplo 2: Ache a equação da reta sobre a circunferência com diâmetro [;2a;] sobre o eixo polar. 

Resolução: Neste caso, [;f(\theta) = 2a\cos \theta;] com [;a \succ 0;], de modo que 

[;f^{\prime}(\theta_1) = -2a\sin \theta_1 \quad \Rightarrow \quad \psi = \arctan \biggl(\frac{-2a\sin \theta_1}{2a\cos \theta_1}\biggr) = -\arctan (\tan \theta_1) = -\theta_1;]

de modo que [;\theta_0 = \theta_1 - (-\theta_1) = 2\theta_1;]. Logo, a equação da reta no ponto [;P_1(2a\cos \theta_1, \theta_1);] é 
[;r(\theta) = f(\theta_1)\cos(-\theta_1)\sec(\theta - \theta_1) = \frac{2a\cos^2 \theta_1}{\cos(\theta - 2\theta_1)};]
Gostará de ler também:
- Área em  Coordenadas Polares (Blog O Baricentro da Mente).

2 comentários:

  1. Prof! Gostei deste artigo! Fiquei com a idéia de analisar a tangente de curvas em coordenadas paramétricas. Além das coordenadas retangulares, polares e paramétricas existe mais alguma? ( refiro-me só as planas ).

    ResponderExcluir
  2. Que bom que gostou, na verdade, o caminho para deduzir a equação da reta tangente usou o conceito de curvas paramétricas. Existe o sistema de coordenadas bipolares muito pouco estudado. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

    ResponderExcluir