FATOS MATEMÁTICOS: Transformadas de Laplace (Parte 3)

terça-feira, 8 de maio de 2012

Transformadas de Laplace (Parte 3)

Neste post, apresentaremos a transformada de Laplace de derivadas e de integrais. Em equações diferenciais, a grande vantagem do uso das transformadas de Laplace na resolução é a capacidade de transformá-las em equações algébricas. Além disso, as condições inicias dadas para $[;t =0;]$ podem ser substituídas no início do processo, dispensando a determinação das constantes arbitrárias nos problemas de valores iniciais. As equações integrais do tipo convolução também podem ser resolvidas facilmente com esta técnica.

A próxima proposição relaciona as transformadas de Laplace com as derivadas de uma função.

Proposição 1: [Transformadas de Laplace de Derivadas]. Se $[;\mathfrak{L}\{F(t)\} = f(s);]$ , então
$[;i);]$

$[;\mathfrak{L}\{F^{\prime}(t)\} = sf(s) - F(0);]$ ;

$[;ii);]$

$[;\mathfrak{L}\{F^{\prime \prime}(t)\} = s^2f(s) - sF(0) - F^{\prime}(0);]$

Demonstração: $[;i);]$ Usando a definição de transformadas de Laplace e integrando por partes, temos:

$[;\mathfrak{L}\{F^{\prime}(t)\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}F^{\prime}(t)dt;]$

$[;= e^{-st}F(t) ]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}(-s)e^{-st}F(t)dt;]$

$[;= -F(0) + s\int_{0}^{\infty}e^{-st}F(t)dt = sf(s) - F(0);]$

$[;ii);]$ Seja $[;G(t) = F^{\prime}(t);]$ . Assim, $[;G^{\prime}(t) = F^{\prime \prime}(t);]$ , de modo que

$[;\mathfrak{L}\{F^{\prime \prime}(t)\} = \mathfrak{L}\{G^{\prime}(t)\} = sg(s) - G(0);]$

$[;= s\mathfrak{L}\{F^{\prime}(t)\} - F^{\prime}(0) = s[sf(s) - F(0)] - F^{\prime}(0);]$

$[;= s^2f(s) - sF(0) - F^{\prime}(0);]$

Observação 1:A proposição $[;1;]$ acima pode ser generalizada para a derivada enésima da função $[;F(t);]$ .

Proposição 2: [Transformadas de Laplace de Integrais] Se $[;\mathfrak{L}\{F(t)\} = f(s);]$ , então

$[;\mathfrak{L}\biggl\{\int_{0}^{t}F(u)du\biggr\} = \frac{f(s)}{s};]$

Demonstração: Seja

$[;G(t) = \int_{0}^{t}F(u)du;]$

de modo que $[;G(0) = 0;]$ . Assim, $[;G^{\prime}(t) = F(t);]$ e pela proposição anterior, segue que

$[;f(s) = \mathfrak{L}\{F(t)\} = \mathfrak{L}\{G^{\prime}(t)\} = sg(s) - G(0) = sg(s);]$

Logo,

$[;\mathfrak{L}\biggl\{\int_{0}^{t}F(u)du\biggr\} = \mathfrak{L}\{G(t)\} = g(s) = \frac{f(s)}{s} ;]$

Exemplo 1: Sabendo que $[;y(0) = 0;]$ , ache a transformada de Laplace da função $[;y(x);]$ que satisfaz a equação íntegro-diferencial

$[;2\frac{dy}{dt} + \int_{0}^{t}ydt = 4;]$

Resolução: Seja $[;Y(s) = \mathfrak{L}\{y(t)\};]$ . Pelas Props. $[;(1);]$ e $[;(2);]$ , temos

$[;\mathfrak{L}\biggl\{2\frac{dy}{dt} + \int_{0}^{t}ydt\biggr \} = \mathfrak{L}\{4\} \quad \Rightarrow;]$

$[;2[sY(s) - y(0)] + \frac{Y(s)}{s} = \frac{4}{s} \quad \Rightarrow \quad Y(s) = \frac{4}{2s^2 + 1};]$

Exemplo 2: Sabendo que $[;y(0) = 0;]$ e $[;y^{\prime}(0) = 1;]$ , ache a transformada deLaplace da função $[;y(t);]$ que satisfaz a equação diferencial.

$[;y^{\prime \prime} + 4y^{\prime} = \sin t;]$

Resolução: Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial, temos:

$[;\mathfrak{L}\{y^{\prime \prime} + 4y^{\prime}\} = \mathfrak{L}\{\sin t\} \quad \Rightarrow;]$

$[;s^2Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0) + 4[sY(s) - y(0)] = \frac{1}{s^2 + 1} \quad \Rightarrow;]$

$[;s^2Y(s) - 1 + 4sY(s) = \frac{1}{s^2 + 1} \quad \Rightarrow;]$

$[;(s^2 + 4s)Y(s) = 1 + \frac{1}{s^2 + 1} \quad \Rightarrow;]$

$[;Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4s}\biggl(1 + \frac{1}{s^2 + 1}\biggr);]$

Exemplo 3: Sabendo que

$[;\mathfrak{L}\{\cosh x\} = \frac{s}{s^2 - 1};]$

Mostre que

$[;\mathfrak{L}\{\sinh x\} = \frac{1}{s^2 - 1};]$

Resolução:

$[;\mathfrak{L}\{\sinh x\} = \mathfrak{L}\biggl\{\int_{0}^{x}\cosh tdt \biggr\};]$

$[;=\frac{1}{s}\mathfrak{L}\{\cosh x\} = \frac{1}{s}\cdot \frac{s}{s^2 - 1} = \frac{1}{s^2 - 1};]$

Gostará de ler também:

- Transformadas de Laplace (Parte 1);

- Transformadas de Laplace (Parte 2).

2 comentários:

Aloisio Teixeira8 de maio de 2012 11:05
Oi, Paulo! Muito bom, o artigo!

Esta é minha versão discreta da Transformada de Laplace:

[;\sum_{n=1}^{\infty}2^{-sn}f(n);]

Ex: para [;f(n)=n;], temos

[;\sum_{n=1}^{\infty}2^{-sn}n=\frac{2^s}{(2^s-1)^2};]

Agora, para que serve não sei, rs.

Até mais.
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Prof. Paulo Sérgio9 de maio de 2012 14:15
Aloisio, eu conhecia esta transformada discreta com base e ao invés da base 2. Procurei também na internet e achei somente com base e. Obrigado pelo comentário e volte sempre!
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Transformadas de Laplace (Parte 3)

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