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quarta-feira, 23 de maio de 2012

Um Convite às Transformadas Discretas de Laplace

As transformadas de Laplace é uma ferramenta muito conhecida e usada para resolver de forma prática e operacional problemas de valores iniciais (PVI), integrais impróprias, sistemas de equações diferenciais ordinárias e algumas equações diferenciais parciais. As séries e as transformadas de Fourier são outras ferramentas importantes presentes na Matemática Aplicada. É bem conhecido que a versão discreta das transformadas de Fourier são as transformadas [;Z;] que são largamente empregadas para obter a solução de equações e sistemas de equações de diferenças finitas.
A versão para sequências das transformadas de Laplace são as transformadas discretas de Laplace, também conhecidas por transformadas [;\Sigma;]. Esta denominação foi retirada deste artigo On Some Discrete Differential Equations de Dejenie A. Lakiew, que aliás foi o único que encontramos na internet. 


Este post é um resumo de um material mais amplo sobre as transformadas discretas de Laplace (TDL) O assunto apresentado que será apresentado aqui é uma versão mais ampla que do artigo citado acima, mas devo admitir que por questão de padronização e respeito, busquei seguir parcialmente as notações propostas por Dejenie.

Tenho muito apreço pelas Transformadas de Laplace desde do primeiro contato que eu tive com o assunto, mas nunca tive a ideia de desenvolver sua versão discreta. Desta forma, devo agradecer muito ao leitor Aloisio Teixeira do blog Elementos de Teixeira que apresentou sua versão discreta das transformadas de Laplace com a seguinte definição:
[;\ell_d\{x_n\} = X(s) = \sum_{k=0}^{\infty}2^{-ns}x(n);]

Sem o conhecimento do artigo acima, após aprofundar sobre o assunto, percebi que a base deveria ser [;e;] ao invés da base [;2;], devido ao teorema sobre a TDL da multiplicação de [;x_n;] por [;n;], ou seja, [;\ell_d\{nx_n\} = -X^{\prime}(s);] se a base for [;e;] e [;\ell_d\{nx_n\} = -X^{\prime}(s)\ln 2;] se a base for [;2;]. Note que na base [;e;] não temos o termo [;\ln 2;]. Outros teoremas são mais simples usando a base [;e;].

O objetivo deste post e outros que apresentaremos em breve é um convite a todos amantes da Matemática Discreta e do Cálculo Operacional a explorar esta nova ferramenta. Por exemplo, podemos usar a transformada discreta direta de Laplace (TDDL) no cálculo de somas de séries convergentes de forma rápida e simples, desde que a sequência presente no somatório admite a transformada discreta de Laplace. Por exemplo, 
[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty}3^{-n}n^2 = \ell_d\{n^2\}_{e^s \to 3} = \biggl[\frac{e^s(e^s + 1)}{(e^s - 1)^3}\biggr]_{e^s \to 3};]
[;= \frac{3(3+1)}{(3 - 1)^3} = \frac{3}{2};]
Deve-se ressaltar que o cálculo de somatórios não foi abordado no artigo do Dejenie. Outra aplicação da TDL é na busca de soluções de PVI envolvendo equações e sistemas de equações de diferenças finitas lineares. Por exemplo,
[;\begin{cases}y_{n+2} - 3y_{n+1} + 2y_n = 3^n\\y_0 = 0, \ y_1 = 1\end{cases};]

 cuja a solução obtida aplicando as transformadas discretas de Laplace é dada por
[;y_n = \frac{3^n - 1}{2};]
A TDL tem muitas das características das transformadas de Laplace tradicional e uma delas é a obtenção da solução do PVI acima sem a necessidade de achar primeiro a solução geral do problema. Além disso, equações de diferença do tipo soma e do tipo convolução também são resolvidas por um procedimento padrão de aplicar a TDDL (transformada discreta direta de Laplace), isolar [;X(s);] e obter a solução [;x_n;] através da transformada discreta inversa de Laplace (TDIL). 

Veremos então nas linhas abaixo a definição e algumas propriedades desta transformada. Muitas provas serão propositadamente omitidas, deixando para o leitor curioso completar estas lacunas.

Definição 1: Dada a sequência [;(x_n)_{n \in \mathbb{N};], a transformada discreta de Laplace (TDL), denotada por [;\ell_d;] é definida para [;s \succ 0;] por
[;\ell_d\{x_n\} = \sum_{n = 0}^{\infty}e^{-sn}x_n : = X(s);]
 Nem todas as sequências admitem a transformada discreta de Laplace, podemos citar, por exemplo [;x_n = n!;]. Deste modo, devemos impor condições sobre a sequência [;(x_n);] de modo que a série acima seja convergente. As sequências [;(x_n);] para os quais a transformada discreta de Laplace existe são chamadas de sequências admissíveis.

Teorema 1: [Existência da TDL] Seja [;x_n: \ \mathbb{N} \to \mathbb{R};] uma sequência tal que 
[;|x_n| \leq \alpha e^{s_0n} \quad \text{para} \quad n \geq N_0;]
sendo [;\alpha \succ 0;] e [;s_0 \succ 0;]. Então
[;\sum_{n = 0}^{\infty}e^{-sn}x_n;]

é absolutamente convergente e portanto, convergente de modo que a transformada discreta de Laplace [;\ell_d\{x_n\};] existe para [;s \succ s_0;].

Proposição 1: [Linearidade da Transformada Discreta de Laplace] Se [;\ell_d\{x_n\} = X(s);] e [;\ell_d\{y_n\} = Y(s);], então
[;i);] [;\ell_d\{x_n + y_n\} = \ell_d\{x_n\} + \ell_d\{y_n\};];
[;ii);] [;\ell_d\{kx_n\} = k\ell_d\{x_n\};],  [;\forall k \in \mathbb{R};]
 
Proposição 2: [Teorema do Valor Inicial e Final] Se [;\ell_d\{x_n\} = X(s);] para [;s \succ 0;], então 
[;\displaystyle{\lim_{s \to +\infty}}X(s) = x_0;]
Demonstração: Note que
[;\ell_d\{x_n\} = \sum_{n=0}^{\infty}e^{-sn}x_n = x_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{e^{sn}};]
de modo que
[;\lim_{s \to +\infty} X(s) = \lim_{s \to +\infty} x_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\lim_{s \to \infty} \frac{x_n}{e^{sn}} = x_0;]

Para achar a solução das equações de diferenças finitas de coeficientes variáveis, a aplicação da TDL transforma-se uma EDO na variável [;s;] cuja constante de integração é determinada através da aplicação da Prop. [;1;].
Proposição 3: [Translação na TDDL] Seja [;(x_n)_{n \in \mathbb{N}};]. Se [;p \in \mathbb{N};], então


[;\ell_d \{x_{n + p}\} = e^{sp}\sum_{n = p}^{\infty}e^{-sn}x_n;]
Demonstração: Usando a definição de transformada discreta de Laplace, temos:
[;\ell_d\{x_{n+p}\} = \sum_{n=0}^{\infty}e^{-sn}x_{n+p};]

Fazendo [;m = n + p;], temos [;n = m - p;], de modo que
[;\ell_d\{x_{n+p}\} = \sum_{m=p}^{\infty}e^{-s(m - p)}x_m = e^{sp}\sum_{n = p}^{\infty}e^{-sn}x_n;]

Corolário 1: Se [;\ell_d\{x_n\} = X(s);], então:

[;i);] [;\ell_d\{x_{n+1}\} = e^sX(s) - e^sx_0;]
[;ii);] [;\ell_d\{x_{n+2}\} = e^{2s}X(s) - e^{2s}x_0 - e^sx_1;]
Proposição 4: [Multiplicação por [;r^{-an};] na TDDL]  Sejam  [;a \in \mathbb{R};] e [;r \succ 0;]. Se [;\ell_d\{x_n\} = X(s);], então


[;\ell_d\{r^{-an}x_n\} = \ell_d\{x_n\}_{e^s \rightarrow r^ae^s} = X(r^as);]

para [;s \succ 0;], onde a expressão "[;e^s \rightarrow r^ae^s;]" significa substituir [;e^s;] por [;r^ae^s;] na função [;X(s);].
 
Demonstração: Pela definição de transformada discreta de Laplace, temos:
[;\ell_d\{r^{-an}x_n\} = \sum_{n=0}^{\infty}e^{-sn}(r^{-an}x_n) = \sum_{n =0}^{\infty}(e^sr^a)^{-n}x_n;]


                  [;= \ell_d\{x_n\}_{e^s \rightarrow r^ae^s} = X(r^as);]
para  [;s \succ 0;].

Observação 1: Para [;a = -1;] e [;r = -1;], segue que 
[;\ell_d\{(-1)^n x_n\} = \ell_d\{x_n\}_{e^s \to -e^s};]

No caso em que [;r = e;], temos [;\ell_d\{e^{-an}x_n\} = X(s + a);].

A transformada discreta de algumas sequências, a sequência delta, o produto convolutivo e outras propriedades da TDL serão tratadas nos próximos posts. 
Além disso, devido ao alcance e a facilidade de uso das transformadas discretas de Laplace, devemos nos empenhar para descobrir outras propriedades e aplicações desta ferramenta. Por exemplo, o que aconteceria se [;s;] presente na definição da TDL fosse complexo, ou seja, [;s = \alpha + \beta i;]? Existe uma fórmula para representar a transformada discreta inversa de Laplace?

Gostará de ler também:
- As Transformadas de Laplace (Parte 3);
- A Convolução nas Transformadas de Laplace.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 23.5.12
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6 comentários:

  1. Oi, Prof.Paulo Sérgio!

    Para muitas pessoas que amam a matemática e gostam de um trabalho pioneiro, este convite às TDL é irrecusável, tendo em vista, ainda, a beleza que elas proporcionam na resoluções de inúmeros problemas ligados à sequências ou séries.

    Um simples fato de ser díficil achar na net sobre as TDL talvez indique que o próprio trabalho de Dejenie seja pioneiro sobre o assunto.
    Mas este seu método de soma de séries do tipo [;\frac{n^p}{b^n};] como uma extensão do trabalho de Dejenie é, de fato, notável, devido a ser uma estética amostra do poder desta ferramenta.

    Parabéns pelo desenvolvimento da teoria, uma constatação de sua visão maior sobre o assunto.

    Eu também pensei em uma forma de substituir a função adjunta [;e^{-sn};] por outra de forma que o resultado de um operador ( um tipo de transformada) sobre um polinômio resulte também em um polinômio. A forma que eu encontrei foi [;\left(\frac{s}{s+1}\right)^n;]. Exemplos:

    Dado a definição

    [;T \left{x_n \right}=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{s}{s+1}\right)^n \left{x_n \right};], temos

    [;T \left{n \right}=s+s^2;]

    [;T \left{n^2 \right}=s+3s^2+2s^3;]

    [;T \left{n^3 \right}=s+7s^2+12s^3+6s^4;]

    Obrigado por citar meu blog.

    Abraços!

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    Respostas

    1. Ainda há muito para ser publicado. Neste post, preferi apresentar as ideias gerais. Realmente, o método parece ser poderoso e aplica a diversas sequências. Enviei um e-mail para Dejenie sobre o assunto e estou na expectativa de obter alguma resposta. O novo que você propõe é interessante, mas não sei por que devemos gerar sempre polinômios.
      Em breve publico mais propriedades sobre a TDL, inclusive a propriedade relativa ao coeficiente binomial que aparece na figura acima.
      Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  2. Olá, Paulo!!!!

    Parabéns, Paulo!!! Fenomenal!!! Artigo de 1ª qualidade e de importância ímpar e os convidados iniciais, eu e o Aloísio, por enquanto, já ti agradecemos por tanta gentileza e presteza de serviço!!!!!
    Um abraço!!!!!

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  3. Obrigado Valdir. A cada dia surgem novas ideias para aplicar a TDL. O seu comentário incentivador é sempre bem-vindo.

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  4. Oi, Prof. Paulo! Desculpe a ignorância. Acaso o alcance desse método chegaria a equações do tipo y'=ln(y)? Onde y' seria uma derivada discreta? Caso afirmativo creio que ao menos aproximadamente se poderia explicitar o n-ésimo primo.

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  5. Olá Tavano, irei tentar resolver essa equação com a TDL. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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