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terça-feira, 22 de maio de 2012

Uma Aplicação Para a [;\zeta(2);]

A função zeta de Riemann está estreitamente relacionada com a distribuição dos números primos. A função zeta de Euler é definida por 

[;\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots;]
para [;s \in \mathbb{N} - \{1\};]. Euler deduziu que

[;\zeta(2n) = \frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}|B_{2n}|, \qquad n=1,2,\ldots;]

onde [;B_k;] são os números de Bernoulli. Desta fórmula resulta que 

[;\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6};]
 Neste post, mostraremos uma aplicação simples de [;\zeta(2);] na Teoria dos Números. 

Definição 1: Um número [;n \in \mathbb{N}^{\ast};] é um número parente ou livre de quadrados se sua decomposição em fatores primos não apresenta nenhum fator com expoente maior que [;1;]. 

Note que [;6 = 2\times 3;] é parente e [;12 = 2^2\times 3;] não é. Vemos também que todo número primo é parente. A pergunta que surge é: 

"Quantos números parentes existem menores que [;1000;]? e menores que [;1.000.000;]?"

Vamos calcular para 1000: 
Vemos que se um número é parente, ele não é divisível nem por [;4 = 2^2;], nem por [;9 = 3^2;], nem por [;25 = 5^2;], enfim nem por [;p^2;], onde [;p;] é um primo menor que [;\sqrt{1000};].
Quando dividimos um número por [;4;], podemos ter os restos iguais a [;0;],[;1;],[;2;] ou [;3;]. Portanto a cada quatro números, três não divisíveis por [;4;], então até [;1000;], [;750 = 1000\times 3/4;] não são divisíveis por [;4;]. Desses [;750;], [;8/9;] não são divisíveis por [;9;], ou seja, [;750\times 8/9 = 666;] e assim por diante até o primo [;31 \prec \sqrt{1000};]. Fazendo as contas, dependendo de arredondamento chegamos a um número próximo de [;610;]. Vamos analisar o que fizemos:

[;1000\times \frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times\frac{24}{25}\times \ldots = 1000\times \frac{(4-1)}{4}\times \frac{(9-1)}{9}\times \frac{(25 - 1)}{25}\times\ldots;]

[;= 1000\times \biggl(1 - \frac{1}{2^2}\biggr)\times\biggl(1 - \frac{1}{3^2}\biggr)\times \biggl(1 - \frac{1}{5^2}\biggr)\times \ldots;]

Fazendo [;p_1 = 2;], [;p_2 = 3;], [;p_3 = 5;] e assim por diante, o que fizemos foi:

[;1000\times \biggl[\biggl(\frac{p_{1}^{2} - 1}{p_{1}^{2}}\biggr)\times \biggl(\frac{p_{2}^{2} - 1}{p_{3}^{2}}\biggr)\times \biggl(\frac{p_{3}^{2} - 1}{p_{3}^{2}}\biggr)\times \ldots\biggr];]
[;\simeq 1000\times \frac{1}{\zeta(2)} = 1000 \times \frac{6}{\pi^2} = 607,93\times;]
Sendo
 [;\prod_{p \ primo}\frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \zeta(s);]

e a expressão para [;\zeta(2);] converge, podemos tormar [;\zeta(2);] como uma aproximação do produto que fizemos acima sem grande perda. Por exemplo,

[;\frac{(4-1)}{4}\times \frac{(9-1)}{9}\times \frac{(25 - 1)}{25}\times \frac{(49 - 1)}{49}\times \frac{(121 - 1)}{121}\times \frac{(169 - 1)}{169} = 0,618\ldots;]

que é um valor muito próximo de [;1/\zeta(2) = 0,608\ldots;]. Além disso, observe que a convergência é rápida e podemos dizer que até [;N;]temos aproximadamente [;6N/\pi^2;] números parentes. Por exemplo, de [;51;] a [;70;] temos: [;51;],[;53;],[;55;],[;57;],[;58;],[;59;],[;61;],[;62;],[;66;],[;67;],[;69;], ou seja, entre [;20;] números temos [;12;] números parentes. Outro fato interessante relacionado com os números parentes é dado na proposição seguinte:

Proposição 1: A série dos recíprocos dos quadrados dos números parentes converge para [;15/\pi^2;].

Demonstração: Podemos gerar a série de todos os recíprocos dos quadrados dos números parentes fazendo a seguinte multiplicação:

[;\prod_{k=1}^{\infty}\biggl(1 + \frac{1}{p_{k}^{2}}\biggr) = \biggl(1 + \frac{1}{2^2}\biggr)\biggl(1 + \frac{1}{3^2}\biggr)\ldots \biggl(1 + \frac{1}{p^2}\biggr)\ldots;]
Sabemos que 
[;\frac{1}{\zeta(2)} = \prod_{k=1}^{\infty}\biggl(1 - \frac{1}{p_{k}^{2}}\biggr) = \frac{6}{\pi^2};]

Também sabemos que 
[;\frac{1}{\zeta(4)} = \prod_{k=1}^{\infty}\biggl(1 - \frac{1}{p_{k}^{4}} \biggr) \quad \Rightarrow;]

[;\frac{1}{\frac{\pi^4}{90}} = \prod_{k=1}^{\infty}\biggl(1 - \frac{1}{p_{k}^{2}}\biggr)\biggl(1 + \frac{1}{p_{k}^{2}}\biggr) = \frac{6}{\pi^2}\prod_{k=1}^{\infty}\biggl(1 + \frac{1}{p_{k}^{2}}\biggr) \quad \Rightarrow;]

[;\prod_{k=1}^{\infty}\biggl(1 + \frac{1}{p_{k}^{2}}\biggr) = \frac{15}{\pi^2} \simeq 1,5158;]

Artigo enviado por Antônio Carlos Tavano. 

O Prof. Paulo Sérgio C. Lino agradece imensamente esta contribuição ao blog Fatos Matemáticos.

Gostará de ler também:
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 22.5.12
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2 comentários:

  1. Mais uma vez Tavano mostrando o que tem nas mangas.

    Interessante esta definição de números parentes ( sendo os números primos uma classe de parentesco ) e mais ainda a convergência da soma dos inversos de seus quadrados.

    Foi uma surpresa pois eu esperava algo sobre a soma infinita dos inversos dos quadrados dos primos.

    Muito bom.

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  2. Oi, Prof.Paulo! Agradeço a honra de participar deste Blog.....Oi,Teixeira! Minhas mangas já estão se esvaziando graças a vocês. Sobre os primos, creio que a série de todas as séries dos recíprocos das potências dos primos converge para algo em torno de 0,77, mas preciso queimar mais pestana. abçs

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