Álgebra Elementar Versus OBMEP

As Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) é um projeto que tem como objetivo estimular o estudo da matemática e revelar talentos na área. Criada em 2004, a OBMEP é uma competição matemática destinada aos alunos do ao ano e do ensino médio com questões nas áreas geometria, aritmética, combinatória e probabilidade. 

Neste post, apresentaremos algumas questões da fase da OBMEP de aplicada aos alunos do ao ano nível . Para cada questão apresentada, iremos resolver o problema usando Álgebra Elementar e em seguida apresentaremos a solução da OBMEP. 

Questão 1: As ruas de Quixajuba formam uma malha de retângulos iguais. A figura abaixo mostra, em parte do mapa de Quixajuba, os caminhos percorridos por Alfredo, Bela e Cecília de suas casas até a praia. Nesses caminhos Alfredo e Bela percorrem respectivamente, e . Qual a distância em metros, que Cecília percorre?

A)    B)   C)   D)   E)  

Resolução 1: (Através da Álgebra) Sejam e as dimensões de cada quarteirão. Para Alfredo, temos a seguinte expressão 

  

e para Bela

  

 Fazendo , temos , de modo que . Logo, Cecília percorreu .

Resolução 2: (Solução da OBMEP) Os caminhos de Alfredo, Bela e Cecília consistem de segmentos horizontais, todos de mesmo comprimento, e segmentos verticais, também todos de mesmo comprimento. Todos percorrem o mesmo número de segmentos horizontais. Alfredo percorreu dois segmentos verticais e metros a mais do que Bela; logo, cada segmento vertical equivale a  de metros. Como o caminho de Bela tem apenas um segmento vertical, o comprimento total dos segmentos horizontais é metros. Finalmente, o caminho de Cecília tem dois segmentos verticais; ela percorreu então até a praia. 

Questão 2: A balança da figura está equilibrada. Os copos são idênticos e contém, ao todo, gramas de farinha. Os copos do prato da esquerda estão cheios até a metade de sua capacidade. Qual é o peso, em gramas, de um copo vazio?

A)      B)      C)      D)     E)

Resolução 1: (Através da Álgebra) Seja a quantidade de farinha em um dos copos dmo prato da direita e o peso de cada copo. Assim, pelo enunciado temos o seguinte sistema linear: 

Da primeira equação, segue que e da segunda equação, obtemos . Logo, o peso em gramas de um copo vazio é igual a . 

Resolução 2: (Solução da OBMEP)  No prato da direita temos três metades de copo de farinha; no prato da esquerda temos dois copos cheios, o que é o mesmo que quatro metades de copo de farinha. Como ao todo temos gramas de farinha, o que equivale a sete metades de copos, cada metade equivale a gramas de farinha. Logo, no prato da esquerda temos gramas de farinha e no da direita temos gramas de farinha, ou seja, há gramas de farinha a mais no prato da direita. Por outro lado, há um copo a mais no prato da esquerda; como os copos são idênticos, esse copo extra equilibra a farinha extra equilibra a farinha extra do prato da esquerda; concluímos que um copo vazio pesa gramas.

Questão 3: João fez uma viagem de ida e volta entre Pirajuba e Quixajuba em seu carro, que pode rodar com álcool e com gasolina. Na ida, apenas com álcool no tanque, seu carro fez por litro e na volta, apenas com gasolina no tanque, fez por litro. No total, João gastou litros de combustível nessa viagem. Qual a distância entre Pirajuba e Quixajuba?
A)    B)    C)    D)    E)

Resolução 1: (Através da Álgebra) Seja a distância entre as cidades. Note que

é a quantidade de álcool consumido na ida e que 

é a quantidade de gasolina consumido na volta. Como foi gasto no total de combustível, então

ou seja, . 
Resolução 2: (Solução da OBMEP) Vamos chamar de a distância entre Pirajuba e Quixajuba. Qualquer que seja o combustível utilizado, temos que litros consumidos quilômetros por litro. Isso mostra que as grandezas "litros consumidos" e "quilômetros por litro" são inversamente proporcionais (pois seu produto é constante). Desse modo, podemos escrever

Basta então achar uma fração equivalente a na qual a soma do numerador com o denominador seja . Essa fração é ; ou seja, João gastou litros de álcool na ida e litros de gasolina na volta. Logo a distância entre Pirajuba e Quixajuba é .

Comentário: As soluções destas questões apresentadas pela OBMEP segue uma linha em que prioriza exclusivamente o raciocínio lógico em detrimento aos métodos tradicionais, econômicos e de amplo alcance oriúndos da Álgebra Elementar. A preferência ao raciocínio lógico é importante, mas não reflete a matemática que ensina-se nas escolas públicas e poucos professores estão preparados para tal método.  Além disso, esta forma de pensamento é uma qualidade inata a poucos estudantes e muitos podem sentir-se frustrados após um baixo rendimento nesta competição. 

Particularmente, tenho preferência pelo raciocínio algébrico a qual contribui para o desenvolvimento do formalismo matemático. Tenho dúvidas se a OBMEP com esta política irá de fato estimular o estudo da matemática e revelar talentos nesta ciência. Recomendo aulas de reforço com lições de Álgebra Elementar para as escolas que desejam aumentar o desempenho de seus alunos na OBMEP.


"Tem-se o mito de que o talento matemático desenvolve-se apenas nos jovens, mas vale a pena lembrar que Karl Weierstrass, o maior analista do século XIX publicou seu primeiro artigo que lhe trouxe fama mundial aos 39 anos de idade."

Gostará de ler também:
- Comentários Sobre a OBMEP;
- A Álgebra do Omar Khayyam;
- Matemática Elementar por Isaac Newton.