FATOS MATEMÁTICOS: A Desigualdade de Gronwall

quarta-feira, 20 de junho de 2012

A Desigualdade de Gronwall

Usualmente, em muitas aplicações os dados experimentais são conhecidos aproximadamente. Se o problema é bem posto, espera que pequenas mudanças nos dados iniciais irão causar pequenas mudanças nas soluções. Tais problemas são modelados por equações diferenciais e sob certas condições as soluções de um PVI obedecem as condições de um problema bem posto. Para obter este resultado, veremos inicialmente uma versão simples da desigualdade de Gronwall.

Proposição 1: Suponha que $[;\Psi(t) \geq 0;]$ satisfaz a desigualdade

$[;\Psi(t) \leq \alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds;]$

com $[;\alpha, \beta(s) \geq 0;]$ . Então

$[;\Psi(t) \leq \alpha \exp\biggl(\int_{0}^{t}\beta(s)ds\biggr);]$

Demonstração: Suponhamos inicialmente que $[;\alpha \succ 0;]$ . Note que

$[;\frac{d}{dt}\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr) = \frac{\frac{d}{dt}\int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds}{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds} \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{d}{dt}\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr) = \frac{\beta(t)\Psi(t)}{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds} \leq \beta(t) \qquad (1);]$

pois, por hipótese

$[;\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds \geq \Psi(t) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds} \leq \frac{1}{\Psi(t)};]$

ou seja,

$[;\frac{\Psi(t)}{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds} \leq 1;]$

Integrando a desigualdade $[;(1);]$ em relação a $[;t;]$ , temos:

$[;\int_{0}^{t}d\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{u}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr)du \leq \int_{0}^{t}\beta(s)ds \quad \Rightarrow;]$

$[;\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{u}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr)_{0}^{t} \leq \int_{0}^{t}\beta(s)ds \quad \Rightarrow;]$

$[;\ln\biggl(\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds\biggr) - \ln \alpha \leq \int_{0}^{t}\beta(s)ds \quad \Rightarrow;]$

$[;\ln\biggl(\frac{\alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds}{\alpha}\biggr) \leq \int_{0}^{t}\beta(s)ds \quad \Rightarrow;]$

$[;\Psi(t) \leq \alpha + \int_{0}^{t}\beta(s)\Psi(s)ds \leq \alpha \exp\biggl(\int_{0}^{t}\beta(s)ds\biggr);]$

Mostramos que para todo $[;\alpha \succ 0;]$ , temos

$[;\Psi(t) \leq \alpha\exp\biggl(\int_{0}^{t}\beta(s)ds\biggr);]$

Fazendo $[;\alpha \to 0;]$ , segue que $[;0 \leq \Psi(t) \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \Psi(t) \equiv 0;]$ , ou seja, o resultado é válido para todo $[;\alpha \geq 0;]$ .

Teorema 1: Suponha que $[;f,g \ : \ U \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R};]$ sejam funções contínuas e que $[;f;]$ seja Lipschitz na segunda variável com constante $[;L;]$ . Se $[;x(t);]$ e $[;y(t);]$ são soluções dos PVI's.

$[;\begin{cases}\dot{x} = f(t,x)\\x(t_0) = x_0\end{cases}\qquad \text{e} \qquad \begin{cases}\dot{y} = g(t,y)\\y(t_0) = y_0\end{cases};]$

Então

$[;|x(t) - y(t)| \leq |x_0 - y_0|e^{L|t - t_0|} + \frac{M}{L}(e^{|t - t_0|} - 1);]$

onde

$[;M = \sup_{(t,x) \in U}|f(t,x) - g(t,x)|;]$ .

Demonstração: Sem perda de generalidade, suponhamos que $[;t_0 = 0;]$ . Assim, do PVI

$[;\begin{cases}\dot{x} = f(t,x)\\x(0) = x_0\end{cases};]$

segue que

$[;\int_{x_0}^{x}dx = \int_{0}^{t}f(s,x(s))ds \quad \Rightarrow \quad x(t) = x_0 + \int_{0}^{t}f(s,x(s))ds;]$

Analogamente,

$[;y(t) = y_0 + \int_{0}^{t}f(s,x(s))ds;]$

Assim,

$[;|x(t) - y(t)| = \begin{vmatrix}x_0 - y_0 + \int_{0}^{t}f(s,x(s))ds - \int_{0}^{t}g(s,y(s))ds\end{vmatrix};]$

$[;\leq |x_0 - y_0| + \int_{0}^{t}|f(s,x(s)) - g(s,y(s))|ds;]$

Usando o fato que $[;f;]$ é Lipschitz, temos:

$[;|f(s,x(s)) - g(s,y(s))| \leq |f(s,x(s)) - f(s,y(s))| + |f(s,y(s)) - g(s,y(s))|;]$

$[;\leq L|x(s) - y(s)| + M;]$

Assim,

$[;|x(t) - y(t)| \leq |x_0 - y_0| + \int_{0}^{t}[L|x(s) - y(s)| + M]ds;]$

Seja

$[;\Psi(t) = |x(t) - y(t)| + \frac{M}{L};]$

de modo que

$[;\Psi(t) - \frac{M}{L} \leq \Psi(0) - \frac{M}{L} + \int_{0}^{t}[L\Psi(s) - M + M]ds \quad \Rightarrow;]$

$[;\Psi(t) \leq \Psi(0) + \int_{0}^{t}L\Psi(s)ds;]$

Pela desigualdade de Gronwall,

$[;\Psi(t) \leq \Psi(0)\cdot \exp\biggl(\int_{0}^{t}Lds\biggr) \quad \Rightarrow \quad \Psi(t) \leq \Psi(0)e^{Lt} \quad \Rightarrow;]$

$[;|x(t) - y(t)| + \frac{M}{L} \leq \biggl(|x_0 - y_0| + \frac{M}{L}\biggr)e^{Lt} \quad \Rightarrow;]$

$[;|x(t) - y(t)| \leq |x_0 - y_0|e^{Lt} + \frac{M}{L}e^{Lt} - \frac{M}{L} \quad \Rightarrow;]$

$[;|x(t) - y(t)| \leq |x_0 - y_0|e^{Lt} + \frac{M}{L}(e^{Lt} - 1);]$

Referências Bibliográfica:
- Feschl, Gerald. Ordinary differential equations and dynamical systems. University Wien, Austria. 2006.

Gostará de ler também:
- Equações Diferenciais Exatas;
- Método do Fator Integrante Para EDO's Lineares de Primeira Ordem;
- Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem (Parte 2).

2 comentários:

hugocito30 de junho de 2012 08:23
Professor, muito interessante essa igualdade.
Quanto ao teorema 1, não consigo entender uma coisa, pode acontecer o caso em que M é infinito? E o fato de f ser Lipschitz garante que ela não possa tender ao infinito para algum ponto ( nunca estudei análise )?
Obrigado pelo post.
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Prof. Paulo Sérgio30 de junho de 2012 12:04
O valor de M deve ser finito. O fato de f ser Lipschitz é para obtermos a desigualdade linear acima. Obrigado pelo comentário e volte sempre.
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