FATOS MATEMÁTICOS: Determinantes Através de Matrizes em Blocos

segunda-feira, 25 de junho de 2012

Determinantes Através de Matrizes em Blocos

A maioria dos livros textos de matemática apresenta os determinantes da forma tradicional o qual é calculado usando a regra de Sarrus ou o desenvolvimento de Laplace. É interessante observar que o cálculo de determinantes de ordem superior também pode ser calculado de forma engenhosa usando o conceito de matrizes em blocos, as quais são submatrizes de uma matriz dada. Neste post, exploraremos esta ideia exibindo alguns exemplos.

Proposição 1: Suponha que $[;A;]$ , $[;B;]$ , $[;C;]$ e $[;D;]$ sejam matrizes de ordem $[;n\times n;]$ , $[;n\times m;]$ , $[;m\times n;]$ e $[;m\times m;]$ respectivamente. Então

$[;\det\begin{bmatrix}A & O\\C & D\end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix}A & B\\O & D\end{bmatrix} = \det(A)\cdot \det(D) \qquad (1);]$

Este resultado pode ser obtido da definição de determinante.

Exemplo 1: Use a proposição $[;1;]$ acima e calcule

$[;\begin{vmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 3 & -2\\1 & 2 & 1\\\end{vmatrix};]$

Resolução: Sejam as matrizes $[;A = [1]_{1\times 1};]$ , $[;B = [0 \ 0]_{1\times 2};]$ ,

$[;C =\begin{bmatrix}2\\ 1\\ \end{bmatrix}_{2\times 1};]$

$[;D = \begin{bmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix}_{2\times 2};]$

sendo $[;\det(A) = 1;]$ e $[;\det(D) = 7;]$ , segue da expressão $[;(1);]$ que

$[;\begin{vmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 3 & -2\\1 & 2 & 1\\\end{vmatrix} = \det(A)\cdot \det(D) = 1\cdot 7 = 7;]$

Deixo para os leitores curiosos verificar através dos métodos tradicionais a veracidade deste resultado.

Proposição 2: Se $[;A;]$ é uma matriz inversível, vale a seguinte identidade:

$[;\begin{bmatrix}A & B\\C & D\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A & O\\C & I\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} I & A^{-1}B\\O & D - CA^{-1}B\end{bmatrix};]$

Demonstração: Basta realizar o produto das matrizes do segundo membro desta expressão.

Corolário 1: Se $[;A;]$ é uma matriz inversível, então

$[;\det\begin{bmatrix}A & B\\C & D\end{bmatrix} = \det(A)\cdot \det(D - CA^{-1}B);]$

Demonstração: De fato, basta aplicar o determinante em ambos os lados da identidade da Prop. 2 e usar o fato que o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes.

De forma, se $[;D;]$ é uma matriz inversível, obtemos de forma análoga que,

$[;\det\begin{bmatrix}A & B\\C & D\end{bmatrix} = \det(D)\cdot \det(A - BD^{-1}C);]$

Exemplo 2: Calcule o determinante abaixo usando matrizes em blocos.

$[;\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ 2 & 3 & -2\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix};]$

Resolução: Sejam $[;A = [1]_{1\times 1};]$ , $[;B = [-1 \ 2]_{1\times 2};]$ ,

$[;C = \begin{bmatrix} 2\\ 1\end{bmatrix}_{2\times 1};]$

$[;D = \begin{bmatrix}3 & -2\\2 & 1\end{bmatrix}_{2\times 2};]$

Note que

$[;CA^{-1}B = \begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix}\cdot [1]^{-1}\cdot [-1 \ 2];]$

$[;=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}[-1 \ 2] = \begin{bmatrix}-2 & 4\\-1 & 2\end{bmatrix} \quad \Rightarrow;]$

$[;D - CA^{-1}B = \begin{bmatrix}3 & -2\\2 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-2 & 4\\-1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & -6\\3 & -1\end{bmatrix} \quad \Rightarrow;]$

$[;\det(D - CA^{-1}B) = -5 - 3\cdot(-6) = 13;]$

Logo,

$[;\begin{vmatrix}1&-1&2\\2&3&-2\\1&2&1\end{bmatrix} = \det(A)\cdot\det(D - CA^{-1}B) = 1\cdot 13 = 13;]$

Exemplo 3: Calcule o determinante da matriz $[;M;]$ abaixo:

$[;\begin{bmatrix}1&-1&2&0&1\\-1&3&1&-1&2\\2&-1&0&2&-1\\0&1&1&-1&2\\1&2&-1&-2&1\end{bmatrix};]$

Resolução: Sejam as matrizes

$[;\begin{bmatrix}1&-1\\-1&3\end{bmatrix}_{2\times2}, \qquad B = \begin{bmatrix}2&0&1\\1&-1&2\end{bmatrix};]$

$[;C = \begin{bmatrix}2&-1\\0&1\\1&2\end{bmatrix}_{3\times 2} \quad \text{e} \quad D = \begin{bmatrix}0&2&-1\\1&-1&2\\-1&-2&1\end{bmatrix}_{3\times3};]$

obtidas da matriz dada. Note que $[;\det(A) = 2;]$ e que

$[;A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix};]$

Por outro lado,
$[;CA^{-1}B = \begin{bmatrix}2&-1\\0&1\\1&2\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2&0&1\\1&-1&2\end{bmatrix};]$ $[;=\begin{bmatrix}\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}2&0&1\\1&-1&2\end{bmatrix};]$

$[;=\begin{bmatrix}\frac{11}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{7}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\\frac{13}{2}&-\frac{3}{2}&\frac{11}{2}\end{bmatrix} \quad \Rightarrow;]$

$[;D - CA^{-1}B = \begin{bmatrix}-\frac{11}{2}&\frac{5}{2}&-\frac{9}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{15}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{9}{2}\end{bmatrix} \quad \Rightarrow;]$

$[;\det(D - CA^{-1}B) = \frac{1}{2^3}\begin{vmatrix}-11&5&-9\\-1&-1&1\\-15&-1&-9\end{vmatrix} = -13;]$

Logo, denotando por $[;M;]$ a matriz dada, segue que

$[;\det(M) = \det(A)\cdot\det(D - CA^{-1}B) = 2\cdot(-13) = -26;]$

Gostará de ler também:

- Determinantes Através das Permutações;

- O Método de Dodgson Para Calcular Determinantes $[;3\times 3;]$ ;

- Uma Breve História das Matrizes e Determinantes;

- Algumas Propriedades dos Determinantes.

8 comentários:

Unknown25 de junho de 2012 21:05
Aproveitando que o artigo é sobre determinantes, professor, recentemente um colega, estudante de Engenharia Elétrica, que na Análise de Sinais é comum realizar o cálculo de determinantes usando Transformada de Fourier. O senhor sabe algo a respeito?
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Prof. Paulo Sérgio25 de junho de 2012 21:30
Não conheço esta técnica de calcular determinantes através da transformada de Fourier. Irei pesquisar sobre o assunto.
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hugocito26 de junho de 2012 09:27
Gostei muito do corolário 1, dá para reduzir determinantes 5x5 e 6x6 em termos de 2x2 e 3x3 que são fáceis de inverter, muito interessante.
Estive pensando na proposição 2, será que da para escrever de maneira que a matriz A n precise ser inversível?
T+
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hugocito26 de junho de 2012 09:47
Um caso em que não precisa de matriz inversível:
(X^2 & XB \\ CX & D )=( X & O \\ C & I ).(X & B \\ O & D-CB ).
Pelo corolário temos:
Det(X^2 & XB \\ CX & D )=(Det(X))^2 . Det(D-CB).
Obrigado pela teoria, desconhecia essa abordagem de determinantes.
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Anônimo25 de janeiro de 2013 11:34
Prof Sergio.
Sou aluno do ensino médio e gosto muito de matematica.Fiquei muito interessado no metodo de dodgson para calcular determinante.Estou com duvida pra aplicar o metodo quando a matriz for 4x4 ou 6x6.
É possível aplicar esse metodo nesses casos?
Um abraço

Bruno Mousada Lyen
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Respostas
Marcos4 de maio de 2013 21:59
Bem, sou estudante de computação, e como gosto de matemática, resolvi implementar alguns algoritmos para brincar.
Basicamente o que eu tenho agora é um algoritmo que utiliza o método de Gauss com pivoteamento parcial (somente linhas) para escalonar uma matriz qualquer de ordem n, e calcular o determinante como o produto da diagonal da matriz escalonada.
Tudo estava muito bem, resolvendo determinantes de qualquer ordem, até que me veio a seguinte matriz:

| -1, 3, 1 |
| 0, 2, 4 |
| 1, 0, 2 |
Cuja o determinante é 6. Porém meu programa retornava -6, depois de pesquisar, acabei encontrando em um site estrangeiro que quando uma matriz é escalonada pelo método de gauss e quando ocorre uma troca de linha, o sinal do determinante é alterado, o que gostaria de saber é se a cada troca o sinal é alterado ou se houver qualquer troca o sinal é alterado apenas uma vez... outra coisa que era dito, é que quando uma linha é multiplicada por um valor para escalonar outra, o determinante era multiplicado pelo mesmo valor, mas não parece fazer sentido.
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Prof. Paulo Sérgio4 de maio de 2013 22:59
Olá Marcos, a regra é que a cada troca de linhas haverá uma troca no sinal do determinante. A outra propriedade também é verdadeira. Veja este link

http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/01/algumas-propriedades-dos-determinantes.html
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