Os Números Figurados (Parte 1)

Os pitagóricos viam o papel dos números no mundo de uma forma muito especial. Deste modo, não é supresa que a aritmética teórica tenha nascido entre eles. Como a escola pitagórica tratava a matemática de maneira muito filosófica e abstrata, desvinculada dos problemas práticos do dia-a-dia era natural que separassem o estudo teórico dos números, que chamavam "aritmética", dos cálculos práticos que denominavam "logística". É interessante observar que hoje em dia, entre nós, a chamada aritmética, corresponde muitas vezes à logística dos gregos antigos. Aos pitagóricos se deve a distinção entre números pares e ímpares. 

Muitos resultados da matemática pitagórica foi reunida nos Elementos de Euclides, uma obra em livros abordando toda a Matemática da época. Os livros , e são exatamente sobre aritmética teórica. 

Na época de Pitágoras ainda se contava com pedrinhas ou através de marcas de pontos na areia. Por outro lado, os pitagóricos eram observadores atentos de formas geométricas, sendo assim, eles foram os primeiros a chamar de números figurados os números que resultam de arranjos com pontos ou pedrinhas na areia de modo a formar figuras geométricas.

Definição 1: Os números que correspondem à distribuição de pontos em um plano na forma de triângulos conforme a figura abaixo, são chamado de números triangulares.

Se denotarmos por o enésimo número triangular, temos a fórmula:

Definição 2: Os números que correspondem à distribuição de pontos num plano de modo a formar quadrados, chamam-se números quadrados. 

Se denota o enésimo número quadrado, é claro que

Muitos resultados interessantes sobre números figurados podem ser obtidos de maneira puramente geométrica e informal o qual apresentaremos abaixo. 

Proposição 1: Para , . 

Demonstração: Para qualquer número quadrado, podemos dividí-lo através de uma reta conforme a figura abaixo. Os números acima da reta representa o número triangular e os números abaixo da reta representa os números figurados .

Para passar de um número quadrangular a outro os pitagóricos procediam segundo o esquema

de onde sai .

Proposição 2: A soma dos números ímpares é um número quadrado ou quadrado perfeito, isto é,

Demonstração: Basta analisar a figura abaixo

Definição 3: Os números que correspondem à distribuição de pontos num plano de modo a formar pentágonos, chamam-se números pentagonais.

Conforme a figura acima, os números ,, e são números pentagonais. 

 Proposição 3: Denotando por o enésimo número pentagonal, então

Demonstração: A prova segue analisando da figura:

Definição 4: Os números que correspondem à distribuição de pontos num plano de modo a formar retângulos em que o número de linhas é uma unidade maior que o de colunas, chamam-se números oblongos.

Da figura acima, os números , , e são números oblongos. É fácil ver que o enésimo número oblongo é dado por . 
Proposição 4: Denotando por o enésimo número oblongo, então:
;
;
.

Demonstração: Basta observar as figuras abaixo em cada item.

 

Referência Bibliográfica:
- Domingues, Hygino H. Elementos de Aritmética. Atual Editora. São Paulo, 1991.
- Eves, Howard. História da Matemática. Editora de Unicamp. Campinas-SP, 2002.

Gostará de ler também:
- Pitágoras de Samos;
- Os Números Triangulares;
- PSP (Parte 2) Soma dos Números Triangulares;
- PSP (Parte 14) Soma dos Quadrados dos Inteiros.
- Representação dos Naturais Como Soma de Dois Quadrados;