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quarta-feira, 27 de junho de 2012

Os Números Figurados (Parte 2)

Vimos na primeira parte deste post, os números figurados explorando as configurações geométricas. Deduzimos que os números triangulares, quadrados e pentagonais são dados por [;T_n = n(n+1)/2;], [;Q_n = n^2;] e [;P_n = n + 3T_{n-1};]. Qual é a expressão geral do enésimo número k-poligonal? 

O que mostraremos neste post que existe uma fórmula simples envolvendo coeficientes binomiais. A expressão geral está relacionada também a uma PA de segunda ordem. 
Seja [;P_k(n);] o enésimo número k-gonal, ou seja, números cuja disposição no plano formam polígonos regulares de [;k;] vértices. Alguns autores preferem usar a notação [;K_n;] para tais números. Com esta notação, os números triangulares e os números quadrados são denotados por [;P_3(n);] e [;P_4(n);] respectivamente.  

Proposição 1: Sejam [;k, n \in \mathbb{N};]. O enésimo número k-gonal, sendo [;k \geq 2;] é dado pela expressão 
[;P_k(n) = {n \choose 1} + (k-2){n \choose 2} \qquad (1);]
Demonstração: Note que o caso [;k=2;], trata-se de [;n;] pontos igualmente distribuídos sobre um segmento de reta, ou seja, [;P_2(n) = n;], não pertencendo a classe dos números poligonais. Para obter a expressão [;P_k(n);] para [;k \geq 3;], observemos que todo polígono com [;k;]vértices pode ser "triangularizado", isto é, dividido em [;k-2;] triângulos, todos tendo um vértice em comum. A figura acima, mostra a triangularização dos números pentagonais formando três triângulos. Deste modo, uma forma de contar o número de pontos é dada pela expressão [;(k-2)P_3(n);]. Mas nesta expressão, os pontos nas diagonais são contados duas vezes, é como ter duas vezes mais diagonais. Em outras palavras, devemos subtrair o número de pontos sobre as diagonais que são dados por [;(k-3)n;]. Logo,
[;P_k(n) = (k-2)P_3(n) - (k-3)n = (k-2)\frac{n(n+1)}{2} - (k-3)n;]
[;=(k-2)\biggl[\frac{n(n+1)}{2} - n\biggr] + (k-2)n - (k-3)n;]
[;=(k-2)\cdot \frac{n(n-1)}{2} + n = {n \choose 1} + (k-2){n \choose 2};]
Para [;k = 4;], segue desta proposição que 

[;Q_n = P_4(n) = {n \choose 1} + 2{n \choose 2} = n + n(n-1) = n^2;]
Exemplo 1: Prove que 

[;P_5(n) = T_{n - 1} + Q_n = P_3(n-1) + P_4(n) \qquad (2);]
De fato, usando a expressão a relação de Stifel e a expressão [;(1);] acima, temos:

[;T_{n-1} + Q_n = {n-1 \choose 1} + (3 - 2){n-1 \choose 2} + {n \choose 1} + 2{n \choose 2};]
[;= {n \choose 1} + \biggl[{n - 1 \choose 1} + {n - 1 \choose 2}\biggr] + 2{n \choose 2};]
[;= {n \choose 1} + {n \choose 2} + 2{n \choose 2} = P_5(n);] 
A expressão [;(2);] pode ser generalizada. Convido ao leitor interessado a provar que 
[;P_{2k+1}(n) = P_{2k}(n) + P_3(n-1);]

Exercícios Propostos:
[;1);] Mostre que para todo [;n \geq 1;], [;(2n+1)^2 = 8T_n + 1;].
[;2);] Mostre que [;Q_{n+1} = Q_n + 2n+1;].

Observação 1: Uma prova geométrica do exercício 1) é obtida observando a figura abaixo. 
Gostará de ler também
- Os Números Figurados (Parte 1);
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 27.6.12
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6 comentários:

  1. Interessante, o enésino [;k;]-gonal é

    [;\Gamma_1^{n+1} [1+(k-2){n-1 \choose 1}]=\left[1.{n-1 \choose 1}+(k-2){n-1 \choose 2}\right]_1^{n+1}={n \choose 1}+(k-2){n \choose 2};]

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  2. Olá Aloísio, também acho essas configurações geométricas bem interessantes. No cálculo da anti-derivada finita, não seria melhor usar a notação padrão [;\Delta^{-1};]? Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Oi, Paulo.

    A letra Gamma maiúscula parece ser inadequado pois já pertence a função gamma. Tanto que já estou procurando outra. Acontece que acho bastante esquisito a integral discreta definida representada por [;\Delta_1^{-1 n+1};]. Sei que tem a questão da padronização em livros de texto ( deve ser esta do delta ), mas também acho inadequada. Também o nome "anti-derivada finita" quando interpretado por Integral [;N;] soa melhor. O termo "natural" uso porque o domínio é o conjunto dos naturais. Bem, não estou escrevendo nenhum tratado científico de renome, mas se eu fizesse um artigo de interesse internacional, eu já ia, oportunamente, tratar de popularizar algumas notações minhas.

    Valeu.

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  4. quero dizer, mesmo [;[\Delta^{-1}]_1^{n+1};] não acho bom.

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  5. Pois é Aloisio, estou estudando sobre o Cálculo em Diferenças Finitas e preferi usar a notação [;\Delta^{-1}|_{1}^{n+1};]. Além disso, é comum o uso do operador [;\Delta^{-n}0;] indicando sucessivas "integrações naturais". Uma dissertação de mestrado em Portugal usa a palavra "antidiferença finita".

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  6. Usarei esta aqui até achar coisa melhor

    [;\rfloor \lceil_1^{n+1} f(n);]

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