FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 14)

domingo, 3 de junho de 2012

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 14)

$[;40);]$ Avalie o somatório

$[;\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\cos^2(n\pi/2)}{3^n};]$

Sugestão: Use a transformada discreta de Laplace.

$[;41);]$ (ITA - 2000) Considere o triângulo $[;ABC;]$ isósceles, retângulo em $[;A;]$ . Seja $[;D;]$ a interseção da bissetriz do ângulo $[;\hat{A};]$ com o lado $[;BC;]$ e $[;E;]$ um ponto da reta suporte do cateto $[;AC;]$ de tal modo que os segmentos de reta $[;BE;]$ e $[;AD;]$ sejam paralelos. Sabendo que $[;AD;]$ mede $[;\sqrt{2}\ cm;]$ , calcule a área do círculo inscrito no triângulo $[;EBC;]$ .

$[;42);]$ Prove que não existe nenhuma P.G. que admita $[;1;]$ , $[;2;]$ e $[;5;]$ como termos.

Vejamos agora, a solução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 13).

$[;37);]$ Calcule a derivada de $[;4^{\underline{a}};]$ ordem de $[;f(x) = x^3/(1 - x);]$ .

Resolução: Note que

$[;f(x) = \frac{x^3}{1 - x} = \frac{x^3 - 1}{1 - x} + \frac{1}{1 - x} = -\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} + \frac{1}{1 - x};]$

$[;=-x^2 - x - 1 + \frac{1}{1 - x};]$

Assim,

$[;f^{\prime}(x) = - 2x - 1 - \frac{1}{(1 - x)^2}\cdot (-1) = -2x - 1 + \frac{1}{(1 - x)^2} \quad \Rightarrow;]$

$[;f^{\prime \prime}(x) = -2 - \frac{2}{(1 - x)^3}\cdot (-1) = -2 + \frac{2}{(1 - x)^3};]$

Derivando novamente, temos

$[;f^{\prime \prime \prime}(x) = \frac{6}{(1 - x)^4} \quad \Rightarrow \quad f^{(4)}(x) = \frac{24}{(1 - x)^5};]$

$[;38);]$ Determine a área delimitada pela secção meridiana do ovo construído com régua e compasso à partir de um círculo de raio $[;r;]$ conforme a figura abaixo.

Resolução: Da figura, vemos que $[;S = 2(S_1 + S_2 + S_3 + S_4);]$ , sendo que $[;S_3 = r^2/2;]$ e $[;S_4 = \pi r^2/2;]$ . Observe que $[;S_2;]$ é a diferença entre as áreas de um setor de raio $[;2r;]$ e ângulo central $[;\pi/4;]$ radianos e a área de um triângulo base $[;2r;]$ e altura $[;r;]$ . Assim,

$[;S_2 = \frac{\pi}{4}\frac{(2r)^2}{2} - \frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r = (\frac{\pi}{2} - 1)r^2;]$

$[;S_1;]$ é a área de um quarto de círculo de raio $[;BC^{\prime} = AC^{\prime} - AB = 2r - \sqrt{2}r;]$ . Assim,

$[;S_1 = \frac{1}{4}\pi (2 - \sqrt{2})r^2 = \frac{\pi}{4}(4 - 4\sqrt{2} + 2)r^2 = \frac{\pi}{2}(3 - 2\sqrt{2})r^2;]$

Logo,

$[;S = 2(S_1 + S_2 + S_3 +S_4) = [\pi(3 - 2\sqrt{2}) + (\pi - 2) + 1 + \pi]r^2;]$

$[; = [5\pi - 2\sqrt{2}\pi - 1]r^2;]$

$[;39);]$ (Provão 2003) Na figura abaixo $[;z;]$ e $[;w;]$ são números complexos. Ache o valor de $[;w;]$ em função de $[;z;]$ .

Resolução: Seja $[;\theta;]$ o argumento do número complexo $[;z;]$ . Na figura abaixo, o triângulo $[;OAC;]$ é isósceles e sendo as retas que passam pela origem e por $[;z;]$ e a que passa por $[;w;]$ e pelo ponto $[;(1,0);]$ perpendiculares, então $[;OB;]$ é a mediatriz de $[;AC;]$ de modo que o argumento de $[;w;]$ é $[;2\theta;]$ . Sendo $[;z;]$ e $[;w;]$ números complexos unitários segue que

$[;w = e^{2\theta i} = (e^{\theta i})^2 = z^2;]$

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas $[;40);]$ , $[;41);]$ e $[;42);]$ encerra no dia 30/06/2012 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos (Parte 10);
- Problemas dos Fatos (Parte 11);
- Problemas dos Fatos (Parte 12).